Символический метод - Symbolic method
В математика, то символический метод в теория инвариантов является алгоритм разработан Артур Кэли (1846 ), Зигфрид Генрих Аронхольд (1858 ), Альфред Клебш (1861 ), и Пол Гордан (1887 ) в 19 веке для вычислений инварианты из алгебраические формы. Он основан на трактовке формы так, как если бы она была степенью формы первой степени, что соответствует вложению симметричной степени векторного пространства в симметричные элементы тензорное произведение копий этого.
Символическое обозначение
Символьный метод использует компактную, но довольно запутанную и загадочную запись для инвариантов, в зависимости от введения новых символов. а, б, c, ... (отсюда и название символического метода) с явно противоречивыми свойствами.
Пример: дискриминант двоичной квадратичной формы
Эти символы можно пояснить на следующем примере из (Гордан 1887, т. 2, стр. 1-3). Предположим, что
- бинарная квадратичная форма с инвариантом, задаваемым дискриминантом
Символическое представление дискриминанта
куда а и б символы. Значение выражения (ab)2 как следует. Прежде всего, (ab) является сокращенной формой определителя матрицы, строки которой а1, а2 и б1, б2, так
В квадрате мы получаем
Затем мы делаем вид, что
так что
и мы игнорируем тот факт, что это не имеет смысла, если ж не является степенью линейной формы. Подстановка этих значений дает
Высшие степени
В более общем плане, если
является двоичной формой более высокой степени, то вводятся новые переменные а1, а2, б1, б2, c1, c2, со свойствами
Это означает, что следующие два векторных пространства естественно изоморфны:
- Векторное пространство однородных многочленов от А0,...Ап степени м
- Векторное пространство многочленов от 2м переменные а1, а2, б1, б2, c1, c2, ... имеющие степень п в каждом из м пары переменных (а1, а2), (б1, б2), (c1, c2), ... и симметричны относительно перестановок м символы а, б, ....,
Изоморфизм задается отображением ап−j
1аj
2, бп−j
1бj
2, .... к Аj. Это отображение не сохраняет произведения многочленов.
Больше переменных
Расширение формы ж в более чем двух переменных Икс1, Икс2,Икс3, ... аналогично: вводятся символы а1, а2,а3 и так далее со свойствами
Симметричные произведения
Довольно загадочный формализм символического метода соответствует вложению симметричного произведения Sп(V) векторного пространства V в тензорное произведение п копии V, как элементы, сохраненные действием симметрической группы. Фактически это делается дважды, поскольку инварианты степени п количественной степени м - инвариантные элементы SпSм(V), который вкладывается в тензорное произведение млн копии V, как элементы, инвариантные относительно сплетения двух симметрических групп. Скобки символьного метода на самом деле являются инвариантными линейными формами на этом тензорном произведении, которые дают инварианты SпSм(V) ограничением.
Смотрите также
Рекомендации
- Аронхольд, Зигфрид Генрих (1858), "Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen"., Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком), 1858 (55): 97–191, Дои:10.1515 / crll.1858.55.97, ISSN 0075-4102
- Кэли, Артур (1846), «О линейных преобразованиях», Кембриджский и Дублинский математический журнал: 104–122
- Клебш, А. (1861), "Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 1861 (59): 1–62, Дои:10.1515 / crll.1861.59.1, ISSN 0075-4102
- Дьедонне, Жан; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Теория инвариантов, старая и новая», Успехи в математике, 4: 1–80, Дои:10.1016/0001-8708(70)90015-0[мертвая ссылка ], стр. 32–37, «Инварианты п-арные формы: символический метод. Печатается как Дьедонне, Жан; Каррелл, Джеймс Б. (1971), Теория инвариантов, старая и новая, Academic Press, ISBN 0-12-215540-8
- Долгачев, Игорь (2003), Лекции по теории инвариантов, Серия лекций Лондонского математического общества, 296, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511615436, ISBN 978-0-521-52548-0, МИСТЕР 2004511
- Гордан, Пол (1887), Кершенштайнер, Георг (ред.), Vorlesungen über Invariantentheorie (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0328-3, МИСТЕР 0917266
- Грейс, Джон Хилтон; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов, Издательство Кембриджского университета
- Гильберт, Дэвид (1993) [1897], Теория алгебраических инвариантов, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-44457-6, МИСТЕР 1266168
- Кох, Себастьян С., изд. (1987), Теория инвариантов, Конспект лекций по математике, 1278, ISBN 3-540-18360-4
- Кунг, Джозеф П. С .; Рота, Джан-Карло (1984), «Теория инвариантов бинарных форм», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 10 (1): 27–85, Дои:10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, МИСТЕР 0722856