Эрмитова связь Янга – Миллса - Hermitian Yang–Mills connection

В математика, и в частности калибровочная теория и сложная геометрия, а Эрмитова связь Янга – Миллса (или же Связь Эрмита-Эйнштейна) является связностью Черна, связанной со скалярным произведением на голоморфное векторное расслоение через Кэлерово многообразие которое удовлетворяет аналогу уравнений Эйнштейна: а именно, сжатие 2-формы кривизны связи с кэлеровой формой должно быть постоянным, умноженным на тождественное преобразование. Эрмитовы связности Янга – Миллса являются частными примерами Связи Янга – Миллса, и их часто называют инстантоны.

В Переписка Кобаяши – Хитчина доказано Дональдсон, Уленбек и Яу утверждает, что голоморфное векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием допускает эрмитову связность Янга – Миллса тогда и только тогда, когда оно склон полистабильный.

Эрмитовы уравнения Янга – Миллса

Связи Эрмита-Эйнштейна возникают как решения эрмитовых уравнений Янга-Миллса. Это система уравнения в частных производных на векторном расслоении над кэлеровым многообразием, откуда Уравнения Янга-Миллса. Позволять ${ displaystyle A}$ быть Эрмитская связь на эрмитовом векторном расслоении ${ displaystyle E}$ над кэлеровым многообразием ${ displaystyle X}$ измерения ${ displaystyle n}$. Тогда Эрмитовы уравнения Янга-Миллса находятся

${ displaystyle { begin {align} & F_ {A} ^ {0,2} = 0 & F_ {A} cdot omega = lambda (E) operatorname {Id}, end {align}}}$

для некоторой постоянной ${ displaystyle lambda (E) in mathbb {C}}$. Здесь у нас есть

${ displaystyle F_ {A} wedge omega ^ {n-1} = (F_ {A} cdot omega) omega ^ {n}.}$

Обратите внимание, что с ${ displaystyle A}$ предполагается эрмитовой связностью, кривизна ${ displaystyle F_ {A}}$ является косоэрмитский, и так ${ displaystyle F_ {A} ^ {0,2} = 0}$ подразумевает ${ displaystyle F_ {A} ^ {2,0} = 0}$. Когда основное кэлерово многообразие ${ displaystyle X}$ компактный, ${ displaystyle lambda (E)}$ может быть вычислено с использованием Теория Черна-Вейля. А именно у нас есть

${ displaystyle { begin {align} operatorname {deg} (E): & = int _ {X} c_ {1} (E) wedge omega ^ {n-1} & = { frac {i} {2 pi}} int _ {X} operatorname {Tr} (F_ {A}) wedge omega ^ {n-1} & = { frac {i} {2 pi }} int _ {X} operatorname {Tr} (F_ {A} cdot omega) omega ^ {n}. end {выравнивается}}}$

С ${ Displaystyle F_ {A} cdot omega = lambda (E) OperatorName {Id} _ {E}}$ и тождественный эндоморфизм имеет след, определяемый рангом ${ displaystyle E}$, мы получаем

${ displaystyle lambda (E) = - { frac {2 pi i} {n! operatorname {Vol} (X)}} mu (E),}$

куда ${ displaystyle mu (E)}$ это склон векторного расслоения ${ displaystyle E}$, данный

${ displaystyle mu (E) = { frac { operatorname {deg} (E)} { operatorname {rank} (E)}},}$

и объем ${ displaystyle X}$ берется относительно формы объема ${ displaystyle omega ^ {n} / n!}$.

Из-за схожести второго условия в эрмитовых уравнениях Янга-Миллса с уравнениями для Метрика Эйнштейна, решения эрмитовых уравнений Янга-Миллса часто называют Связи Эрмита-Эйнштейна, а также Эрмитские связи Янга-Миллса.

Примеры

Связь Леви-Чивита Метрика Кэлера – Эйнштейна является Эрмита-Эйнштейна относительно метрики Келера-Эйнштейна. (Эти примеры, однако, опасно вводят в заблуждение, поскольку Многообразия Эйнштейна, например показатель страницы на ${ displaystyle {{ mathbb {C}} P} ^ {2} # { overline {{ mathbb {C}} P}} _ {2}}$, которые являются эрмитовыми, но для которых связь Леви-Чивита не является связью Эрмита-Эйнштейна.)

Когда эрмитово векторное расслоение ${ displaystyle E}$ имеет голоморфная структура, существует естественный выбор эрмитовой связности, Черн связь. Для связи Черна условие, что ${ displaystyle F_ {A} ^ {0,2} = 0}$ автоматически удовлетворяется. В Переписка Хитчина и Кобаяши утверждает, что голоморфное векторное расслоение ${ displaystyle E}$ допускает эрмитову метрику ${ displaystyle h}$ такая, что ассоциированная связность Черна удовлетворяет эрмитовым уравнениям Янга-Миллса тогда и только тогда, когда векторное расслоение полистабильный. С этой точки зрения эрмитовы уравнения Янга-Миллса можно рассматривать как систему уравнений для метрики ${ displaystyle h}$ а не связанную с ним связь Черна, и такие метрики, решающие уравнения, называются Метрики Эрмита-Эйнштейна.

Условие Эрмита-Эйнштейна на связности Черна было впервые введено Кобаяши  (1980, раздел 6). Это уравнение подразумевает уравнения Янга-Миллса в любом измерении, а в реальном измерении четыре тесно связаны с самодуальными уравнениями Янга-Миллса, которые определяют инстантоны. В частности, когда комплексная размерность кэлерова многообразия ${ displaystyle X}$ является ${ displaystyle 2}$, происходит разделение форм на самодвойственные и анти-самодвойственные формы. Сложная структура взаимодействует с этим следующим образом:

${ displaystyle Lambda _ {+} ^ {2} = Lambda ^ {2,0} oplus Lambda ^ {0,2} oplus langle omega rangle, qquad Lambda _ {-} ^ {2} = langle omega rangle ^ { perp} subset Lambda ^ {1,1}}$

Когда степень векторного расслоения ${ displaystyle E}$ исчезает, то эрмитовы уравнения Янга-Миллса принимают вид ${ Displaystyle F_ {A} ^ {0,2} = F_ {A} ^ {2,0} = F_ {A} cdot omega = 0}$. Согласно приведенному выше представлению, это как раз то условие, что ${ displaystyle F_ {A} ^ {+} = 0}$. То есть, ${ displaystyle A}$ является Инстантон ASD. Обратите внимание, что когда степень не обращается в нуль, решения эрмитовых уравнений Янга-Миллса не могут быть антиавтодуальными, и на самом деле в этом случае нет решений уравнений ASD.^[1]

Смотрите также

• Многообразие Эйнштейна
• Деформированное эрмитово уравнение Янга – Миллса.
• Калибровочная теория (математика)

Рекомендации

• Кобаяси, Шошичи (1980), «Первый класс Черна и голоморфные тензорные поля», Нагойский математический журнал, 77: 5–11, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0556302
• Кобаяси, Шошичи (1987), Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений, Публикации Математического общества Японии, 15, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08467-1, МИСТЕР  0909698