Теория инвариантов - Invariant theory

Теория инвариантов это филиал абстрактная алгебра иметь дело с действия из группы на алгебраические многообразия, например векторные пространства, с точки зрения их влияния на функции. Классически теория касалась вопроса явного описания полиномиальные функции которые не меняются, или инвариантный, при преобразованиях из заданного линейная группа. Например, если мы рассмотрим действие специальная линейная группа SL_п на пространстве п от п матрицы умножением слева, то детерминант является инвариантом этого действия, поскольку определитель А X равен определителю Икс, когда А в SL_п.

Введение

Позволять ${ displaystyle G}$ быть группа, и ${ displaystyle V}$ конечномерный векторное пространство через поле ${ displaystyle k}$ (который в классической теории инвариантов обычно считался сложные числа ). А представление из ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle V}$ это групповой гомоморфизм ${ Displaystyle pi: G в GL (V)}$ , что индуцирует групповое действие из ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle V}$ . Если ${ displaystyle k [V]}$ это пространство полиномиальных функций на ${ displaystyle V}$ , то групповое действие ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle V}$ производит действие на ${ displaystyle k [V]}$ по следующей формуле:

{ displaystyle (g cdot f) (x): = f (g ^ {- 1} (x)) qquad forall x in V, g in G, f in k [V].}

С помощью этого действия естественно рассматривать подпространство всех полиномиальных функций, которые инвариантны относительно этого действия группы, другими словами, множество полиномов таких, что ${ displaystyle g cdot f = f}$ для всех ${ displaystyle g in G}$ . Это пространство инвариантные многочлены обозначается ${ Displaystyle к [V] ^ {G}}$ .

Первая проблема теории инвариантов:^[1] Является ${ Displaystyle к [V] ^ {G}}$ а конечно порожденная алгебра над ${ displaystyle k}$ ?

Например, если ${ displaystyle G = SL_ {n}}$ и ${ displaystyle V = M_ {n}}$ пространство квадратных матриц, а действие ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle V}$ дается левым умножением, то ${ Displaystyle к [V] ^ {G}}$ изоморфен полиномиальная алгебра в одной переменной, порожденной определителем. Другими словами, в этом случае каждый инвариантный многочлен представляет собой линейную комбинацию степеней детерминантного многочлена. Итак, в этом случае ${ Displaystyle к [V] ^ {G}}$ конечно порожден над ${ displaystyle k}$ .

Если ответ положительный, то следующий вопрос состоит в том, чтобы найти минимальный базис и спросить, существует ли модуль полиномиальных отношений между базисными элементами (известный как сизигии ) конечно порождена над ${ displaystyle k [V]}$ .

Инвариантная теория конечные группы имеет близкие связи с Теория Галуа. Одним из первых крупных результатов была основная теорема о симметричные функции описывающие инварианты симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$ действуя на кольцо многочленов ${ Displaystyle R [x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ ] от перестановки переменных. В более общем плане Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда. характеризует конечные группы, алгебра инвариантов которых является кольцом многочленов. Современные исследования в области теории инвариантов конечных групп подчеркивают «эффективные» результаты, такие как явные оценки степеней образующих. Случай положительного характеристика, идеологически близкие к модульная теория представлений, является областью активного изучения, со ссылками на алгебраическая топология.

Инвариантная теория бесконечные группы неразрывно связано с развитием линейная алгебра, особенно теории квадратичные формы и детерминанты. Еще одним предметом с сильным взаимным влиянием был проективная геометрия, где теория инвариантов должна была сыграть важную роль в организации материала. Одним из основных моментов этих отношений является символический метод. Теория представлений из полупростые группы Ли берет свое начало в теории инвариантов.

Дэвид Гильберт Работа по вопросу о конечном порождении алгебры инвариантов (1890 г.) привела к созданию новой математической дисциплины - абстрактной алгебры. В более поздней статье Гильберта (1893 г.) те же вопросы рассматривались более конструктивно и геометрически, но она оставалась практически неизвестной до тех пор, пока Дэвид Мамфорд вернул эти идеи к жизни в 1960-х годах в значительно более общей и современной форме в своей геометрическая теория инвариантов. В значительной степени из-за влияния Мамфорда рассматривается, что предмет теории инвариантов охватывает теорию действий линейные алгебраические группы на аффинный и проективный разновидности. Отдельное направление теории инвариантов, восходящее к классическим конструктивным и комбинаторным методам девятнадцатого века, было развито Джан-Карло Рота и его школа. Ярким примером этого круга идей является теория стандартные мономы.

Примеры

Простые примеры теории инвариантов приходят из вычисления инварианта мономы от группового действия. Например, рассмотрим ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ -действие на ${ displaystyle mathbb {C} [x, y]}$ отправка

{ Displaystyle { begin {выровнено} x mapsto -x && y mapsto -y end {выровнено}}}

Тогда, поскольку ${ displaystyle x ^ {2}, xy, y ^ {2}}$ мономы низшей степени, которые инвариантны, имеем

{ Displaystyle mathbb {C} [x, y] ^ { mathbb {Z} / 2} cong mathbb {C} [x ^ {2}, xy, y ^ {2}] cong { frac { mathbb {C} [a, b, c]} {(ac-b ^ {2})}}}

Этот пример формирует основу для выполнения многих вычислений.

Истоки девятнадцатого века

Теория инвариантов возникла примерно в середине XIX века в некотором роде. Минерва: взрослая дева, закованная в сияющие доспехи алгебры, она возникла из Кэли Голова Юпитера.

Вейль (1939b, стр.489)

Кэли впервые основал теорию инвариантов в своей «Теории линейных преобразований» (1845 г.). В начале своей статьи Кэли ссылается на статью Джорджа Буля 1841 года: «Исследования были подсказаны мне очень элегантной статьей на ту же тему ... мистера Буля». (Статья Буля называлась Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)

Классически термин «теория инвариантов» относится к изучению инвариантных алгебраические формы (эквивалентно, симметричные тензоры ) для действие из линейные преобразования. Это была основная область исследований во второй половине девятнадцатого века. Современные теории, относящиеся к симметричная группа и симметричные функции, коммутативная алгебра, пространства модулей и представления групп Ли укоренены в этой области.

Более подробно, учитывая конечномерную векторное пространство V измерения п мы можем рассмотреть симметрическая алгебра S(S^р(V)) полиномов степени р над V, и действие на нем GL (V). На самом деле правильнее рассматривать относительные инварианты GL (V) или представления SL (V), если говорить о инварианты: это потому, что скалярное кратное тождества будет действовать на тензор ранга р в S (V) сквозь р-й степени «вес» скаляра. Дело в том, чтобы определить подалгебру инвариантов я(S^р(V)) за действие. На классическом языке мы смотрим на инварианты п-ари р-ics, где п это размерV. (Это не то же самое, что нахождение инвариантов GL (V) на S (V); это неинтересная проблема, поскольку единственными такими инвариантами являются константы.) Наиболее изученным случаем был инварианты бинарных форм где п = 2.

Другая работа включала работу Феликс Кляйн при вычислении инвариантных колец действий конечных групп на ${ displaystyle mathbf {C} ^ {2}}$ (в бинарные полиэдральные группы, классифицированные Классификация ADE ); это координатные кольца особенности дю Валя.

Подобно арабскому фениксу, восставшему из пепла, теория инвариантов, объявленная мертвой на рубеже веков, снова находится на переднем крае математики.

Кунг и Рота (1984), стр.27)

Работа Дэвид Гильберт, доказывая, что я(V) во многих случаях была окончательно изложена, почти положив конец классической теории инвариантов на несколько десятилетий, хотя классическая эпоха в этой теме продолжалась до последних публикаций Альфред Янг, более чем 50 лет спустя. Явные вычисления для определенных целей известны в наше время (например, Сиода с двоичными октавиками).

Теоремы Гильберта

Гильберт (1890) доказал, что если V конечномерное представление комплексной алгебраической группы г = SL_п(C), то кольцо инвариантов г действующий на кольцо многочленов р = S(V) конечно порождена. Его доказательство использовало Оператор Рейнольдса ρ из р к р^г со свойствами

ρ(1) = 1
ρ(а + б) = ρ(а) + ρ(б)
ρ(ab) = а ρ(б) всякий раз, когда а инвариант.

Гильберт явно построил оператор Рейнольдса, используя Омега-процесс Кэли Ω, хотя сейчас более принято строить ρ косвенно следующим образом: для компактных групп г, оператор Рейнольдса дается усреднением по г, а некомпактные редуктивные группы сводятся к случаю компактных групп с помощью унитарный трюк.

Учитывая оператор Рейнольдса, теорема Гильберта доказывается следующим образом. Кольцо р кольцо многочленов, поэтому оно градуируется по степеням, а идеал я определяется как идеал, порожденный однородными инвариантами положительных степеней. От Базисная теорема Гильберта идеал я конечно порожден (как идеал). Следовательно, я конечно порожден конечным числом инвариантов группы G (потому что, если нам дано любое - возможно бесконечное - подмножество S который порождает конечно порожденный идеал я, тогда я уже порождается некоторым конечным подмножеством S). Позволять я₁,...,я_п - конечный набор инвариантов г создание я (в идеале). Ключевая идея - показать, что они создают кольцо р^г инвариантов. Предположим, что Икс - некоторый однородный инвариант степени d > 0. Тогда

Икс = а₁я₁ + ... + а_пя_п

для некоторых а_j в ринге р потому что Икс в идеале я. Можно предположить, что а_j однороден по степени d - град я_j для каждого j (в противном случае заменяем а_j однородной составляющей степени d - град я_j; если мы сделаем это для каждого j, уравнение Икс = а₁я₁ + ... + а_пя_п останется в силе). Теперь, применяя оператор Рейнольдса к Икс = а₁я₁ + ... + а_пя_п дает

Икс = ρ (а₁)я₁ + ... + ρ(а_п)я_п

Сейчас мы покажем, что Икс лежит в р-алгебра, порожденная я₁,...,я_п.

Сначала сделаем это в случае, когда элементы ρ (а_k) все имеют степень ниже d. В этом случае все они находятся в р-алгебра, порожденная я₁,...,я_п (по предположению индукции). Следовательно, Икс также в этом р-алгебра (поскольку Икс = ρ(а₁)я₁ + ... + ρ (а_п)я_п).

В общем случае нельзя быть уверенным, что элементы ρ (а_k) все имеют степень ниже d. Но мы можем заменить каждое ρ (а_k) однородной составляющей степени d - град я_j. В результате эти модифицированные ρ (а_k) все еще г-инварианты (потому что каждый однородный компонент г-инвариантным является г-инвариантно) и имеют степень меньше d (поскольку deg я_k > 0). Уравнение Икс = ρ (а₁)я₁ + ... + ρ (а_п)я_п все еще выполняется для нашего модифицированного ρ (а_k), поэтому мы снова можем заключить, что Икс лежит в р-алгебра, порожденная я₁,...,я_п.

Следовательно, индукцией по степени все элементы р^г находятся в р-алгебра, порожденная я₁,...,я_п.

Геометрическая теория инвариантов

Современная формулировка геометрическая теория инвариантов связано с Дэвид Мамфорд, и подчеркивает построение частного по действию группы, которое должно захватывать инвариантную информацию через свое координатное кольцо. Это тонкая теория, поскольку успех достигается за счет исключения одних «плохих» орбит и определения других с «хорошими» орбитами. В отдельной разработке символический метод теории инвариантов, очевидно эвристическая комбинаторная запись, была реабилитирована.

Одной из мотиваций было построить пространства модулей в алгебраическая геометрия как частные схем параметризации отмеченных объектов. В 1970-х и 1980-х годах теория развила взаимодействие с симплектическая геометрия и эквивариантной топологии, и был использован для построения пространств модулей объектов в дифференциальная геометрия, такие как инстантоны и монополи.

Смотрите также

использованная литература

^ Борель, Арман (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп. История математики, Vol. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN 978-0821802885.

Дьедонне, Жан А.; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Теория инвариантов, старая и новая», Успехи в математике, 4: 1–80, Дои:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISSN 0001-8708, Г-Н 0255525 Печатается как Dieudonné, Jean A .; Каррелл, Джеймс Б. (1971), "Теория инвариантов, старая и новая", Успехи в математике, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, 4: 1–80, Дои:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISBN 978-0-12-215540-6, Г-Н 0279102
Долгачев, Игорь (2003), Лекции по теории инвариантов, Серия лекций Лондонского математического общества, 296, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511615436, ISBN 978-0-521-52548-0, Г-Н 2004511
Grace, J. H .; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов, Кембридж: Издательство Кембриджского университета
Гроссханс, Фрэнк Д. (1997), Алгебраические однородные пространства и теория инвариантов, Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-63628-5
Кунг, Джозеф П. С .; Рота, Джан-Карло (1984), «Теория инвариантов бинарных форм», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 10 (1): 27–85, Дои:10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, Г-Н 0722856
Гильберт, Дэвид (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen, 36 (4): 473–534, Дои:10.1007 / BF01208503, ISSN 0025-5831
Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (О полностью инвариантных системах)", Математика. Annalen, 42 (3): 313, Дои:10.1007 / BF01444162
Neusel, Mara D .; Смит, Ларри (2002), Инвариантная теория конечных групп, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2916-5 Недавний ресурс для изучения модулярных инвариантов конечных групп.
Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55821-2 Введение на уровне бакалавриата в классическую теорию инвариантов бинарных форм, включая Омега процесс начиная со страницы 87.
Попов, В. (2001) [1994], «Инварианты, теория», Энциклопедия математики, EMS Press
Спрингер, Т. А. (1977), Теория инвариантов, Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Более старый, но все же полезный обзор.
Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов, Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Красивое введение в теорию инвариантов конечных групп и техники их вычисления с использованием базисов Грёбнера.
Вейль, Германн (1939), Классические группы. Их инварианты и представления, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, Г-Н 0000255
Вейль, Германн (1939b), «Инварианты», Математический журнал герцога, 5 (3): 489–502, Дои:10.1215 / S0012-7094-39-00540-5, ISSN 0012-7094, Г-Н 0000030

внешние ссылки

Х. Крафт, К. Прочези, Классическая теория инвариантов, учебник
Попов В.Л., Винберг Э.Б. Теория инвариантов. Алгебраическая геометрия. IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi + 284 с .; ISBN 3-540-54682-0

[1] Борель, Арман (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп. История математики, Vol. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN 978-0821802885.

[1]