Символический метод - Symbolic method

В математика, то символический метод в теория инвариантов является алгоритм разработан Артур Кэли  (1846 ), Зигфрид Генрих Аронхольд  (1858 ), Альфред Клебш  (1861 ), и Пол Гордан  (1887 ) в 19 веке для вычислений инварианты из алгебраические формы. Он основан на трактовке формы так, как если бы она была степенью формы первой степени, что соответствует вложению симметричной степени векторного пространства в симметричные элементы тензорное произведение копий этого.

Символическое обозначение

Символьный метод использует компактную, но довольно запутанную и загадочную запись для инвариантов, в зависимости от введения новых символов. а, б, c, ... (отсюда и название символического метода) с явно противоречивыми свойствами.

Пример: дискриминант двоичной квадратичной формы

Эти символы можно пояснить на следующем примере из (Гордан 1887, т. 2, стр. 1-3). Предположим, что

- бинарная квадратичная форма с инвариантом, задаваемым дискриминантом

Символическое представление дискриминанта

куда а и б символы. Значение выражения (ab)2 как следует. Прежде всего, (ab) является сокращенной формой определителя матрицы, строки которой а1, а2 и б1, б2, так

В квадрате мы получаем

Затем мы делаем вид, что

так что

и мы игнорируем тот факт, что это не имеет смысла, если ж не является степенью линейной формы. Подстановка этих значений дает

Высшие степени

В более общем плане, если

является двоичной формой более высокой степени, то вводятся новые переменные а1, а2, б1, б2, c1, c2, со свойствами

Это означает, что следующие два векторных пространства естественно изоморфны:

  • Векторное пространство однородных многочленов от А0,...Ап степени м
  • Векторное пространство многочленов от 2м переменные а1, а2, б1, б2, c1, c2, ... имеющие степень п в каждом из м пары переменных (а1, а2), (б1, б2), (c1, c2), ... и симметричны относительно перестановок м символы а, б, ....,

Изоморфизм задается отображением апj
1
аj
2
, бпj
1
бj
2
, .... к Аj. Это отображение не сохраняет произведения многочленов.

Больше переменных

Расширение формы ж в более чем двух переменных Икс1, Икс2,Икс3, ... аналогично: вводятся символы а1, а2,а3 и так далее со свойствами

Симметричные произведения

Довольно загадочный формализм символического метода соответствует вложению симметричного произведения Sп(V) векторного пространства V в тензорное произведение п копии V, как элементы, сохраненные действием симметрической группы. Фактически это делается дважды, поскольку инварианты степени п количественной степени м - инвариантные элементы SпSм(V), который вкладывается в тензорное произведение млн копии V, как элементы, инвариантные относительно сплетения двух симметрических групп. Скобки символьного метода на самом деле являются инвариантными линейными формами на этом тензорном произведении, которые дают инварианты SпSм(V) ограничением.

Смотрите также

Рекомендации