Граф (топология) - Википедия - Graph (topology)

В топология, предмет в математика, а график это топологическое пространство который возникает из обычного график ${ Displaystyle G = (E, V)}$ заменой вершин на точки и каждого ребра ${ displaystyle e = xy in E}$ копией единичный интервал ${ Displaystyle I = [0,1]}$, куда ${ displaystyle 0}$ отождествляется с точкой, связанной с ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle 1}$ с точкой, связанной с ${ displaystyle y}$. То есть как топологические пространства графы - это в точности симплициальные 1-комплексы а также в точности одномерный Комплексы CW.^[1]

Таким образом, в частности, он несет факторная топология из набор

${ displaystyle X_ {0} sqcup bigsqcup _ {e in E} I_ {e}}$

под фактор-картой, использованной для склейки. Здесь ${ displaystyle X_ {0}}$ 0-остов (состоящий из одной точки для каждой вершины ${ displaystyle x in V}$), ${ displaystyle I_ {e}}$ интервалы ("замкнутые одномерные единичные шары"), приклеенные к нему, по одному на каждое ребро ${ displaystyle e in E}$, и ${ displaystyle sqcup}$ это несвязный союз.^[1]

В топология на этом пространстве называется топология графа.^[2]

Подграфы и -деревья

Подграф графа ${ displaystyle X}$ является подпространством ${ Displaystyle Y substeq X}$ который также является графом и все узлы содержатся в 0-скелете ${ displaystyle X}$. ${ displaystyle Y}$ является подграфом тогда и только тогда, когда он состоит из вершин и ребер из ${ displaystyle X}$ и закрыт.^[1]

Подграф ${ Displaystyle Т Subteq X}$ называется дерево если и только если оно стягиваемо как топологическое пространство.^[1]

Характеристики

• Каждый связный граф ${ displaystyle X}$ содержит по крайней мере один максимальный дерево ${ Displaystyle Т Subteq X}$, т.е. дерево, максимальное по порядку, индуцированному включением множества на подграфах ${ displaystyle X}$ которые деревья.^[1]
• Если ${ displaystyle X}$ это граф и ${ Displaystyle Т Subteq X}$ максимальное дерево, то фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ равно свободная группа генерируется элементами ${ Displaystyle (е _ { альфа}) _ { альфа в А}}$, где ${ Displaystyle {е _ { альфа} }}$ соответствовать биективно к краям ${ Displaystyle X setminus T}$; по факту, ${ displaystyle X}$ является гомотопический эквивалент к сумма клина из круги.^[1]
• Формирование топологического пространства, связанного с графом, как указано выше, составляет функтор из категории графов в категорию топологических пространств.^[2]
• Соответствующее топологическое пространство графа связно (по отношению к топологии графа) тогда и только тогда, когда исходный граф связан.^[2]
• Каждый покрывающее пространство проецирование на граф - это тоже граф.^[1]

Приложения

Используя указанные выше свойства графов, можно доказать Теорема Нильсена – Шрайера.^[1]

Смотрите также

• Гомология графов
• Топологическая теория графов

Рекомендации