Расщепление Хегора - Википедия - Heegaard splitting

в математический поле геометрическая топология, а Расщепление Хегора (Датский:[ˈHe̝ˀˌkɒˀ] (Слушать)) является разложением компактного ориентированного 3-х коллекторный это результат разделения на два рули.

Определения

Позволять V и W быть рули рода грамм, и пусть ƒ - обращающая ориентацию гомеоморфизм от граница из V к границе W. Склеивая V к W вдоль получаем компактный ориентированный 3-х коллекторный

{ displaystyle M = V cup _ {f} W.}

Каждый закрытый, ориентируемый так можно получить трехколлектор; это следует из глубоких результатов о триангулируемости трехмерных многообразий благодаря Моисей. Это сильно контрастирует с многомерными многообразиями, которые не должны допускать гладких или кусочно-линейных структур. В предположении гладкости существование расщепления Хегора также следует из работы Смейл о разложениях ручек из теории Морса.

Разложение M на два руля называется Расщепление Хегора, а их общая граница ЧАС называется Поверхность Heegaard расщепления. Расщепления считаются до изотопия.

Отображение склейки ƒ нужно указывать только с точностью до двойного смежный в группа классов отображения из ЧАС. Эта связь с группой классов отображения была впервые установлена В. Б. Р. Ликориш.

Расщепления Хегора также можно определить для компактных трехмерных многообразий с краем, заменив тела руля на тела сжатия. Карта склейки находится между положительными границами тел сжатия.

Замкнутая кривая называется существенный если он не гомотопен точке, проколу или граничному компоненту.^[1]

Расщепление Хегора сводимый если существует существенная простая замкнутая кривая ${ displaystyle alpha}$ на ЧАС который ограничивает диск в обоих V И в W. Расщепление несводимый если он не сводится. Это следует из Лемма Хакена что в приводимое многообразие каждое расщепление приводимо.

Расщепление Хегора стабилизированный если есть существенные простые замкнутые кривые ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ на ЧАС куда ${ displaystyle alpha}$ ограничивает диск в V, ${ displaystyle beta}$ ограничивает диск в W, и ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ пересекаются ровно один раз. Это следует из Теорема Вальдхаузена что каждое приводимое разбиение неприводимое многообразие стабилизируется.

Расщепление Хегора слабо приводимый если существуют непересекающиеся существенные простые замкнутые кривые ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ на ЧАС куда ${ displaystyle alpha}$ ограничивает диск в V и ${ displaystyle beta}$ ограничивает диск в W. Расщепление сильно неприводимый если он не является слабо приводимым.

Расщепление Хегора минимальный или же минимальный род если нет другого расщепления объемлющего трехмерного многообразия нижних род. Минимальное значение грамм разделяющей поверхности Род Heegaard из M.

Обобщенные расщепления Хегора

А обобщенное расщепление Хегора из M является разложением на тела сжатия ${ displaystyle V_ {i}, W_ {i}, i = 1, dots, n}$ и поверхности ${ Displaystyle H_ {я}, я = 1, точки, п}$ такой, что ${ displaystyle partial _ {+} V_ {i} = partial _ {+} W_ {i} = H_ {i}}$ и ${ Displaystyle partial _ {-} W_ {i} = partial _ {-} V_ {я + 1}}$ . Внутренние части сжимаемых тел должны быть попарно непересекающимися, и их объединение должно происходить полностью. ${ displaystyle M}$ . Поверхность ${ displaystyle H_ {i}}$ образует поверхность Хегора для подмногообразия ${ displaystyle V_ {i} чашка W_ {i}}$ из ${ displaystyle M}$ . (Обратите внимание, что здесь каждый V_я и W_я может иметь более одного компонента.)

Обобщенное расщепление Хегора называется сильно неприводимый если каждый ${ displaystyle V_ {i} чашка W_ {i}}$ сильно неприводимо.

Есть аналогичное понятие тонкое положение, определенная для узлов, для расколов Heegaard. Сложность связной поверхности S, c (S), определяется как ${ displaystyle operatorname {max} {0,1- chi (S) }}$ ; Сложность отсоединенной поверхности складывается из сложностей ее компонентов. Сложность обобщенного расщепления Хегора - это многомножество {c (S_i)}, где индекс пробегает поверхности Хегора в обобщенном расщеплении. Эти мульти-наборы можно заказать по лексикографический порядок (монотонно убывающий). Обобщенное расщепление Хегора есть тонкий если его сложность минимальна.

Примеры

Три сферы: Трехмерная сфера ${ Displaystyle S ^ {3}}$ это набор векторов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ с длиной один. Пересекая это с ${ displaystyle xyz}$ гиперплоскость дает двусфера. Это стандарт род нулевого расщепления ${ Displaystyle S ^ {3}}$ . И наоборот, по Уловка Александра, все многообразия, допускающие расщепление нулевого рода, являются гомеоморфный к ${ Displaystyle S ^ {3}}$ .

Под обычным отождествлением ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ с ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ мы можем просмотреть ${ Displaystyle S ^ {3}}$ как жить в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ . Тогда множество точек, в которых каждая координата имеет норму ${ displaystyle 1 / { sqrt {2}}}$ образует Клиффорд тор, ${ displaystyle T ^ {2}}$ . Это стандартное расщепление на один род ${ Displaystyle S ^ {3}}$ . (См. Также обсуждение на Набор хопфа.)

Стабилизация: Учитывая расщепление Хегора ЧАС в M в стабилизация из ЧАС формируется путем принятия связанная сумма пары ${ Displaystyle (М, Н)}$ с парой ${ displaystyle (S ^ {3}, T ^ {2})}$ . Легко показать, что процедура стабилизации дает стабилизированные расщепления. Индуктивно расщепление стандарт если это стабилизация стандартного расщепления.

Объективы: У всех есть стандартное разделение на род один. Это изображение тора Клиффорда в ${ Displaystyle S ^ {3}}$ под факторной картой, используемой для определения рассматриваемого линзового пространства. Из структуры группа классов отображения из двумерный тор что только линзовые пространства имеют расщепления первого рода.

Трехмерный тор: Напомним, что трехмерный тор ${ displaystyle T ^ {3}}$ это Декартово произведение трех экземпляров ${ Displaystyle S ^ {1}}$ (круги ). Позволять ${ displaystyle x_ {0}}$ быть точкой ${ Displaystyle S ^ {1}}$ и рассмотрим график ${ displaystyle Gamma = S ^ {1} times {x_ {0} } times {x_ {0} } cup {x_ {0} } times S ^ {1} times {x_ {0} } чашка {x_ {0} } times {x_ {0} } times S ^ {1}}$ . Легкое упражнение показать, что V, а обычный район из ${ displaystyle Gamma}$ , это ручка как есть ${ displaystyle T ^ {3} -V}$ . Таким образом, граница V в ${ displaystyle T ^ {3}}$ является расщеплением Хегора, и это стандартное расщепление ${ displaystyle T ^ {3}}$ . Это было доказано Чарльзом Фроманом и Джоэл Хасс что любое другое расщепление Хегора 3-тора рода 3 топологически эквивалентно этому. Мишель Буало и Жан-Пьер Оталь доказали, что в общем случае любое расщепление Хегора трехмерного тора эквивалентно результату стабилизации этого примера.

Теоремы

Лемма Александра: Вплоть до изотопии существует уникальное (кусочно-линейный ) вложение двухсферы в трехсферу. (В высших измерениях это известно как Теорема Шенфлиса. Во втором измерении это Теорема Жордана.) Это можно переформулировать следующим образом: расщепление нулевого рода ${ Displaystyle S ^ {3}}$ уникален.

Теорема Вальдхаузена: Каждое разделение ${ Displaystyle S ^ {3}}$ получается стабилизацией единственного разбиения рода нуль.

Предположим теперь, что M является замкнутым ориентируемым трехмерным многообразием.

Теорема Рейдемейстера – Зингера.: Для любой пары расколов ${ displaystyle H_ {1}}$ и ${ displaystyle H_ {2}}$ в M есть третье расщепление ${ displaystyle H}$ в M что является стабилизацией обоих.

Лемма Хакена: Предположим, что ${ displaystyle S_ {1}}$ является существенной двумерной сферой в M и ЧАС расщепление Хегора. Тогда существует существенная двумерная сфера ${ displaystyle S_ {2}}$ в M встреча ЧАС в одной кривой.

Классификации

Существует несколько классов трехмерных многообразий, для которых полностью известно множество расщеплений Хегора. Например, теорема Вальдхаузена показывает, что все расщепления ${ Displaystyle S ^ {3}}$ стандартные. То же самое и для линзы (что доказано Фрэнсисом Бонахоном и Оталом).

Расщепления Расслоения Зейферта более тонкие. Здесь все расщепления могут быть изотопированы как вертикальный или же горизонтальный (как доказали Йоав Мориа и Дженнифер Шультенс ).

Купер и Шарлеманн (1999) секретные разделения пучки торов (который включает в себя все трехмерные многообразия с Геометрия Солнца ). Из их работы следует, что все торические расслоения имеют единственное расщепление минимального рода. Все остальные расщепления торического расслоения являются стабилизациями минимального рода один.

По состоянию на 2008 год единственный гиперболический Трехмерные многообразия, расщепления Хегора которых классифицируются, являются двухмостовыми узловыми дополнениями в статье Цуоши Кобаяши.

Приложения и подключения

Минимальные поверхности

Расщепления Хегора появились в теории минимальные поверхности первый в работе Блейн Лоусон доказавший, что вложенные минимальные поверхности в компактные многообразия положительной секционной кривизны являются расщеплениями Хегора. Этот результат был распространен Уильямом Миксом на плоские многообразия, за исключением того, что он доказал, что вложенная минимальная поверхность в плоское трехмерное многообразие является либо поверхностью Хегора, либо полностью геодезический.

Микс и Шинг-Тунг Яу продолжил использовать результаты Вальдхаузена для доказательства результатов о топологической единственности минимальных поверхностей конечного рода в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Окончательная топологическая классификация вложенных минимальных поверхностей в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ было дано Миксом и Фроманом. Результат в значительной степени опирался на методы, разработанные для изучения топологии расщеплений Хегора.

Гомология Хегора Флора

Диаграммы Хегора, которые представляют собой простые комбинаторные описания расщеплений Хегора, широко использовались для построения инвариантов трехмерных многообразий. Самый свежий пример этого - Гомология Хегора Флора из Питер Озсват и Золтан Сабо. Теория использует ${ displaystyle g ^ {th}}$ симметричное произведение поверхности Хегора как окружающего пространства и торов, построенных из границ меридиональных дисков для двух тел руля как Лагранжевы подмногообразия.

История

Идея расщепления Хегора была введена Пол Хегаард (1898 ). В то время как расщепления Хегора широко изучались математиками, такими как Вольфганг Хакен и Фридхельм Вальдхаузен в 1960-х годах лишь несколько десятилетий спустя эта область была обновлена благодаря Эндрю Кэссон и Кэмерон Гордон (1987 ), прежде всего благодаря их концепции сильная несводимость.