Распределение (дифференциальная геометрия) - Distribution (differential geometry)

В дифференциальная геометрия, дисциплина внутри математика, а распределение является подмножеством касательный пучок из многообразие удовлетворяющие определенным свойствам. Распределения используются для создания представлений о интегрируемость, и в частности слоение многообразия.

Несмотря на то, что они имеют одно и то же имя, представленные в этой статье дистрибутивы не имеют ничего общего с распределения в смысле анализа.

Определение

Позволять ${ displaystyle M}$ быть ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ многообразие размеров ${ displaystyle m}$, и разреши ${ Displaystyle п leq m}$. Предположим, что для каждого ${ displaystyle x in M}$, мы присваиваем ${ displaystyle n}$-размерный подпространство ${ displaystyle Delta _ {x} subset T_ {x} (M)}$ из касательное пространство таким образом, что для район ${ displaystyle N_ {x} subset M}$ из ${ displaystyle x}$ существуют ${ displaystyle n}$ линейно независимый гладкий векторные поля ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ так что для любой точки ${ displaystyle y in N_ {x}}$, охватывать ${ displaystyle {X_ {1} (y), ldots, X_ {n} (y) } = Delta _ {y}.}$ Мы позволяем ${ displaystyle Delta}$ обратитесь к коллекция из всех ${ displaystyle Delta _ {x}}$ для всех ${ displaystyle x in M}$ а затем мы звоним ${ displaystyle Delta}$ а распределение измерения ${ displaystyle n}$ на ${ displaystyle M}$, а иногда и ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ ${ displaystyle n}$-плоскостное распределение на ${ displaystyle M.}$ Набор гладких векторных полей ${ Displaystyle {X_ {1}, ldots, X_ {n} }}$ называется местная основа из ${ displaystyle Delta.}$

Инволютивные распределения

Мы говорим, что распределение ${ displaystyle Delta}$ на ${ displaystyle M}$ является инволютивный если за каждую точку ${ displaystyle x in M}$ существует локальная основа ${ Displaystyle {X_ {1}, ldots, X_ {n} }}$ распределения в окрестности ${ displaystyle x}$ такой, что для всех ${ Displaystyle 1 Leq я, J Leq п}$, ${ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}]}$ (в Кронштейн лжи двух векторных полей) находится в промежутке ${ displaystyle {X_ {1}, ldots, X_ {n} }.}$ То есть, если ${ displaystyle [X_ {i}, X_ {j}]}$ это линейная комбинация из ${ displaystyle {X_ {1}, ldots, X_ {n} }.}$ Обычно это записывается как ${ displaystyle [ Delta, Delta] subset Delta.}$

Инволютивные распределения - это касательные пространства к слоения. Инволютивные распределения важны тем, что удовлетворяют условиям Теорема Фробениуса, и, таким образом, приведет к интегрируемые системы.

Связанная идея возникает в Гамильтонова механика: две функции ж и грамм на симплектическое многообразие говорят, что находятся в взаимная инволюция если их Скобка Пуассона исчезает.

Обобщенные распределения

А обобщенное распределение, или же Распределение Стефана-Зусманна, похоже на распределение, но подпространства ${ displaystyle Delta _ {x} subset T_ {x} M}$ не обязательно, чтобы все были одного размера. Определение требует, чтобы ${ displaystyle Delta _ {x}}$ определяются локально набором векторных полей, но они больше не будут линейно независимыми везде. Нетрудно заметить, что размер ${ displaystyle Delta _ {x}}$ является полунепрерывный снизу, так что в особых точках размер меньше, чем в соседних точках.

Один класс примеров представляет собой несвободное действие Группа Ли на многообразии, рассматриваемые векторные поля являются бесконечно малыми генераторами групповое действие (свободное действие приводит к истинному распространению). Другой возникает в динамические системы, где набор векторных полей в определении - это набор векторных полей, которые коммутируют с заданным. Также есть примеры и приложения в Теория управления, где обобщенное распределение представляет собой бесконечно малые ограничения системы.

Рекомендации

• Уильям М. Бутби. Раздел IV. 8. Теорема Фробениуса в Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию, Academic Press, Сан-Диего, Калифорния, 2003 г.
• П. Стефан, Доступные множества, орбиты и слоения с особенностями. Proc. Лондонская математика. Soc. 29 (1974), 699-713.
• HJ Sussmann, Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость распределений. Пер. Амер. Математика. Soc. 180 (1973), 171-188.

внешняя ссылка

• «Инволютивное распределение», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

В эту статью включены материалы из Distribution на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.