Уравнения Янга – Миллса - Yang–Mills equations

В физика и математика, и особенно дифференциальная геометрия и калибровочная теория, то Уравнения Янга – Миллса являются системой уравнения в частных производных для связь на векторный набор или же основной пакет. Уравнения Янга – Миллса возникают в физике как Уравнения Эйлера – Лагранжа. из Функционал действия Янга – Миллса. Однако уравнения Янга – Миллса независимо друг от друга нашли значительное применение в математике.

Решения уравнений Янга – Миллса называются Связи Янга – Миллса или же инстантоны. В пространство модулей инстантонов использовали Саймон Дональдсон чтобы доказать Теорема Дональдсона.

Мотивация

Физика

В своей фундаментальной статье по теме калибровочных теорий Роберт Миллс и Чен Ян развил по существу независимо от математической литературы теорию главных связок и связей, чтобы объяснить концепцию калибровочная симметрия и калибровочная инвариантность применительно к физическим теориям.^[1] Калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом, теперь называются Теории Янга – Миллса, обобщил классическую работу Джеймс Максвелл на Уравнения Максвелла, которые были сформулированы на языке ${ displaystyle operatorname {U} (1)}$ калибровочная теория Вольфганг Паули и другие.^[2] Новизна работы Янга и Миллса заключалась в определении калибровочных теорий для произвольного выбора Группа Ли ${ displaystyle G}$ , называется структурная группа (или в физике группа датчиков, видеть Калибровочная группа (математика) Больше подробностей). Эта группа могла быть неабелевой, в отличие от случая ${ Displaystyle G = OperatorName {U} (1)}$ соответствующих электромагнетизму, и подходящей основой для обсуждения таких объектов является теория основные связки.

Существенные моменты работы Янга и Миллса заключаются в следующем. Предполагается, что фундаментальное описание физической модели происходит через использование поля, и выводит, что под преобразование локальной калибровки (изменение локальной тривиализации главного расслоения), эти физические поля должны преобразовываться точно так же, как связь ${ displaystyle A}$ (в физике калибровочное поле) на главном расслоении преобразуется. В измерить напряженность поля это кривизна ${ displaystyle F_ {A}}$ связи, а энергия калибровочного поля задается (с точностью до константы) функционалом действия Янга – Миллса

{ displaystyle operatorname {YM} (A) = int _ {X} | F_ {A} | ^ {2} , d mathrm {vol} _ {g}.}

В принцип наименьшего действия диктует, что правильный уравнения движения для этой физической теории должно быть дано Уравнения Эйлера – Лагранжа. этого функционала, которые являются уравнениями Янга – Миллса, полученными ниже:

{ displaystyle d_ {A} star F_ {A} = 0.}

Математика

Помимо физических истоков теории, уравнения Янга – Миллса представляют важный геометрический интерес. В общем случае нет естественного выбора связности на векторном расслоении или главном расслоении. В частном случае, когда этот комплект является касательный пучок к Риманово многообразие, есть такой естественный выбор, Леви-Чивита связь, но в целом существует бесконечномерное пространство возможных выборов. Связность Янга – Миллса дает некоторый вид естественного выбора связности для общего расслоения, как мы сейчас опишем.

Связь определяется своими локальными формами ${ displaystyle A _ { alpha} in Omega ^ {1} (U _ { alpha}, operatorname {ad} (P))}$ для банальной открытой обложки ${ displaystyle {U _ { alpha} }}$ для связки ${ displaystyle P to X}$ . Первой попыткой выбора канонической связи может быть требование, чтобы эти формы исчезли. Однако это невозможно, если тривиализация не является плоской в том смысле, что функции перехода ${ displaystyle g _ { alpha beta}: U _ { alpha} cap U _ { beta} to G}$ - постоянные функции. Не все комплекты плоские, поэтому в целом это невозможно. Вместо этого можно спросить, что формы локального подключения ${ displaystyle A _ { alpha}}$ сами по себе постоянны. На главном расслоении правильнее сформулировать это условие так: кривизна ${ displaystyle F_ {A} = dA + { frac {1} {2}} [A, A]}$ исчезает. Однако по Теория Черна – Вейля если кривизна ${ displaystyle F_ {A}}$ исчезает (то есть ${ displaystyle A}$ это плоское соединение), то основное основное расслоение должно иметь тривиальное Классы Черна, который является топологическое препятствие к существованию плоских соединений: не каждая основная связка может иметь плоское соединение.

Лучшее, на что можно надеяться, - это спросить, что вместо исчезающей кривизны пучок имеет кривизну как можно меньше. Описанный выше функционал действия Янга – Миллса - это в точности (квадрат) ${ displaystyle L ^ {2}}$ -норма кривизны, и ее уравнения Эйлера – Лагранжа описывают критические точки этого функционала, либо абсолютные минимумы, либо локальные минимумы. Другими словами, связи Янга – Миллса - это именно те соединения, которые минимизируют их кривизну. В этом смысле они являются естественным выбором связности на главном или векторном расслоении над многообразием с математической точки зрения.

Определение

Позволять ${ displaystyle X}$ быть компактный, ориентированный, Риманово многообразие. Уравнения Янга – Миллса можно сформулировать для связности на векторном расслоении или главном ${ displaystyle G}$ - связать ${ displaystyle X}$ , для компактного Группа Ли ${ displaystyle G}$ . Здесь представлена последняя конвенция. Позволять ${ displaystyle P}$ обозначить принципала ${ displaystyle G}$ - связать ${ displaystyle X}$ . Затем связь на ${ displaystyle P}$ может быть определено Алгебразначная дифференциальная форма Ли ${ displaystyle A}$ на общем пространстве главного расслоения. Это соединение имеет форма кривизны ${ displaystyle F_ {A}}$ , который является двойная форма на ${ displaystyle X}$ со значениями в сопряженный пучок ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ из ${ displaystyle P}$ . Связано с подключением ${ displaystyle A}$ является внешняя ковариантная производная ${ displaystyle d_ {A}}$ , определенная на присоединенном расслоении. Кроме того, поскольку ${ displaystyle G}$ компактен, ассоциированный с ним компактная алгебра Ли допускает инвариант внутренний продукт под присоединенное представительство.

С ${ displaystyle X}$ является римановым, на котангенсный пучок, и в сочетании с инвариантным внутренним произведением на ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ в комплекте есть внутренний продукт ${ displaystyle operatorname {ad} (P) otimes Lambda ^ {2} T ^ {*} X}$ из ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ -значные двухбланки на ${ displaystyle X}$ . С ${ displaystyle X}$ ориентирована, есть ${ displaystyle L ^ {2}}$ -внутренний товар по разделам этого набора. А именно,

{ displaystyle langle s, t rangle _ {L ^ {2}} = int _ {X} langle s, t rangle , dvol_ {g}}

где внутри интеграла используется пакетный внутренний продукт, и ${ displaystyle dvol_ {g}}$ это Риманова форма объема из ${ displaystyle X}$ . Используя это ${ displaystyle L ^ {2}}$ -внутренний продукт, формальный сопряженный оператор из ${ displaystyle d_ {A}}$ определяется

{ displaystyle langle d_ {A} s, t rangle _ {L ^ {2}} = langle s, d_ {A} ^ {*} t rangle _ {L ^ {2}}}

.

Явно это дается ${ displaystyle d_ {A} ^ {*} = pm star d_ {A} star}$ куда ${ displaystyle star}$ это Звездный оператор Ходжа действуя на двух формах.

Если исходить из приведенной выше схемы, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему (в общем нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных, задаваемых формулой

{ displaystyle d_ {A} ^ {*} F_ {A} = 0.}

^[3]

(1)

Поскольку звезда Ходжа является изоморфизмом, по явной формуле для ${ displaystyle d_ {A} ^ {*}}$ уравнения Янга – Миллса эквивалентно записываются

{ displaystyle d_ {A} star F_ {A} = 0.}

(2)

Связь, удовлетворяющая (1) или же (2) называется Связь Янга – Миллса.

Каждое соединение автоматически удовлетворяет Бьянки идентичность ${ displaystyle d_ {A} F_ {A} = 0}$ , поэтому связи Янга – Миллса можно рассматривать как нелинейный аналог гармонические дифференциальные формы, которые удовлетворяют

{ displaystyle d omega = d ^ {*} omega = 0}

.

В этом смысле поиск связей Янга – Миллса можно сравнить с Теория Ходжа, который ищет гармоничного представителя в когомологии де Рама класс дифференциальной формы. Аналогия состоит в том, что связность Янга – Миллса подобна гармоническому представителю во множестве всех возможных связностей на главном расслоении.

Вывод

Уравнения Янга – Миллса - это уравнения Эйлера – Лагранжа Функционал Янга – Миллса, определяется

{ displaystyle operatorname {YM} (A) = int _ {X} | F_ {A} | ^ {2} , d mathrm {vol} _ {g}.}

(3)

Чтобы вывести уравнения из функционала, напомним, что пространство ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ всех подключений на ${ displaystyle P}$ является аффинное пространство моделируется в векторном пространстве ${ displaystyle Omega ^ {1} (P; { mathfrak {g}})}$ . Учитывая небольшую деформацию ${ displaystyle A + ta}$ связи ${ displaystyle A}$ в этом аффинном пространстве кривизны связаны соотношением

{ displaystyle F_ {A + ta} = F_ {A} + td_ {A} a + t ^ {2} a wedge a.}

Чтобы определить критические точки из (3), вычислить

{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dt}} left ( operatorname {YM} (A + ta) right) _ {t = 0} & = { frac {d} { dt}} left ( int _ {X} langle F_ {A} + t , d_ {A} a + t ^ {2} a wedge a, F_ {A} + t , d_ {A} a + t ^ {2} a wedge a rangle , d mathrm {vol} _ {g} right) _ {t = 0} & = { frac {d} {dt}} left ( int _ {X} | F_ {A} | ^ {2} + 2t langle F_ {A}, d_ {A} a rangle + 2t ^ {2} langle F_ {A}, a клин a rangle + t ^ {4} | a клин a | ^ {2} , d mathrm {vol} _ {g} right) _ {t = 0} & = 2 int _ {X} langle d_ {A} ^ {*} F_ {A}, a rangle , d mathrm {vol} _ {g}. End {align}}}

Связь ${ displaystyle A}$ является критической точкой функционала Янга – Миллса тогда и только тогда, когда она обращается в нуль для каждого ${ displaystyle a}$ , и это происходит именно тогда, когда (1) доволен.

Пространство модулей связностей Янга – Миллса.

Уравнения Янга – Миллса: калибровочный инвариант. Математически калибровочное преобразование является автоморфизм ${ displaystyle g}$ основного пакета ${ displaystyle P}$ , а поскольку внутренний продукт на ${ displaystyle operatorname {ad} (P)}$ инвариантен, функционал Янга – Миллса удовлетворяет

{ displaystyle operatorname {YM} (g cdot A) = int _ {X} | gF_ {A} g ^ {- 1} | ^ {2} , dvol_ {g} = int _ { X} | F_ {A} | ^ {2} , d mathrm {vol} _ {g} = operatorname {YM} (A)}

и так, если ${ displaystyle A}$ удовлетворяет (1), как и ${ displaystyle g cdot A}$ .

Существует пространство модулей связностей Янга – Миллса по модулю калибровочных преобразований. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ в группа датчиков автоморфизмов ${ displaystyle P}$ . Набор ${ Displaystyle { mathcal {B}} = { mathcal {A}} / { mathcal {G}}}$ классифицирует все связи по модулю калибровочных преобразований, а пространство модулей ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ связностей Янга – Миллса является подмножеством. В общем ни ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ или же ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ является Хаусдорф или гладкое многообразие. Однако, ограничиваясь неприводимыми связями, то есть связями ${ displaystyle A}$ чей голономия группа представлена всеми ${ displaystyle G}$ , получаются хаусдорфовы пространства. Пространство неприводимых связностей обозначается ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {*}}$ , поэтому пространства модулей обозначаются ${ Displaystyle { mathcal {B}} ^ {*}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {M}} ^ {*}}$ .

Пространства модулей связностей Янга – Миллса интенсивно изучаются в конкретных обстоятельствах. Майкл Атья и Рауль Ботт изучили уравнения Янга – Миллса для расслоений над компактными Римановы поверхности.^[4] Там пространство модулей получает альтернативное описание как пространство модулей голоморфных векторных расслоений. Это Теорема Нарасимхана – Сешадри, который был доказан в этой форме, связывая связности Янга – Миллса с голоморфными векторными расслоениями Дональдсоном.^[5] В этой постановке пространство модулей имеет структуру компактного Кэлерово многообразие. Модули связности Янга – Миллса наиболее изучены, когда размерность базового многообразия ${ displaystyle X}$ четыре.^[3]^[6] Здесь уравнения Янга – Миллса допускают упрощение от УЧП второго порядка до УЧП первого порядка, т.е. уравнения антиавтодуальности.

Уравнения антиавтодуальности

Когда размер базового коллектора ${ displaystyle X}$ четыре, совпадение происходит. Звездный оператор Ходжа принимает дифференциал ${ displaystyle p}$ -формы дифференцировать ${ Displaystyle (п-р)}$ -формы, где ${ Displaystyle тусклый X = п}$ . Таким образом, в размерности четыре звездный оператор Ходжа отображает две формы в две формы,

{ Displaystyle звезда: Omega ^ {2} (X) to Omega ^ {2} (X)}

.

Звездный оператор Ходжа возводится в квадрат в этом случае, и поэтому собственные значения ${ displaystyle 1}$ и ${ displaystyle -1}$ . В частности, есть разложение

{ Displaystyle Omega ^ {2} (X) = Omega _ {+} (X) oplus Omega _ {-} (X)}

в положительные и отрицательные собственные подпространства ${ displaystyle star}$ , то самодвойственный и анти-самодвойственный двухформный. Если подключение ${ displaystyle A}$ по принципу ${ displaystyle G}$ -расслоение над четырехмерным многообразием ${ displaystyle X}$ удовлетворяет либо ${ displaystyle F_ {A} = { star F_ {A}}}$ или же ${ displaystyle F_ {A} = - { star F_ {A}}}$ , то по (2) связность является связностью Янга – Миллса. Эти соединения называются либо самодвойственные соединения или же анти-самодвойственные соединения, а уравнения уравнения самодуальности (СД) и уравнения антиавтодуальности (ASD).^[3] Пространства самодвойственных и антисамодуальных связностей обозначаются через ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {+}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {A}} ^ {-}}$ , и аналогично для ${ Displaystyle { mathcal {B}} ^ { pm}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {M}} ^ { pm}}$ .

Пространство модулей ASD-связностей, или инстантонов, наиболее интенсивно изучалось Дональдсоном в случае, когда ${ displaystyle G = operatorname {SU} (2)}$ и ${ displaystyle X}$ является односвязный.^[7]^[8]^[9] В этой обстановке главный ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ -бандл классифицируется вторым Черн класс, ${ displaystyle c_ {2} (P) in H ^ {4} (X, mathbb {Z}) cong mathbb {Z}}$ .^{[Примечание 1]} При различном выборе главного расслоения получаются пространства модулей с интересными свойствами. Эти пространства хаусдорфовы, даже если допускают приводимые связи, и в общем случае гладкие. Дональдсон показал, что гладкая часть ориентируема. Посредством Теорема Атьи – Зингера об индексе, можно вычислить, что размерность ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {k} ^ {-}}$ , пространство модулей соединений ASD при ${ displaystyle c_ {2} (P) = k}$ , быть

{ displaystyle dim { mathcal {M}} _ {k} ^ {-} = 8k-3 (1-b_ {1} (X) + b _ {+} (X))}

куда ${ displaystyle b_ {1} (X)}$ это первый Бетти число из ${ displaystyle X}$ , и ${ displaystyle b _ {+} (X)}$ - размерность положительно определенного подпространства в ${ displaystyle H_ {2} (X, mathbb {R})}$ с уважением к форма пересечения на ${ displaystyle X}$ .^[3] Например, когда ${ Displaystyle X = S ^ {4}}$ и ${ displaystyle k = 1}$ , форма пересечения тривиальна, а пространство модулей имеет размерность ${ displaystyle dim { mathcal {M}} _ {1} ^ {-} (S ^ {4}) = 8-3 = 5}$ . Это согласуется с существованием BPST инстантон, который является уникальным инстантоном ASD на ${ displaystyle S ^ {4}}$ до 5-параметрического семейства, определяющего его центр в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ и его масштаб. Такие инстантоны на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ может быть продолжен через бесконечно удаленную точку с помощью теоремы Уленбека об устранимой особенности.

Приложения

Теорема Дональдсона

Пространство модулей уравнений Янга – Миллса было использовано Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона о форме пересечения односвязных четырехмерных многообразий. Используя аналитические результаты работы Клиффорд Таубс и Карен Уленбек, Дональдсон смог показать, что при определенных обстоятельствах (когда форма пересечения определенный ) пространство модулей инстантонов ASD на гладком компактном ориентированном односвязном четырехмерном многообразии ${ displaystyle X}$ дает кобордизм между копией самого многообразия и несвязным объединением копий комплексная проективная плоскость ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {2}}$ .^[7]^[10]^[11]^[12] Форма пересечения является кобордизмом, инвариантным с точностью до изоморфизма, показывая, что любое такое гладкое многообразие имеет диагонализуемую форму пересечения.

Пространство модулей инстантонов ASD можно использовать для определения дополнительных инвариантов четырехмерных многообразий. Дональдсон определил рациональные числа, ассоциированные с четырехмерным многообразием, возникающим из спаривания классов когомологий на пространстве модулей.^[9] Впоследствии эта работа была превзойдена Инварианты Зайберга – Виттена..

Редукция размерности и другие пространства модулей

В процессе уменьшения размеров уравнения Янга – Миллса можно использовать для вывода других важных уравнений в дифференциальной геометрии и калибровочной теории. Уменьшение размеров представляет собой процесс принятия уравнений Янга – Миллса над четырехмерным многообразием, обычно ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ , и налагая инвариантность решений относительно группы симметрий. Например:

Требуя, чтобы уравнения антиавтодуальности были инвариантными относительно сдвигов в одном направлении ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ , получаем Уравнения Богомольного которые описывают магнитные монополи на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ .
Требуя, чтобы уравнения самодуальности были инвариантными относительно сдвига в двух направлениях, получаем Уравнения Хитчина впервые исследован Хитчин. Эти уравнения естественным образом приводят к изучению Связки Хиггса и Система Хитчина.
Требуя, чтобы уравнения антиавтодуальности были инвариантными по трем направлениям, получаем Уравнения Нама на антракте.

Существует двойственность между решениями размерно редуцированных уравнений ASD на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ и ${ Displaystyle mathbb {R}}$ называется преобразованием Нама, после Вернер Нахм, который первым описал, как построить монополи из данных уравнения Нама.^[13] Хитчин показал обратное, а Дональдсон доказал, что решения уравнений Нама в дальнейшем могут быть связаны с пространствами модулей рациональные карты от сложная проективная линия себе.^[14]^[15]

Теоретически наблюдаемая двойственность этих решений верна для произвольных двойственных групп симметрий четырехмерного многообразия. Действительно, существует аналогичная двойственность между инстантонами, инвариантными относительно двойственных решеток внутри ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ , инстантоны на двойственных четырехмерных торах и Конструкция ADHM можно рассматривать как двойственность между инстантонами на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ и двойные алгебраические данные по одной точке.^[3]

Теория Черна – Саймонса

Пространство модулей уравнений Янга – Миллса над компактной римановой поверхностью ${ displaystyle Sigma}$ можно рассматривать как конфигурационное пространство из Теория Черна – Саймонса на цилиндре ${ Displaystyle Sigma раз [0,1]}$ . В этом случае пространство модулей допускает геометрическое квантование, открытый независимо Найджел Хитчин и Аксельрод – Делла Пьетра–Виттен.^[16]^[17]

Смотрите также

Примечания

^ Доказательство этого факта см. В сообщении https://mathoverflow.net/a/265399.