Кривая брахистохрона - Brachistochrone curve

Кривая самого быстрого спуска - это не прямая или многоугольная линия (синяя), а циклоида (красный).

В математика и физика, а брахистохромная кривая (из Древнегреческий βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) 'кратчайшее время'),^[1] или кривая самого быстрого спуска, лежит на плоскости между точкой А и нижняя точка B, где B не прямо под А, по которому скользит бусинка без трения под действием однородного гравитационного поля до заданной конечной точки в кратчайшие сроки. Проблема была поставлена Иоганн Бернулли в 1696 г.

Кривая брахистохрона имеет ту же форму, что и кривая таутохрона; оба циклоиды. Однако часть циклоиды, используемая для каждого из двух, различается. Более конкретно, брахистохрона может использовать до полного вращения циклоиды (на пределе, когда A и B находятся на одном уровне), но всегда начинается с куспид. Напротив, задача таутохрон может использовать только до первой половины оборота и всегда заканчивается в горизонтальном направлении.^[2] Проблему можно решить с помощью инструментов из вариационное исчисление и оптимальный контроль.^[3]

Кривая не зависит ни от массы испытуемого тела, ни от местной силы тяжести. Выбирается только параметр таким образом, чтобы кривая соответствовала начальной точке. А и конечная точка B.^[4] Если телу задать начальную скорость при А, или если принять во внимание трение, то кривая, минимизирующая время, будет отличаться от кривой кривая таутохрона.

История

Иоганн Бернулли поставил проблему брахистохрона перед читателями Acta Eruditorum в июне 1696 г.^[5]^[6] Он сказал:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым выдающимся математикам мира. Для умных людей нет ничего более привлекательного, чем честная, трудная проблема, возможное решение которой принесет славу и останется памятником на всю жизнь. Следуя примеру Паскаля, Ферма и других, я надеюсь заслужить признательность всего научного сообщества, поставив перед лучшими математиками нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта. Если кто-то сообщит мне решение предложенной проблемы, я публично объявлю его достойным похвалы.

Бернулли сформулировал задачу так:

Даны две точки A и B в вертикальной плоскости, какова кривая, очерченная точкой, на которую действует только сила тяжести, которая начинается в точке A и достигает точки B в кратчайшие сроки.

Иоганн и его брат Якоб Бернулли получил то же решение, но вывод Иоганна был неправильным, и он попытался выдать решение Якоба за свое собственное.^[7] Иоганн опубликовал решение в журнале в мае следующего года и отметил, что решение имеет ту же кривую, что и кривая Гюйгенса. кривая таутохрона. После вывода дифференциального уравнения для кривой с помощью метода, приведенного ниже, он продолжил показывать, что оно дает циклоиду.^[8]^[9] Однако его доказательство омрачено тем, что он использовал одну константу вместо трех констант, v_м, 2 г и D, ниже.

Бернулли выделил шесть месяцев для решений, но ни один из них не был получен за этот период. По просьбе Лейбница срок публично был продлен на полтора года.^[10] В 16:00. 29 января 1697 года, когда он вернулся домой с Королевского монетного двора, Исаак Ньютон нашел вызов в письме Иоганна Бернулли.^[11] Ньютон не спал всю ночь, чтобы решить эту проблему, и отправил решение анонимно в следующем посте. Прочитав решение, Бернулли сразу же узнал его автора, воскликнув, что он «узнает льва по следу когтя». Эта история дает некоторое представление о силе Ньютона, поскольку Иоганну Бернулли понадобилось две недели, чтобы разгадать ее.^[4]^[12] Ньютон также написал: «Я не люблю, когда иностранцы дразнят [приставляют] и дразнят иностранцы по поводу математических вещей ...», и Ньютон уже решил Проблема минимального сопротивления Ньютона, который считается первым в своем роде в вариационное исчисление.

В итоге пять математиков ответили решениями: Ньютон, Якоб Бернулли, Готфрид Лейбниц, Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус и Гийом де л'Опиталь. Четыре решения (за исключением L'Hôpital) были опубликованы в том же номере журнала, что и Иоганн Бернулли. В своей статье Якоб Бернулли дал доказательство условия на наименьшее время, подобное приведенному ниже, прежде чем показать, что его решением является циклоида.^[8] По мнению ньютоновского ученого Том Уайтсайд В попытке превзойти своего брата Якоб Бернулли создал более сложную версию проблемы брахистохрона. Решая ее, он разработал новые методы, которые были усовершенствованы Леонард Эйлер в то, что последний назвал (в 1766 г.) вариационное исчисление. Жозеф-Луи Лагранж проделал дальнейшую работу, результатом которой стали современные исчисление бесконечно малых.

Ранее, в 1638 году, Галилей попытался решить аналогичную задачу для пути наиболее быстрого спуска от точки до стены в своем Две новые науки. Он приходит к выводу, что дуга окружности быстрее любого количества ее хорд,^[13]

Из предыдущего можно сделать вывод, что самый быстрый путь из всех [lationem omnium velocissimam] от одной точки до другой - это не самый короткий путь, а именно прямая линия, а дуга окружности.
...
Следовательно, чем ближе вписанный многоугольник приближается к кругу, тем короче время, необходимое для спуска из точки А в С. То, что было доказано для квадранта, верно и для меньших дуг; рассуждение то же самое.

Сразу после теоремы 6 из Две новые наукиГалилей предупреждает о возможных заблуждениях и необходимости «высшей науки». В этом диалоге Галилей рассматривает свою собственную работу. Настоящее решение проблемы Галилея - половина циклоиды. Галилей изучил циклоиду и дал ей название, но связь между этой циклоидой и его проблемой пришлось подождать, пока не появятся успехи в математике.

Решение Иоганна Бернулли

Прямой метод

В письме Анри Баснажу от 30 марта 1697 г., хранящемся в Публичной библиотеке Базельского университета, Иоганн Бернулли заявил, что он нашел два метода (всегда называемые «прямым» и «косвенным»), чтобы показать, что брахистохрона была «обыкновенная циклоида», также называемая «рулеткой». Следуя совету Лейбница, он включил только косвенный метод в Acta Eruditorum Lipsidae от мая 1697 года. Он написал, что это было частично потому, что, по его мнению, этого было достаточно, чтобы убедить любого, кто сомневался в выводе, частично потому, что он также решал две известные проблемы в оптике. который «покойный мистер Гюйгенс» поднял в своем трактате о свете. В том же письме он критиковал Ньютона за сокрытие своего метода.

В дополнение к своему косвенному методу он также опубликовал пять других ответов на полученную проблему.

Прямой метод Иоганна Бернулли исторически важен, поскольку он был первым доказательством того, что брахистохрон является циклоидой. Метод заключается в определении кривизны кривой в каждой точке. Все остальные доказательства, включая доказательство Ньютона (которое в то время не было обнаружено), основаны на нахождении градиента в каждой точке.

Только в 1718 году Бернулли объяснил, как он решил проблему брахистохрона своим прямым методом.^[14]^[15]

Он объяснил, что не публиковал ее в 1697 году по причинам, которые больше не применялись в 1718 году. Эта статья в значительной степени игнорировалась до 1904 года, когда глубина метода была впервые оценена Константин Каратеодори, который заявил, что это показывает, что циклоида - единственная возможная кривая самого быстрого спуска. По его словам, другие решения просто подразумевали, что время спуска для циклоиды стационарное, но не обязательно минимально возможное.

Аналитическое решение

Брахистохрона - прямой метод Бернулли

Считается, что тело скользит по любой небольшой дуге окружности Ce между радиусами KC и Ke с фиксированным центром K. Первый этап доказательства заключается в нахождении конкретной дуги окружности Mm, которую тело проходит за минимальное время.

Прямая KNC пересекает AL в точке N, а линия Kne пересекает ее в точке n, и они образуют небольшой угол CKe в точке K. Пусть NK = a, и задают переменную точку C на расширенной KN. Из всех возможных дуг окружности Ce требуется найти дугу Mm, которая требует минимального времени для прохождения между двумя радиусами, KM и Km. Чтобы найти м-м Бернулли, рассуждает следующим образом.

Пусть MN = x. Он определяет m так, чтобы MD = mx, и n так, чтобы Mm = nx + na, и отмечает, что x - единственная переменная, что m конечно, а n бесконечно мало. Малое время путешествия по дуге Mm равно ${ displaystyle { frac {Mm} {MD ^ { frac {1} {2}}}} = { frac {n (x + a)} {(mx) ^ { frac {1} {2} }}}}$ который должен быть минимальным (un plus petit). Он не объясняет, что из-за того, что Mm настолько мала, скорость вдоль нее можно принять за скорость в точке M, которая является квадратным корнем из MD, вертикального расстояния M ниже горизонтальной линии AL.

Отсюда следует, что при дифференцировании это должно давать

{ displaystyle { frac {(x-a) dx} {2x ^ { frac {3} {2}}}} = 0}

так что x = a.

Это условие определяет кривую, по которой тело скользит в кратчайшие сроки. Для каждой точки M на кривой радиус кривизны MK разрезан на 2 равные части своей осью AL. Это свойство, которое, по словам Бернулли, было известно давно, уникально для циклоиды.

Наконец, он рассматривает более общий случай, когда скорость является произвольной функцией X (x), поэтому время, которое нужно минимизировать, равно ${ Displaystyle { frac {(х + а)} {X}}}$ Тогда минимальное условие становится ${ displaystyle X = { frac {(x + a) dX} {dx}}}$ который он пишет как: ${ displaystyle X = (x + a) Delta x}$ и что дает MN (= x) как функцию от NK (= a). Отсюда уравнение кривой можно получить с помощью интегрального исчисления, хотя он этого не демонстрирует.

Синтетический раствор

Затем он приступает к тому, что он назвал своим синтетическим решением, которое было классическим геометрическим доказательством того, что существует только одна кривая, по которой тело может скользить вниз за минимальное время, и эта кривая является циклоидой.

Предположим, что AMmB - это часть циклоиды, соединяющая A и B, тело которой скользит вниз за минимальное время. Пусть ICcJ будет частью другой кривой, соединяющей A и B, которая может быть ближе к AL, чем AMmB. Если дуга Mm образует угол MKm в центре кривизны K, пусть дуга на IJ, которая образует тот же угол, будет Cc. Дуга окружности, проходящая через C с центром K, - это Ce. Точка D на AL находится вертикально над M. Соедините K с D, а точка H - это место, где CG пересекает KD, при необходимости расширяем.

Позволять ${ Displaystyle тау}$ и t - время падения тела вдоль Mm и Ce соответственно.

{ displaystyle tau propto { frac {Mm} {MD ^ { frac {1} {2}}}}}

,

{ displaystyle t propto { frac {Ce} {CG ^ { frac {1} {2}}}}}

,

Растяните CG до точки F, где, ${ displaystyle CF = { frac {CH ^ {2}} {MD}}}$ и с тех пор ${ displaystyle { frac {Mm} {Ce}} = { frac {MD} {CH}}}$ , следует, что

{ displaystyle { frac { tau} {t}} = { frac {Mm} {Ce}}. left ({ frac {CG} {MD}} right) ^ { frac {1} { 2}} = left ({ frac {CG} {CF}} right) ^ { frac {1} {2}}}

Поскольку MN = NK, для циклоиды:

{ displaystyle GH = { frac {MD.HD} {DK}} = { frac {MD.CM} {MK}}}

,

{ displaystyle CH = { frac {MD.CK} {MK}} = { frac {MD. (MK + CM)} {MK}}}

, и

{ Displaystyle CG = CH + GH = { frac {MD. (MK + 2CM)} {MK}}}

Если Ce ближе к K, чем Mm, то

{ displaystyle CH = { frac {MD. (MK-CM)} {MK}}}

и

{ Displaystyle CG = CH-GH = { frac {MD. (MK-2CM)} {MK}}}

В любом случае,

{ displaystyle CF = { frac {CH ^ {2}} {MD}}> CG}

, откуда следует

{ Displaystyle тау <т}

Если дуга Cc, образуемая бесконечно малым углом MKm на IJ, не является круговой, она должна быть больше, чем Ce, поскольку Cec становится прямоугольным треугольником в пределе, когда угол MKm приближается к нулю.

Отметим, что Бернулли доказывает, что CF> CG, аналогичным, но другим аргументом.

Из этого он заключает, что тело пересекает циклоидный AMB за меньшее время, чем любая другая кривая ACB.

Косвенный метод

Согласно с Принцип Ферма, фактический путь между двумя точками, который проходит луч света, занимает меньше всего времени. В 1697 г. Иоганн Бернулли использовал этот принцип для получения кривой брахистохроны, рассматривая траекторию луча света в среде, где скорость света увеличивается вслед за постоянным вертикальным ускорением (ускорение силы тяжести г).^[16]

Посредством сохранение энергии, мгновенная скорость тела v после падения с высоты у в однородном гравитационном поле определяется выражением:

{ displaystyle v = { sqrt {2gy}}}

,

Скорость движения тела по произвольной кривой не зависит от горизонтального смещения.

Бернулли отметил, что закон преломления дает постоянную движения луча света в среде переменной плотности:

{ displaystyle { frac { sin { theta}} {v}} = { frac {1} {v}} { frac {dx} {ds}} = { frac {1} {v_ {m }}}}

,

где v_м постоянная и ${ displaystyle theta}$ представляет собой угол траектории относительно вертикали.

Из приведенных выше уравнений можно сделать два вывода:

Вначале угол должен быть равен нулю, когда скорость частицы равна нулю. Следовательно, кривая брахистохроны имеет вид касательная к вертикали в начале координат.
Скорость достигает максимального значения, когда траектория становится горизонтальной и угол θ = 90 °.

Предположим для простоты, что частица (или луч) с координатами (x, y) вылетает из точки (0,0) и достигает максимальной скорости после падения на вертикальное расстояние D:

{ displaystyle v_ {m} = { sqrt {2gD}}}

.

Перестановка членов в законе преломления и возведения в квадрат дает:

{ displaystyle v_ {m} ^ {2} dx ^ {2} = v ^ {2} ds ^ {2} = v ^ {2} (dx ^ {2} + dy ^ {2})}

который может быть решен для dx с точки зрения dy:

{ displaystyle dx = { frac {v , dy} { sqrt {v_ {m} ^ {2} -v ^ {2}}}}}

.

Подставляя из выражений для v и v_м выше дает:

{ displaystyle dx = { sqrt { frac {y} {D-y}}} , dy ,,}

какой дифференциальное уравнение перевернутого циклоида образованный кругом диаметра D = 2r, чья параметрическое уравнение является:

{ displaystyle { begin {align} x & = r ( varphi - sin varphi) y & = r (1- cos varphi). end {align}}}

где φ - действительное параметр, соответствующий углу поворота катящегося круга. Для данного φ центр круга лежит в точке $(Икс, у) = (rφ, р)$ .

В задаче брахистохроны движение тела задается изменением во времени параметра:

{ displaystyle varphi (t) = omega t ,, omega = { sqrt { frac {g} {r}}}}

где т - время с момента выхода тела из точки (0,0).

Решение Якоба Бернулли

Брат Иоганна Якоб показал, как 2-й дифференциал можно использовать для получения условия за наименьшее время. Модернизированный вариант доказательства выглядит следующим образом. Если мы сделаем незначительное отклонение от пути наименьшего времени, то для дифференциального треугольника, образованного смещением по пути, а также горизонтальным и вертикальным смещениями,

{ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}

.

О дифференциации с dy исправлено получаем,

{ Displaystyle 2ds d ^ {2} s = 2dx d ^ {2} x}

.

И, наконец, перестановка условий дает,

{ displaystyle { frac {dx} {ds}} d ^ {2} x = d ^ {2} s = v d ^ {2} t}

где последняя часть - это смещение для данного изменения времени для 2-го дифференциала. Теперь рассмотрим изменения вдоль двух соседних путей на рисунке ниже, для которых горизонтальное разделение между путями вдоль центральной линии равно d²Икс (то же самое для верхнего и нижнего дифференциальных треугольников). На старом и новом путях различаются части:

{ displaystyle d ^ {2} t_ {1} = { frac {1} {v_ {1}}} { frac {dx_ {1}} {ds_ {1}}} d ^ {2} x}

{ displaystyle d ^ {2} t_ {2} = { frac {1} {v_ {2}}} { frac {dx_ {2}} {ds_ {2}}} d ^ {2} x}

Для пути наименьшего времени эти времена равны, поэтому для их разницы мы получаем

{ displaystyle d ^ {2} t_ {2} -d ^ {2} t_ {1} = 0 = { bigg (} { frac {1} {v_ {2}}} { frac {dx_ {2) }} {ds_ {2}}} - { frac {1} {v_ {1}}} { frac {dx_ {1}} {ds_ {1}}} { bigg)} d ^ {2} x }

И условие наименьшего времени:

{ displaystyle { frac {1} {v_ {2}}} { frac {dx_ {2}} {ds_ {2}}} = { frac {1} {v_ {1}}} { frac { dx_ {1}} {ds_ {1}}}}

что согласуется с предположением Иоганна, основанным на закон преломления.

Решение Ньютона

Введение

В июне 1696 года Иоганн Бернулли использовал страницы Acta Eruditorum Lipsidae бросить вызов международному математическому сообществу: найти форму кривой, соединяющей две фиксированные точки, так, чтобы масса скользила по ней вниз под действием только силы тяжести за минимальное время. Первоначально решение должно было быть отправлено в течение шести месяцев. По предложению Лейбница Бернулли продлил этот вызов до Пасхи 1697 года с помощью печатного текста под названием «Programma», опубликованного в Гронинген, в Нидерландах.

В Programma датируется 1 января 1697 года по григорианскому календарю. Это было 22 декабря 1696 года по юлианскому календарю, используемому в Великобритании. По словам племянницы Ньютона, Кэтрин Кондуитт, Ньютон узнал о проблеме в 4 часа дня 29 января и решил ее к 4 часам утра следующего дня. Его решение, переданное Королевскому обществу, датировано 30 января. Это решение, позже анонимно опубликованное в Философские труды, верно, но не указывает метод, с помощью которого Ньютон пришел к своему выводу. Бернулли в письме Анри Баснажу в марте 1697 г. указал, что, хотя его автор «из-за чрезмерной скромности» не раскрыл своего имени, но даже по предоставленным скудным деталям в нем можно было узнать произведение Ньютона, «как лев когтем "(на латыни, Tanquam Ex Ungue Leonem).

Джон Уоллис, которому в то время было 80 лет, узнал о проблеме в сентябре 1696 года от младшего брата Иоганна Бернулли Иеронима и провел три месяца, пытаясь найти решение, прежде чем передать его в декабре Дэвид Грегори, который тоже не смог ее решить. После того, как Ньютон представил свое решение, Грегори спросил его о деталях и сделал заметки из их разговора. Их можно найти в библиотеке Эдинбургского университета, рукопись A ${ displaystyle 78 ^ {1}}$ от 7 марта 1697 г. Либо Григорий не понимал аргумента Ньютона, либо объяснение Ньютона было очень кратким. Однако можно с высокой степенью уверенности построить доказательство Ньютона из заметок Грегори по аналогии с его методом определения твердого тела минимального сопротивления (Принципы, Книга 2, Предложение 34, Схолиум 2). Подробное описание его решения этой последней проблемы включено в черновик письма 1694 года, также к Дэвиду Грегори.^[17] В дополнение к проблеме минимальной кривой времени была вторая проблема, которую Ньютон также решил в то же время. Оба решения появились анонимно в «Философских трудах Королевского общества» за январь 1697 года.

Проблема брахистохрона

Вызов Бернулли Ньютону 1

На рис. 1 показана диаграмма Грегори (за исключением того, что на ней отсутствует дополнительная линия IF, а Z добавлена начальная точка). Кривая ZVA - циклоида, а CHV - ее образующая окружность. Поскольку кажется, что тело движется вверх от точки е к точке Е, следует предположить, что небольшое тело высвобождается из точки Z и скользит по кривой до точки А без трения под действием силы тяжести.

Рассмотрим небольшую дугу eE, по которой тело поднимается. Предположим, что он пересекает прямую eL до точки L, горизонтально смещенной от E на небольшое расстояние o вместо дуги eE. Обратите внимание, что eL не является касательной в точке e, и что o будет отрицательным, когда L находится между B и E. Проведите линию через E параллельно CH, разрезая eL в точке n. По свойству циклоиды En является нормалью к касательной в E, и аналогично касательная в E параллельна VH.

Поскольку смещение EL невелико, оно мало отличается по направлению от касательной в точке E, так что угол EnL близок к прямому. В пределе, когда дуга eE приближается к нулю, eL становится параллельным VH, при условии, что o мало по сравнению с eE, что делает треугольники EnL и CHV подобными.

Также en приближается к длине хорды eE, а увеличение длины, ${ displaystyle eL-eE = nL = { frac {o.CH} {CV}}}$ , игнорируя термины в ${ displaystyle o ^ {2}}$ и выше, которые представляют ошибку из-за приближения, что eL и VH параллельны.

Скорость по eE или eL можно принять за скорость в точке E, пропорциональную ${ displaystyle { sqrt {CB}}}$ что как CH, так как ${ displaystyle CH = { sqrt {CB.CV}}}$

Похоже, это все, что содержится в записке Грегори.

Пусть t - дополнительное время для достижения L,

${ displaystyle t propto { frac {nL} { sqrt {CB}}} = { frac {o.CH} {CV. { sqrt {CB}}}} = { frac {o} { sqrt {CV}}}}$

Следовательно, увеличение времени прохождения небольшой дуги, смещенной в одной конечной точке, зависит только от смещения в конечной точке и не зависит от положения дуги. Однако по методу Ньютона это просто условие, необходимое для прохождения кривой за минимально возможное время. Следовательно, он заключает, что минимальная кривая должна быть циклоидой.

Он рассуждает следующим образом.

Предположим теперь, что на рис. 1 минимальная кривая еще не определена, с вертикальной осью CV и удаленной окружностью CHV, а на рис. 2 показана часть кривой между бесконечно малой дугой eE и следующей бесконечно малой дугой Ff на конечном расстоянии вдоль изгиб. Дополнительное время t для прохождения eL (а не eE) равно nL, деленному на скорость в точке E (пропорционально ${ displaystyle { sqrt {CB}}}$ ), игнорируя термины в ${ displaystyle o ^ {2}}$ и выше:

${ displaystyle t propto { frac {o.DE} {eE. { sqrt {CB}}}}}$ ,

В точке L частица продолжает путь LM, параллельный исходному EF, в некоторую произвольную точку M. Поскольку в L она имеет ту же скорость, что и в точке E, время прохождения LM такое же, как и в исходной точке. кривая EF. В точке M он возвращается на исходный путь в точке f. По тем же соображениям сокращение времени T для достижения f от M, а не от F, равно

${ displaystyle T propto { frac {o.FG} {Ff. { sqrt {CI}}}}}$

Разница (t - T) - это дополнительное время, которое требуется на пути eLMf по сравнению с исходным eEFf:

${ displaystyle (tT) propto left ({ frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} - { frac {FG} {Ff { sqrt {CI}}}} right). o}$ плюс условия в ${ displaystyle o ^ {2}}$ и выше (1)

Поскольку eEFf - минимальная кривая, (t - T) должно быть больше нуля, независимо от того, является ли o положительным или отрицательным. Отсюда следует, что коэффициент при o в (1) должен быть равен нулю:

${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} = { frac {FG} {Ff { sqrt {CI}}}}}$ (2) в пределе, когда eE и fF стремятся к нулю. Обратите внимание, так как eEFf является минимальной кривой, следует предположить, что коэффициент ${ displaystyle o ^ {2}}$ больше нуля.

Очевидно, должно быть 2 равных и противоположных смещения, иначе тело не вернется в конечную точку A кривой.

Если e фиксировано, и если f считается переменной точкой выше по кривой, то для всех таких точек f, ${ displaystyle { frac {FG} {Ff { sqrt {CI}}}}}$ постоянна (равна ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}}}$ ). Если оставить f фиксированным и сделать переменной e, становится ясно, что ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}}}$ также постоянна.

Но, поскольку точки, e и f произвольны, уравнение (2) может быть истинным, только если ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} = { text {constant}}}$ , всюду, и это условие характеризует искомую кривую. Это тот же самый прием, который он использует, чтобы найти форму Твердого тела наименьшего сопротивления.

Для циклоиды ${ displaystyle { frac {DE} {eE}} = { frac {BH} {VH}} = { frac {CH} {CV}}}$ , так что ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} = { frac {CH} {CV. { sqrt {CB}}}}}}$ которая, как было показано выше, является постоянной, а брахистохрон - это циклоида.

Ньютон не указывает, как он обнаружил, что циклоида удовлетворяет этому последнему соотношению. Возможно, это было методом проб и ошибок, или он мог сразу же признать, что кривая подразумевала циклоиду.

Смотрите также

использованная литература

^ Чисхолм, Хью, изд. (1911). «Брахистохрона». Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Стюарт, Джеймс. «Раздел 10.1 - Кривые, определяемые параметрическими уравнениями». Исчисление: ранние трансцендентальные теории. 7 изд. Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул, 2012. 640. Печать.
^ Росс, И.М. Парадигма брахистохрон в Учебник по принципу Понтрягина в оптимальном управлении, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.
^ ^а ^б Хэнд, Луи Н. и Джанет Д. Финч. «Глава 2: Вариационное исчисление и его применение в механике». Аналитическая механика. Кембридж: Cambridge UP, 1998. 45, 70. Print.
^ Иоганн Бернулли (июнь 1696 г.) "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur". (Новая задача, для решения которой приглашены математики.), Acta Eruditorum, 18 : 269. Из стр. 269: "Datis in plano verticali duobus punctis A & B (vid Fig. 5) assignare Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua descendens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B." (Даны в вертикальной плоскости две точки A и B (см. Рисунок 5), назначьте движущемуся [телу] M путь AMB, посредством которого - спуск под собственным весом и начало движения [под действием силы тяжести] из точка A - он достигнет другой точки B в кратчайшие сроки.)
^
Решения проблемы Иоганна Бернулли 1696 года:
- Исаак Ньютон (январь 1697 г.) "De ratione temporis de grave labitur per rectam data duo puncta conungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (О доказательстве [того] что] время, в течение которого груз скользит по линии, соединяющей две заданные точки, [является] самым коротким с точки зрения времени, когда он проходит под действием силы тяжести от одной из этих [точек] к другой через циклоидальная дуга), Философские труды Лондонского королевского общества, 19 : 424-425.
- G.G.L. (Готфрид Вильгельм Лейбниц) (май 1697 г.) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communatarum solutionum problematis curva celerrimi спускается на Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione posa propositi. . " (Его сообщение вместе с [сообщениями] двух других в отчете ему сначала от Иоганна Бернулли, [а] затем от маркиза де л'Опиталь, о сообщенных решениях проблемы кривой наиболее быстрого спуска, [которая была] публично предложенный Иоганном Бернулли, геометром - один с решением его другой проблемы, предложенным впоследствии тем же [человеком].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.
- Иоганн Бернулли (май 1697 г.) "Curvatura Radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, стр. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, т.е. in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva radior uinchrona se. construenda. " (Кривизна [световых] лучей в неоднородных средах и решение проблемы [которое было] предложено мной в Acta Eruditorum от 1696 г., стр. 269, из которой следует линия брахистохроны [т. Е. Кривая], то есть, в которой груз спускается из данной точки в данную точку за кратчайшее время, и при построении таутохроны или волны [света] лучи.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.
- Якоб Бернулли (май 1697 г.) "Solutio problematum fraternorum,…" (Решение проблем [моего] брата,…), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.
- Маркиз де л'Опиталь (май 1697 г.) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi Desnsus" (Решение лорда маркиза де л'Опиталя проблемы линии наикратчайшего спуска), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.
- перепечатано: Исаак Ньютон (май 1697 г.) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (Отрывок из англ. Философские труды января месяца 1697 г.), Acta Eruditorum, 19 : 223–224.
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (Первая торговая книга в мягкой обложке, ред.). Нью-Йорк: Бродвей Книги. п. 116. ISBN 0-7679-0816-3.
^ ^а ^б Струик, Дж. Д. (1969), Справочник по математике, 1200-1800 гг., Издательство Гарвардского университета, ISBN 0-691-02397-2
^ Герман Эрлихсон (1999), «Брахистохроновое решение Иоганна Бернулли с использованием принципа наименьшего времени Ферма», Евро. J. Phys., 20 (5): 299–304, Дои:10.1088/0143-0807/20/5/301
^ Саган, Карл (2011). Космос. Издательская группа Random House. п. 94. ISBN 9780307800985. Получено 2 июн 2016.
^ Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. п.547. ISBN 978-0-321-01618-8.
^ Д. Т. Уайтсайд, Математик Ньютон, в Бехлере, Современные ньютоновские исследования, п. 122.
^ Галилео Галилей (1638), "Третий день, теорема 22, предложение 36", Рассуждения о двух новых науках, п. 239 Этот вывод появился шестью годами ранее в работе Галилея. Диалог о двух главных мировых системах (День 4).
^ Бернулли, Иоганн. Mémoires de l'Académie des Sciences (Французская академия наук) Vol. 3. 1718. С. 135–138.
^ Ранний период вариационного исчисления, П. Фрегулья и М. Джаквинта, стр. 53–57, ISBN 978-3-319-38945-5.
^ Бэбб, Джефф; Карри, Джеймс (июль 2008 г.), "Проблема брахистохроны: математика для широкой аудитории через широкую контекстную проблему" (PDF), Энтузиаст математики из Монтаны, 5 (2 и 3): 169–184, архивировано с оригинал (PDF) на 2011-07-27
^ Дюбуа, Жак (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et Historique" (PDF). Bulletin de l'Union des Physiciens. 85 (737): 1251–1289.

внешняя ссылка

«Брахистохрон», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Проблема брахистохрона». MathWorld.
Брахистохрона (в MathCurve, с отличными анимированными примерами)
Брахистохрона, Математика Уистлер-Элли.
Таблица IV из статьи Бернулли в Acta Eruditorum 1697
Брахистохроны Майклом Троттом и Проблема брахистохрона Окей Арик, Вольфрам Демонстрационный проект.
Проблема брахистохрона в MacTutor
Возвращение к геодезии - Введение в геодезические включая два способа вывода уравнения геодезической с брахистохрона как частный случай геодезической.
Оптимальное решение для управления к проблеме брахистохрона в Python.
Прямая линия, цепная связь, брахистохрона, круг и Ферма Единый подход к некоторым геодезическим.

[1] Чисхолм, Хью, изд. (1911). «Брахистохрона». Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

[Stewart-2] Стюарт, Джеймс. «Раздел 10.1 - Кривые, определяемые параметрическими уравнениями». Исчисление: ранние трансцендентальные теории. 7 изд. Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул, 2012. 640. Печать.

[3] Росс, И.М. Парадигма брахистохрон в Учебник по принципу Понтрягина в оптимальном управлении, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.

[Hand-4] а ^б Хэнд, Луи Н. и Джанет Д. Финч. «Глава 2: Вариационное исчисление и его применение в механике». Аналитическая механика. Кембридж: Cambridge UP, 1998. 45, 70. Print.

[5] Иоганн Бернулли (июнь 1696 г.) "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur". (Новая задача, для решения которой приглашены математики.), Acta Eruditorum, 18 : 269. Из стр. 269: "Datis in plano verticali duobus punctis A & B (vid Fig. 5) assignare Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua descendens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B." (Даны в вертикальной плоскости две точки A и B (см. Рисунок 5), назначьте движущемуся [телу] M путь AMB, посредством которого - спуск под собственным весом и начало движения [под действием силы тяжести] из точка A - он достигнет другой точки B в кратчайшие сроки.)

[6] Решения проблемы Иоганна Бернулли 1696 года:
Исаак Ньютон (январь 1697 г.) "De ratione temporis de grave labitur per rectam data duo puncta conungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (О доказательстве [того] что] время, в течение которого груз скользит по линии, соединяющей две заданные точки, [является] самым коротким с точки зрения времени, когда он проходит под действием силы тяжести от одной из этих [точек] к другой через циклоидальная дуга), Философские труды Лондонского королевского общества, 19 : 424-425.
G.G.L. (Готфрид Вильгельм Лейбниц) (май 1697 г.) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communatarum solutionum problematis curva celerrimi спускается на Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione posa propositi. . " (Его сообщение вместе с [сообщениями] двух других в отчете ему сначала от Иоганна Бернулли, [а] затем от маркиза де л'Опиталь, о сообщенных решениях проблемы кривой наиболее быстрого спуска, [которая была] публично предложенный Иоганном Бернулли, геометром - один с решением его другой проблемы, предложенным впоследствии тем же [человеком].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.
Иоганн Бернулли (май 1697 г.) "Curvatura Radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, стр. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, т.е. in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva radior uinchrona se. construenda. " (Кривизна [световых] лучей в неоднородных средах и решение проблемы [которое было] предложено мной в Acta Eruditorum от 1696 г., стр. 269, из которой следует линия брахистохроны [т. Е. Кривая], то есть, в которой груз спускается из данной точки в данную точку за кратчайшее время, и при построении таутохроны или волны [света] лучи.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.
Якоб Бернулли (май 1697 г.) "Solutio problematum fraternorum,…" (Решение проблем [моего] брата,…), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.
Маркиз де л'Опиталь (май 1697 г.) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi Desnsus" (Решение лорда маркиза де л'Опиталя проблемы линии наикратчайшего спуска), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.
перепечатано: Исаак Ньютон (май 1697 г.) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (Отрывок из англ. Философские труды января месяца 1697 г.), Acta Eruditorum, 19 : 223–224.

[7] Исаак Ньютон (январь 1697 г.) "De ratione temporis de grave labitur per rectam data duo puncta conungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (О доказательстве [того] что] время, в течение которого груз скользит по линии, соединяющей две заданные точки, [является] самым коротким с точки зрения времени, когда он проходит под действием силы тяжести от одной из этих [точек] к другой через циклоидальная дуга), Философские труды Лондонского королевского общества, 19 : 424-425.

[8] G.G.L. (Готфрид Вильгельм Лейбниц) (май 1697 г.) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communatarum solutionum problematis curva celerrimi спускается на Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione posa propositi. . " (Его сообщение вместе с [сообщениями] двух других в отчете ему сначала от Иоганна Бернулли, [а] затем от маркиза де л'Опиталь, о сообщенных решениях проблемы кривой наиболее быстрого спуска, [которая была] публично предложенный Иоганном Бернулли, геометром - один с решением его другой проблемы, предложенным впоследствии тем же [человеком].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.

[9] Иоганн Бернулли (май 1697 г.) "Curvatura Radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, стр. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, т.е. in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva radior uinchrona se. construenda. " (Кривизна [световых] лучей в неоднородных средах и решение проблемы [которое было] предложено мной в Acta Eruditorum от 1696 г., стр. 269, из которой следует линия брахистохроны [т. Е. Кривая], то есть, в которой груз спускается из данной точки в данную точку за кратчайшее время, и при построении таутохроны или волны [света] лучи.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.

[10] Якоб Бернулли (май 1697 г.) "Solutio problematum fraternorum,…" (Решение проблем [моего] брата,…), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.

[11] Маркиз де л'Опиталь (май 1697 г.) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi Desnsus" (Решение лорда маркиза де л'Опиталя проблемы линии наикратчайшего спуска), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.

[12] перепечатано: Исаак Ньютон (май 1697 г.) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (Отрывок из англ. Философские труды января месяца 1697 г.), Acta Eruditorum, 19 : 223–224.

[7] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (Первая торговая книга в мягкой обложке, ред.). Нью-Йорк: Бродвей Книги. п. 116. ISBN 0-7679-0816-3.

[Struik-8] а ^б Струик, Дж. Д. (1969), Справочник по математике, 1200-1800 гг., Издательство Гарвардского университета, ISBN 0-691-02397-2

[9] Герман Эрлихсон (1999), «Брахистохроновое решение Иоганна Бернулли с использованием принципа наименьшего времени Ферма», Евро. J. Phys., 20 (5): 299–304, Дои:10.1088/0143-0807/20/5/301

[10] Саган, Карл (2011). Космос. Издательская группа Random House. п. 94. ISBN 9780307800985. Получено 2 июн 2016.

[11] Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. п.547. ISBN 978-0-321-01618-8.

[12] Д. Т. Уайтсайд, Математик Ньютон, в Бехлере, Современные ньютоновские исследования, п. 122.

[13] Галилео Галилей (1638), "Третий день, теорема 22, предложение 36", Рассуждения о двух новых науках, п. 239 Этот вывод появился шестью годами ранее в работе Галилея. Диалог о двух главных мировых системах (День 4).

[14] Бернулли, Иоганн. Mémoires de l'Académie des Sciences (Французская академия наук) Vol. 3. 1718. С. 135–138.

[15] Ранний период вариационного исчисления, П. Фрегулья и М. Джаквинта, стр. 53–57, ISBN 978-3-319-38945-5.

[16] Бэбб, Джефф; Карри, Джеймс (июль 2008 г.), "Проблема брахистохроны: математика для широкой аудитории через широкую контекстную проблему" (PDF), Энтузиаст математики из Монтаны, 5 (2 и 3): 169–184, архивировано с оригинал (PDF) на 2011-07-27

[Dubois-17] Дюбуа, Жак (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et Historique" (PDF). Bulletin de l'Union des Physiciens. 85 (737): 1251–1289.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]