Гомологии Морса - Morse homology

В математика, особенно в области дифференциальная топология, Гомологии Морса это теория гомологии определен для любого гладкого многообразие. Он построен с использованием гладкая структура и вспомогательный метрика на коллекторе, но оказывается топологически инвариантный, и фактически изоморфен особые гомологии. Гомологии Морса также служат моделью для различных бесконечномерных обобщений, известных как Гомология Флоера теории.

Формальное определение

Для любого (компактного) гладкого многообразия пусть ж быть Функция Морса и грамм а Риманова метрика на коллекторе. (Это вспомогательные; в конце концов, гомологии Морса не зависят ни от одной из них.) Пара ${ Displaystyle (е, г)}$ дает нам градиент векторное поле. Мы говорим что ${ Displaystyle (е, г)}$ является Морс – Смейл если стабильный и неустойчивые коллекторы связаны со всеми критические точки из ж пересекаются друг с другом поперечно.

Для любой такой пары ${ Displaystyle (е, г)}$ , можно показать, что разница в индекс между любыми двумя критическими точками равен размеру пространство модулей градиентных потоков между этими точками. Таким образом, существует одномерное пространство модулей потоков между критической точкой индекса я и один из индекса ${ displaystyle i-1}$ . Каждый поток можно изменить параметризацией путем одномерного перевода в домене. После модификации с помощью этих повторных параметризаций факторное пространство нульмерна, то есть совокупность ориентированный точки, представляющие непараметризованные линии тока.

А цепной комплекс ${ Displaystyle С _ {*} (М, (е, г))}$ тогда можно определить следующим образом. Набор цепочек - это Z-модуль порожденные критическими точками. Дифференциал d комплекса отправляет критическую точку п индекса я к сумме индекса- ${ Displaystyle (я-1)}$ критических точек, с коэффициентами, соответствующими (подписанному) количеству непараметризованных линий тока из п к этим указателям- ${ Displaystyle (я-1)}$ критические точки. Конечность числа таких потоковых линий следует из компактности пространства модулей.

Тот факт, что это определяет цепной комплекс (то есть, что ${ displaystyle d ^ {2} = 0}$ ) следует из понимания того, как пространства модулей градиентных потоков компактифицировать. А именно в ${ displaystyle d ^ {2} (p)}$ коэффициент индекса- ${ Displaystyle (я-2)}$ критическая точка q это (подписанное) число разорванные потоки состоящий из потока индекса-1 из п до некоторой критической точки р индекса ${ displaystyle i-1}$ и еще один поток index-1 из р к q. Эти разорванные потоки в точности составляют границу пространства модулей потоков индекса-2: можно показать, что предел любой последовательности непрерывных потоков индекса-2 имеет эту форму, и все такие разорванные потоки возникают как пределы непрерывного потока индекса-2. потоки. Непараметризованные потоки индекса 2 относятся к одномерным семействам, которые компактифицируются в компактные одномерные многообразия. Тот факт, что край компактного одномерного многообразия всегда равен нулю, доказывает, что ${ displaystyle d ^ {2} (p) = 0}$ .

Инвариантность гомологий Морса

Можно показать, что гомологии этого комплекса не зависят от пары Морса – Смейла (ж, грамм) используется для его определения. Гомотопия пар (ж_т, грамм_т), который интерполирует между любыми двумя заданными парами (ж₀, грамм₀) и (ж₁, грамм₁) всегда можно определить. Либо через бифуркация анализ или с помощью карта продолжения определить карта цепи из ${ displaystyle C _ {*} (М, (е_ {0}, г_ {0}))}$ к ${ Displaystyle С _ {*} (М, (е_ {1}, г_ {1}))}$ , можно показать, что две гомологии Морса изоморфны. Аналогичные рассуждения с использованием гомотопии гомотопий показывают, что этот изоморфизм каноничен.

Другой подход к доказательству инвариантности гомологий Морса состоит в том, чтобы напрямую связать ее с сингулярными гомологиями. Можно определить отображение в особые гомологии, посылая критическую точку особой цепи, связанной с неустойчивым многообразием, связанным с этой точкой; И наоборот, сингулярная цепочка направляется к предельным критическим точкам, достигаемым путем протекания цепочки с использованием векторного поля градиента. Самый чистый способ сделать это строго - использовать теорию токи.

Изоморфизм с сингулярными гомологиями можно также доказать, продемонстрировав изоморфизм с клеточная гомология, просмотрев неустойчивое многообразие, связанное с критической точкой индекса я как я-ячейка, и показывает, что карты границ в морсовском и клеточном комплексах соответствуют.

Связанные конструкции

Этот подход к теории Морса был известен в той или иной форме Рене Том и Стивен Смейл. Это также подразумевается в Джон Милнор книга о h-кобордизм теорема.

Из того факта, что гомологии Морса изоморфны сингулярным гомологиям, неравенства Морса вытекают из рассмотрения количества образующих, то есть критических точек, необходимых для генерации групп гомологий соответствующих рангов (и рассмотрения усечений комплекса Морса , чтобы получить более сильные неравенства). Существование гомологии Морса «объясняет» в смысле категоризация, неравенства Морса.

Эдвард Виттен придумал родственную конструкцию в начале 1980-х, иногда известную как Теория Морса – Виттена.

Гомологии Морса могут быть расширены до конечномерных некомпактных или бесконечномерных многообразий, где индекс остается конечным, метрика полная, а функция удовлетворяет условию Условие компактности Пале – Смейла., например, функционал энергии для геодезических на римановом многообразии. Обобщение на ситуации, когда и индекс, и коиндекс бесконечны, но относительный индекс любой пары критических точек конечен, известно как Гомология Флоера.

Сергей Новиков обобщил эту конструкцию на теорию гомологий, связанную с закрытая однократная форма на коллекторе. Гомологии Морса являются частным случаем одноформной df. Частным случаем теории Новикова является кругозначная теория Морса, который Майкл Хатчингс и Йи-Джен Ли подключились к Кручение Рейдемейстера и Теория Зайберга – Виттена.

Гомологии Морса – Ботта

Гомологии Морса могут быть выполнены в ситуации Морса – Ботта, т.е. когда вместо изолированных невырожденных критических точек функция имеет критические многообразия, касательное пространство которых в точке совпадает с ядром гессиана в этой точке. Такая ситуация будет возникать всегда, если рассматриваемая функция инвариантна относительно недискретной группы Ли.

Чтобы описать полученный цепной комплекс и его гомологии, на каждом критическом подмногообразии введем общую функцию Морса. Цепи будут состоять из путей, которые начинаются в критическом многообразии в критической точке вспомогательной функции Морса, следуют градиентной траектории относительно некоторой метрики, а затем покидают подмногообразие, чтобы следовать за векторным полем градиента функции Морса – Ботта, пока он попадает в другой критический коллектор; он либо течет некоторое время по градиентной траектории, связанной с функцией Морса на этом критическом подмногообразии, а затем перетекает на другое критическое подмногообразие и т. д., либо течет в критическую точку исходного подмногообразия и завершается. См. (Фрауэнфельдер). Такой подход к гомологии Морса – Ботта появился в контексте неопубликованной работы для контактная гомология по Буржуа, в котором критические подмногообразия суть множества Риб орбиты, а градиентные потоки между критическими подмногообразиями являются псевдоголоморфными кривыми в симплектизации контактного многообразия, асимптотического к орбитам Риба, в соответствующих критических многообразиях орбит Риба. Если мы продолжим каждую функцию Морса до функции на всем многообразии с носителем вблизи критических подмногообразий , мы можем явно записать функцию Морса – Смейла, которая возмущает исходную функцию Морса – Ботта. А именно, умножьте каждую из расширенных функций на некоторую небольшую положительную константу, просуммируйте их и добавьте результат к исходной функции Морса – Ботта. Описанные выше разорванные потоки будут C⁰ близко к линиям тока этой функции Морса – Смейла.

Гомологии Морса - Morse homology

Содержание

Формальное определение

Инвариантность гомологий Морса

Связанные конструкции

Гомологии Морса – Ботта

Рекомендации