Разнообразие персонажей - Википедия - Character variety

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Разнообразие персонажей»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

в математика из теория модулей, учитывая алгебраический, редуктивный, Группа Ли ${ displaystyle G}$ и конечно порожденная группа ${ displaystyle pi}$, то ${ displaystyle G}$-разнообразие персонажей ${ displaystyle pi}$ это пространство классы эквивалентности из гомоморфизмы групп

${ Displaystyle { mathfrak {R}} = operatorname {Hom} ( pi, G) / ! sim ,}$.

Точнее, ${ displaystyle G}$ действует на ${ Displaystyle { mathfrak {R}}}$ к спряжение, и два гомоморфизма определены как эквивалентные (обозначенные ${ displaystyle sim}$) тогда и только тогда, когда их орбита замыкания пересекаются. Это самое слабое отношение эквивалентности на множестве орбит сопряжения, которое дает Пространство Хаусдорфа.

Формулировка

Формально и когда алгебраическая группа определяется над сложные числа ${ Displaystyle mathbb {C}}$, то ${ displaystyle G}$-характерное разнообразие спектр простых идеалов из кольцо инвариантов (т.е. Коэффициент GIT ).

${ Displaystyle mathbb {C} [ operatorname {Hom} ( pi, G)] ^ {G}}$.

Здесь в более общем смысле можно рассматривать алгебраически замкнутые поля основной характеристики. В этой общности многообразия характеров - это только алгебраические множества, а не фактические разновидности. Чтобы избежать технических проблем, часто учитывают уменьшенное пространство, разделив его на радикальный из 0 (исключая нильпотенты ). Однако это также не обязательно приводит к неприводимому пространству. Более того, если мы заменим комплексную группу реальной группой, мы можем не получить даже алгебраического множества. В частности, максимальная компактная подгруппа обычно дает полуалгебраический набор. С другой стороны, когда ${ displaystyle pi}$ бесплатно мы всегда получаем честное разнообразие; однако это необычно.

Примеры

Например, если ${ Displaystyle G = mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ и ${ displaystyle pi}$ не имеет ранга два, то разнообразие характеров ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$, поскольку по теореме Роберт Фрике, Феликс Кляйн, и Анри Г. Фогт, его координатное кольцо изоморфно комплексному кольцу многочленов от 3 переменных, ${ Displaystyle mathbb {C} [х, y, z]}$. Ограничение до ${ Displaystyle G = mathrm {SU} (2)}$ дает замкнутый вещественный трехмерный шар (полуалгебраический, но не алгебраический).

Другой пример, также изученный Фогтом и Фрике – Кляйном, - случай с ${ Displaystyle G = mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ и ${ displaystyle pi}$ не имеет третьего ранга. Тогда многообразие характеров изоморфно гиперповерхности в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {7}}$ заданный уравнением ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ab + cd) x- (ad + bc) y- (ac + bd) z + abcd + xyz-4 = 0}$.

Варианты

Эта конструкция разнообразия персонажей не обязательно такая же, как у Марк Каллер и Питер Шален (генерируется оценками следов), хотя когда ${ Displaystyle G = mathrm {SL} (п, mathbb {C})}$ они согласны, поскольку Клаудио Прочези показал, что в этом случае кольцо инвариантов фактически порождается только следами. Поскольку следовые функции инвариантны для всех внутренних автоморфизмов, конструкция Каллера – Шелена по существу предполагает, что мы действуем по формуле ${ Displaystyle G = mathrm {SL} (п, mathbb {C})}$ на ${ displaystyle { mathfrak {R}} = operatorname {Hom} ( pi, H)}$ даже если${ Displaystyle G not = H}$.^{[требуется разъяснение ]}

Например, когда ${ displaystyle pi}$ это свободная группа 2 ранга и ${ Displaystyle G = mathrm {SO} (2)}$, действие сопряжения тривиально и ${ displaystyle G}$-характерным многообразием является тор

${ displaystyle S ^ {1} times S ^ {1}.}$

Но алгебра следов - это строго малая подалгебра (инвариантов меньше). Это обеспечивает инволютивное действие на торе, которое необходимо учесть, чтобы получить многообразие характеров Каллера – Шалена. Инволюция на этом торе дает 2-сферу. Дело в том, что до ${ Displaystyle mathrm {SO} (2)}$-сопряжение все точки различны, но трасса идентифицирует элементы с разными антидиагональными элементами (инволюция).

Связь с геометрией

Существует взаимодействие между этими пространствами модулей и пространствами модулей основные связки, векторные пакеты, Связки Хиггса, и геометрические структуры на топологических пространствах, обычно задаваемые наблюдением, что, по крайней мере локально, эквивалентные объекты в этих категориях параметризованы классами сопряженности голономия гомоморфизмы. Другими словами, относительно базового пространства ${ displaystyle M}$ для расслоений или фиксированного топологического пространства для геометрических структур гомоморфизм голономии является гомоморфизмом групп из ${ Displaystyle pi _ {1} (М)}$ в структурную группу ${ displaystyle G}$ комплекта.

Подключение к модулям мотков

Координатное кольцо разнообразия персонажей было связано с мотки модули в теория узлов.^[1][2] Модуль мотка примерно деформация (или квантование) разнообразия символов. Он тесно связан с топологической квантовой теорией поля в размерности 2 + 1.

Смотрите также

• Геометрическая теория инвариантов
• Связка символов

Рекомендации