Геометрическая теория инвариантов - Geometric invariant theory

В математика, геометрическая теория инвариантов (или GIT) - метод построения частных по групповые действия в алгебраическая геометрия, используется для построения пространства модулей. Он был разработан Дэвид Мамфорд в 1965 г., используя идеи из статьи (Гильберт 1893 ) в классической теория инвариантов.

Геометрическая теория инвариантов изучает действие группы г на алгебраическое многообразие (или схема ) Икс и предоставляет методы для формирования "частного" Икс от г как схема с разумными свойствами. Одной из мотиваций было построить пространства модулей в алгебраическая геометрия как частные схем параметризации отмеченных объектов. В 1970-х и 1980-х годах теория развила взаимодействие с симплектическая геометрия и эквивариантная топология, и использовался для построения пространств модулей объектов в дифференциальная геометрия, такие как инстантоны и монополи.

Задний план

Теория инвариантов занимается групповое действие из группа г на алгебраическое многообразие (или схема ) Икс. Классическая теория инвариантов обращается к ситуации, когда Икс = V это векторное пространство и г является либо конечной группой, либо одним из классические группы Ли который действует линейно на V. Это действие индуцирует линейное действие г на пространстве полиномиальные функции р(V) на V по формуле

{ displaystyle g cdot f (v) = f (g ^ {- 1} v), quad g in G, v in V.}

Полином инварианты из г-действие на V эти полиномиальные функции ж на V которые фиксируются при 'замене переменных' из-за действия группы, так что г·ж = ж для всех г в г. Они образуют коммутативную алгебра А = р(V)^г, и эта алгебра интерпретируется как алгебра функций на 'фактор теории инвариантов ' V //г поскольку любая из этих функций дает одинаковое значение для всех эквивалентных точек (т. е. ${ Displaystyle f (v) = f (gv)}$ для всех $г$ ). На языке современного алгебраическая геометрия,

{ displaystyle V / ! ! / G = operatorname {Spec} A = operatorname {Spec} R (V) ^ {G}.}

Из этого описания вытекает несколько трудностей. Первый, успешно решенный Гильбертом в случае общая линейная группа, состоит в том, чтобы доказать, что алгебра А конечно порожден. Это необходимо, если нужно, чтобы частное было аффинное алгебраическое многообразие. Верен ли аналогичный факт для произвольных групп г был предметом Четырнадцатая проблема Гильберта, и Нагата продемонстрировали, что в целом ответ был отрицательным. С другой стороны, в процессе развития теория представлений в первой половине двадцатого века был идентифицирован большой класс групп, для которых ответ положительный; они называются редуктивные группы и включать все конечные группы и все классические группы.

Конечное порождение алгебры А это лишь первый шаг к полному описанию А, и прогресс в решении этого более деликатного вопроса был довольно скромным. Классически инварианты описывались только в ограниченном диапазоне ситуаций, и сложность этого описания за пределами первых нескольких случаев оставляла мало надежды на полное понимание алгебр инвариантов в целом. Более того, может случиться так, что любой полиномиальный инвариант ж принимает одинаковое значение для данной пары точек ты и v в V, но эти точки находятся в разных орбиты из г-действие. Простой пример - мультипликативная группа C^* ненулевых комплексных чисел, которая действует на п-мерное комплексное векторное пространство C^п скалярным умножением. В этом случае каждый полиномиальный инвариант является константой, но существует множество различных орбит действия. Нулевой вектор сам по себе образует орбиту, а ненулевые кратные любого ненулевого вектора образуют орбиту, так что ненулевые орбиты параметризуются точками комплекса проективное пространство CP^п−1. Если это происходит (разные орбиты имеют одинаковые значения функций), говорят, что «инварианты не разделяют орбиты», и алгебра А отражает топологический факторное пространство Икс /г довольно несовершенно. Действительно, последнее пространство с факторная топология, часто неразделимы (неХаусдорф ). (Так обстоит дело в нашем примере - нулевая орбита не открыта, потому что любая окрестность нулевого вектора содержит точки на всех других орбитах, поэтому в фактор-топологии любая окрестность нулевой орбиты содержит все другие орбиты.) В 1893 году Гильберт сформулировал и доказал критерий для определения тех орбит, которые не отделены от нулевой орбиты инвариантными многочленами. Примечательно, что в отличие от его более ранних работ по теории инвариантов, которые привели к быстрому развитию абстрактная алгебра, этот результат Гильберта оставался малоизвестным и мало использовался в течение следующих 70 лет. Большая часть развития теории инвариантов в первой половине двадцатого века касалась явных вычислений с инвариантами и, во всяком случае, следовала логике алгебры, а не геометрии.

Книга Мамфорда

Геометрическая теория инвариантов была основана и развита Мамфордом в монографии, впервые опубликованной в 1965 году, в которой были применены идеи теории инвариантов XIX века, включая некоторые результаты Гильберта, к вопросам современной алгебраической геометрии. (Книга была значительно расширена двумя более поздними изданиями, с дополнительными приложениями Фогарти и Мамфорда и главой о симплектических факторах Кирвана.) В книге используются и те и другие. теория схем и вычислительные методы, доступные в примерах. Используемая абстрактная настройка - это настройка групповое действие по схеме Икс.Простая идея орбитальное пространство

г\Икс,

то есть факторное пространство из Икс групповым действием, сталкивается с трудностями в алгебраической геометрии по причинам, объяснимым в абстрактных терминах. На самом деле нет общей причины, почему отношения эквивалентности должен хорошо взаимодействовать с (довольно жестким) обычные функции (полиномиальные функции), которые лежат в основе алгебраической геометрии. Функции на пространстве орбит г\Икс которые следует учитывать, это те, кто Икс которые инвариантный под действием г. Прямой доступ может быть выполнен с помощью функциональное поле разнообразия (т.е. рациональные функции ): возьмите г-инвариантный рациональные функции на нем, как функциональное поле частное разнообразие. К сожалению, это - точка зрения бирациональная геометрия - могу дать только первое приближение к ответу. Как сказал Мамфорд в предисловии к книге:

Проблема в том, что среди всех моделей результирующего бирационального класса есть одна модель, геометрические точки классифицировать набор орбит в некотором действии или набор алгебраических объектов в некоторой проблеме модулей.

В главе 5 он далее изолирует конкретную рассматриваемую техническую проблему в проблема модулей вполне классического типа - классифицируют большое «множество» всех алгебраических разновидностей, подлежащих только неособый (и необходимое условие на поляризация ). Модули должны описывать пространство параметров. Например, для алгебраические кривые это было известно со времен Риман что должно быть связанные компоненты размеров

0, 1, 3, 6, 9, …

согласно род г = 0, 1, 2, 3, 4,…, а модули являются функциями каждого компонента. в проблема грубых модулей Мамфорд считает, что препятствиями являются:

неразделенная топология в пространстве модулей (т.е. недостаточно параметров в хорошем состоянии)
бесконечно много неприводимых компонентов (чего нельзя избежать, но локальная конечность может держать)
невозможность представления компонентов в виде схем, хотя топологически респектабельных.

Это третий пункт, который мотивировал всю теорию. По словам Мамфорда, если первые две трудности разрешены

[третий вопрос] становится по существу эквивалентным вопросу о том, является ли пространство орбит некоторых локально закрыто подмножество Гильберта или Схемы Чау посредством проективная группа существуют.

Чтобы справиться с этим, он ввел понятие (фактически три) стабильность. Это позволило ему открыть ранее коварную область - многое было написано, в частности, Франческо Севери, но методы из литературы имели ограничения. Бирациональная точка зрения может позволить себе пренебречь подмножествами коразмерность 1. Наличие пространства модулей в качестве схемы - это, с одной стороны, вопрос о характеристике схем как представимые функторы (как Гротендик школа это увидит); но геометрически это больше похоже на компактификация вопрос, как показали критерии устойчивости. Ограничение на неособые многообразия не приведет к компактное пространство в любом смысле как пространство модулей: многообразия могут вырождаться до особенностей. С другой стороны, точки, которые соответствовали бы очень сингулярным разновидностям, определенно слишком «плохи», чтобы включать их в ответ. Правильная золотая середина, из точек, достаточно устойчивых, чтобы ее можно было признать, была выделена работой Мамфорда. Эта концепция не была полностью новой, поскольку некоторые ее аспекты можно было найти в Дэвид Гильберт последние идеи по теории инвариантов, прежде чем он перешел в другие области.

В предисловии к книге также говорится о Гипотеза Мамфорда, позже доказано Уильям Хабуш.

Стабильность

Если редуктивная группа г действует линейно в векторном пространстве V, то ненулевая точка V называется

неустойчивый если 0 находится на замыкании своей орбиты,
полустабильный если 0 не находится на закрытии своей орбиты,
стабильный если его орбита замкнута, а стабилизатор конечен.

Существуют эквивалентные способы их обозначения (этот критерий известен как Критерий Гильберта-Мамфорда ):

Ненулевой балл Икс нестабильно тогда и только тогда, когда существует 1-параметрическая подгруппа г все чьи веса относительно Икс положительные.
Ненулевой балл Икс нестабильно тогда и только тогда, когда каждый инвариантный многочлен имеет одинаковое значение на 0 и Икс.
Ненулевой балл Икс полустабильно тогда и только тогда, когда нет 1-параметрической подгруппы г все чьи веса относительно Икс положительные.
Ненулевой балл Икс полустабильно тогда и только тогда, когда некоторый инвариантный многочлен имеет разные значения на 0 и Икс.
Ненулевой балл Икс стабильна тогда и только тогда, когда каждая однопараметрическая подгруппа г имеет положительные (и отрицательные) веса относительно Икс.
Ненулевой балл Икс стабильно тогда и только тогда, когда для каждого y не на орбите Икс существует некоторый инвариантный многочлен, который имеет разные значения на y и Икс, а кольцо инвариантных многочленов имеет степень трансцендентности dim (V) −dim (г).

Точка соответствующего проективного пространства V называется неустойчивым, полустабильным или устойчивым, если это изображение точки в V с такой же собственностью. «Нестабильный» - это противоположность «полустабильному» (не «стабильному»). Неустойчивые точки образуют замкнутое множество Зарисского проективного пространства, в то время как полустабильные и стабильные точки образуют открытые множества Зарисского (возможно, пустые). Эти определения взяты из (Мамфорд 1977 ) и не эквивалентны тем, что в первом издании книги Мамфорда.

Многие пространства модулей могут быть построены как факторпространства стабильных точек некоторого подмножества проективного пространства по некоторому групповому действию. Эти пространства часто можно компактифицировать, добавляя определенные классы эквивалентности полустабильных точек. Разные стабильные орбиты соответствуют разным точкам фактора, но две разные полустабильные орбиты могут соответствовать одной и той же точке фактора, если их замыкания пересекаются.

Пример: (Делинь и Мамфорд 1969 ) А стабильная кривая представляет собой приведенную связную кривую рода ≥2, у которой единственными особенностями являются обычные двойные точки, а каждая неособая рациональная компонента пересекает другие компоненты не менее чем в 3 точках. Пространство модулей стабильных кривых рода г является частным подмножества Схема гильберта кривых в п^5г-6 с полиномом Гильберта (6п−1)(г−1) группой PGL_5г−5.

Пример: векторный набор W над алгебраическая кривая (или более Риманова поверхность ) это стабильное векторное расслоение если и только если

{ Displaystyle Displaystyle { гидроразрыва { deg (V)} {{ hbox {rank}} (V)}} <{ frac { deg (W)} {{ hbox {rank}} (W) }}}

для всех собственных ненулевых подгрупп V из W и является полустабильным, если это условие выполняется с заменой <на ≤.

Смотрите также

использованная литература

Делинь, Пьер; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 36 (1): 75–109, Дои:10.1007 / BF02684599, Г-Н 0262240
Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Математика. Annalen, 42 (3): 313, Дои:10.1007 / BF01444162
Кирван, Фрэнсис, Когомологии частных в симплектической и алгебраической геометрии. Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i + 211 pp. Г-Н0766741 ISBN 0-691-08370-3
Крафт, Ханспетер, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie. (Немецкий) (Геометрические методы в теории инвариантов) Аспекты математики, D1. Фридр. Vieweg & Sohn, Брауншвейг, 1984. x + 308 с. Г-Н0768181 ISBN 3-528-08525-8
Мамфорд, Дэвид (1977), «Устойчивость проективных многообразий», L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIE Série, 23 (1): 39–110, ISSN 0013-8584, Г-Н 0450272, заархивировано из оригинал на 2011-07-07
Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)], 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-57916-5, HDL:2433/102881, ISBN 978-3-540-56963-3, Г-Н 1304906; Г-Н0214602 (1-е изд. 1965 г.); Г-Н0719371 (2-е изд)
В. Л. Попов, Э. Б. Винберг, Теория инвариантов, в Алгебраическая геометрия. IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 с.ISBN 3-540-54682-0