Пространство конфигурации (математика) - Википедия - Configuration space (mathematics)

Конфигурационное пространство всех неупорядоченных пар точек на окружности - это Лента Мебиуса.

В математика, а конфигурационное пространство это конструкция, тесно связанная с государственные пространства или же фазовые пространства по физике. В физике они используются для описания состояния всей системы как единой точки в многомерном пространстве. В математике они используются для описания присвоения набора точек позициям в топологическое пространство. В частности, конфигурационные пространства в математике являются частными примерами конфигурационные пространства в физике в частном случае нескольких не сталкивающихся частиц.

Определение

Для топологического пространства ${ displaystyle X}$, то п^th (упорядоченное) конфигурационное пространство X это набор п-кортежи попарно различных точек в ${ displaystyle X}$:

${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} (X): = prod ^ {n} X smallsetminus {(x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) in X ^ {n} mid x_ {i} = x_ {j} { text {для некоторых}} i neq j }.}$^[1]

Это пространство обычно наделяется топологией подпространств из-за включения ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} (X)}$ в ${ displaystyle X ^ {n}}$. Также иногда обозначается ${ Displaystyle F (X, n)}$, ${ Displaystyle F ^ {п} (X)}$, или же ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ {п} (X)}$.^[2]

Есть естественный действие из симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$ по пунктам в ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} (X)}$ данный

${ displaystyle { begin {align} S_ {n} times operatorname {Conf} _ {n} (X) & longrightarrow operatorname {Conf} _ {n} (X) ( sigma, x) & longmapsto sigma (x) = (x _ { sigma (1)}, x _ { sigma (2)}, ldots, x _ { sigma (n)}). end {выравнивается}}}$

Это действие порождает п^th неупорядоченное конфигурационное пространство Икс,

${ displaystyle operatorname {UConf} _ {n} (X): = operatorname {Conf} _ {n} (X) / S_ {n},}$

какой орбитальное пространство этого действия. Интуиция подсказывает, что это действие «забывает названия точек». Неупорядоченное конфигурационное пространство иногда обозначают ${ Displaystyle { mathcal {UC}} ^ {п} (X)}$,^[2] ${ displaystyle B_ {n} (X)}$, или же ${ Displaystyle C_ {п} (Х)}$. Совокупность неупорядоченных конфигурационных пространств по всем ${ displaystyle n}$ это Пробежал пространство, и имеет естественную топологию.

Альтернативные составы

Для топологического пространства ${ displaystyle X}$ и конечное множество ${ displaystyle S}$, то конфигурационное пространство Икс с частицами, помеченными S является

${ displaystyle operatorname {Conf} _ {S} (X): = {е mid f двоеточие S hookrightarrow X { text {инъективно}} }.}$

За ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$, определять ${ Displaystyle mathbf {п}: = {1,2, ldots, п }}$. Тогда п^th конфигурационное пространство Икс является ${ displaystyle operatorname {Conf} _ { mathbf {n}} (X)}$, и обозначается просто ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} (X)}$.^[3]

Примеры

• Пространство упорядоченной конфигурации двух точек в ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$ является гомеоморфный произведению трехмерного евклидова пространства на круг, т. е. ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {2} ( mathbf {R} ^ {2}) cong mathbf {R} ^ {3} times S ^ {1}}$.^[2]
• В более общем плане конфигурационное пространство двух точек в ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {п}}$ является гомотопический эквивалент в сферу ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$.^[4]
• Конфигурационное пространство ${ displaystyle n}$ указывает в ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$ классифицирующее пространство ${ displaystyle n}$th группа кос (видеть ниже ).

Подключение к группам кос

В пгруппа косичек на связаны топологическое пространство Икс является

${ displaystyle B_ {n} (X): = pi _ {1} ( operatorname {UConf} _ {n} (X)),}$

то фундаментальная группа из п^th неупорядоченное конфигурационное пространство Икс. В пгруппа чистой косы на Икс является^[2]

${ displaystyle P_ {n} (X): = pi _ {1} ( operatorname {Conf} _ {n} (X)).}$

Первыми изученными группами кос были Группы косы Artin ${ displaystyle B_ {n} cong pi _ {1} ( operatorname {UConf} _ {n} ( mathbf {R} ^ {2}))}$. Хотя приведенное выше определение не является тем, что Эмиль Артин дал, Адольф Гурвиц неявно определили группы кос Артина как фундаментальные группы конфигурационных пространств комплексной плоскости значительно раньше определения Артина (в 1891 г.).^[5]

Из этого определения и того факта, что ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( mathbf {R} ^ {2})}$ и ${ displaystyle operatorname {UConf} _ {n} ( mathbf {R} ^ {2})}$ находятся Пространства Эйленберга – Маклейна типа ${ Displaystyle К ( пи, 1)}$, что неупорядоченное конфигурационное пространство плоскости ${ displaystyle operatorname {UConf} _ {n} ( mathbf {R} ^ {2})}$ это классификация пространства для группы кос Артина и ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( mathbf {R} ^ {2})}$ является классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина, когда обе рассматриваются как дискретные группы.^[6]

Конфигурационные пространства многообразий

Если исходное пространство ${ displaystyle X}$ это многообразие, его упорядоченные конфигурационные пространства являются открытыми подпространствами степеней ${ displaystyle X}$ и, таким образом, сами являются многообразиями. Конфигурационное пространство различных неупорядоченных точек также является многообразием, а конфигурационное пространство не обязательно отличаться^{[требуется разъяснение ]} неупорядоченные точки вместо этого орбифолд.

Конфигурационное пространство - это тип классификация пространства или (хорошо) пространство модулей. В частности, есть универсальный комплект ${ displaystyle pi двоеточие E_ {n} to C_ {n}}$ которое является подрасслоением тривиального расслоения ${ displaystyle C_ {n} times X to C_ {n}}$, и обладающий тем свойством, что слой над каждой точкой ${ displaystyle p in C_ {n}}$ это п подмножество элементов ${ displaystyle X}$ классифицированп.

Гомотопическая инвариантность

Гомотопический тип конфигурационных пространств не является гомотопический инвариант. Например, пробелы ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( mathbb {R} ^ {m})}$ не гомотопически эквивалентны для любых двух различных значений ${ displaystyle m}$: ${ displaystyle mathrm {Conf} _ {n} ( mathbb {R} ^ {0})}$ пусто для ${ Displaystyle п geq 2}$, ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( mathbb {R})}$ не связан для ${ Displaystyle п geq 2}$, ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( mathbb {R} ^ {2})}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна типа ${ Displaystyle К ( пи, 1)}$, и ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( mathbb {R} ^ {m})}$ является односвязный за ${ displaystyle m geq 3}$.

Раньше вопрос о том, есть ли примеры компактный многообразия, которые были гомотопически эквивалентны, но имели негомотопически эквивалентные конфигурационные пространства: такой пример был найден только в 2005 году Риккардо Лонгони и Паоло Сальваторе. Их пример - два трехмерных линзы, и конфигурационные пространства не менее двух точек в них. То, что эти конфигурационные пространства не гомотопически эквивалентны, было обнаружено Продукция Massey в соответствующих универсальных крышках.^[7] Гомотопическая инвариантность конфигурационных пространств односвязный замкнутые многообразия в общем случае остаются открытыми и, как было доказано, выполняются над базовым полем ${ displaystyle mathbf {R}}$.^[8][9] Вещественная гомотопическая инвариантность односвязного компакта многообразия с односвязным краем размерности не менее 4.^[10]

Конфигурационные пространства графов

Некоторые результаты относятся к конфигурационным пространствам графики. Эта проблема может быть связана с робототехникой и планированием движения: можно представить себе размещение нескольких роботов на рельсах и попытку переместить их в разные положения без столкновений. Дорожки соответствуют (ребрам) графа, роботы соответствуют частицам, а успешная навигация соответствует пути в конфигурационном пространстве этого графа.^[11]

Для любого графика ${ displaystyle Gamma}$, ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( Gamma)}$ является пространством Эйленберга – Маклейна типа ${ Displaystyle К ( пи, 1)}$^[11] и при сильной деформации втягивается к CW комплекс измерения ${ displaystyle b ( Gamma)}$, куда ${ displaystyle b ( Gamma)}$ количество вершин степень минимум 3.^[11][12] Более того, ${ displaystyle operatorname {UConf} _ {n} ( Gamma)}$ и ${ displaystyle operatorname {Conf} _ {n} ( Gamma)}$ деформация втягивается в неположительно изогнутый кубические комплексы размер не более ${ Displaystyle мин (п, б ( гамма))}$.^[13][14]

Конфигурационные пространства механических связей

Также определяется конфигурационное пространство механической связи с графом. ${ displaystyle Gamma}$ его основная геометрия. Обычно предполагается, что такой граф состоит из жестких стержней и шарниров. Конфигурационное пространство такой связи определяется как совокупность всех ее допустимых положений в евклидовом пространстве, снабженная соответствующей метрикой. Конфигурационное пространство типичного зацепления представляет собой гладкое многообразие, например, для тривиального плоского зацепления, состоящего из ${ displaystyle n}$ жесткие стержни, соединенные поворотными шарнирами, конфигурационное пространство - n-тор ${ Displaystyle Т ^ {п}}$.^[15][16]Простейшая особая точка в таких конфигурационных пространствах - это произведение конуса на однородной квадратичной гиперповерхности на евклидово пространство. Такая точка сингулярности возникает для связей, которые могут быть разделены на две подсвязки, так что их соответствующие конечные точки трассы-пути пересекаются непересечным образом, например, связь, которую можно выровнять (то есть полностью сложить в линию).^[17]

Смотрите также

• Пространство конфигурации (физика)
• Пространство состояний (физика)

Рекомендации