Алгебразначная дифференциальная форма Ли - Lie algebra-valued differential form

В дифференциальной геометрии a Алгебразначная форма Ли это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли. Такие формы имеют важные приложения в теории связи на основной пакет а также в теории Картановые соединения.

Формальное определение

Алгебразначный дифференциал Ли k-форма на многообразии, ${ displaystyle M}$, гладкая раздел из пучок ${ displaystyle ({ mathfrak {g}} times M) otimes wedge ^ {k} T ^ {*} M}$, куда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли, ${ displaystyle T ^ {*} M}$ это котангенсный пучок из ${ displaystyle M}$ и Λ^k обозначает k^th внешняя сила.

Клин продукт

Поскольку каждая алгебра Ли имеет билинейную Операция со скобкой Ли, произведение клина двух алгеброзначных форм Ли может быть составлено с помощью операции скобок для получения другой алгеброзначной формы Ли. Эта операция, обозначаемая ${ displaystyle [ omega wedge eta]}$, определяется по формуле: для ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значен п-форма ${ displaystyle omega}$ и ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значен q-форма ${ displaystyle eta}$

${ displaystyle [ omega wedge eta] (v_ {1}, cdots, v_ {p + q}) = {1 over (p + q)!} sum _ { sigma} operatorname {sgn } ( sigma) [ omega (v _ { sigma (1)}, cdots, v _ { sigma (p)}), eta (v _ { sigma (p + 1)}, cdots, v_ { sigma (p + q)})]}$

куда v_я- касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если ${ displaystyle omega}$ и ${ displaystyle eta}$ алгебразначные формы Ли, то

${ displaystyle [ omega wedge eta] (v_ {1}, v_ {2}) = {1 over 2} ([ omega (v_ {1}), eta (v_ {2})] - [ omega (v_ {2}), eta (v_ {1})]).}$

Операция ${ displaystyle [ omega wedge eta]}$ также можно определить как билинейную операцию над ${ Displaystyle Omega (М, { mathfrak {g}})}$ удовлетворение

${ Displaystyle [(g otimes альфа) клин (h otimes beta)] = [g, h] otimes ( alpha wedge beta)}$

для всех ${ displaystyle g, h in { mathfrak {g}}}$ и ${ Displaystyle альфа, бета в Omega (M, mathbb {R})}$.

Некоторые авторы использовали обозначения ${ displaystyle [ omega, eta]}$ вместо ${ displaystyle [ omega wedge eta]}$. Обозначение ${ displaystyle [ omega, eta]}$, который напоминает коммутатор, оправдывается тем, что если алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ матричная алгебра, то ${ displaystyle [ omega wedge eta]}$ это не что иное, как градуированный коммутатор из ${ displaystyle omega}$ и ${ displaystyle eta}$, я. е. если ${ displaystyle omega in Omega ^ {p} (M, { mathfrak {g}})}$ и ${ displaystyle eta in Omega ^ {q} (M, { mathfrak {g}})}$ тогда

${ Displaystyle [ омега клин эта] = омега клин эта - (- 1) ^ {pq} эта клин омега,}$

куда ${ Displaystyle омега клин эта, эта клин омега в Омега ^ {p + q} (M, { mathfrak {g}})}$ являются произведениями клина, образованными с помощью умножения матриц на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Операции

Позволять ${ displaystyle f: { mathfrak {g}} to { mathfrak {h}}}$ быть Гомоморфизм алгебр Ли. Если φ - ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная форма на многообразии, то ж(φ) является ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$-значная форма на том же многообразии, полученная применением ж к значениям φ: ${ Displaystyle е ( varphi) (v_ {1}, точки, v_ {k}) = f ( varphi (v_ {1}, dots, v_ {k}))}$.

Аналогично, если ж является полилинейным функционалом на ${ displaystyle textstyle prod _ {1} ^ {k} { mathfrak {g}}}$, затем кладут^[1]

${ displaystyle f ( varphi _ {1}, dots, varphi _ {k}) (v_ {1}, dots, v_ {q}) = {1 over q!} sum _ { sigma } operatorname {sgn} ( sigma) f ( varphi _ {1} (v _ { sigma (1)}, dots, v _ { sigma (q_ {1})}), dots, varphi _ {k} (v _ { sigma (q-q_ {k} +1)}, dots, v _ { sigma (q)}))}$

куда q = q₁ + … + q_k и φ_я находятся ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значен q_я-форм. Более того, учитывая векторное пространство V, ту же формулу можно использовать для определения V-значная форма ${ Displaystyle е ( varphi, eta)}$ когда

${ displaystyle f: { mathfrak {g}} times от V до V}$

- полилинейное отображение, φ - ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная форма и η V-значная форма. Обратите внимание, что когда

(*) ж([Икс, у], z) = ж(Икс, ж(у, z)) - ж(у, ж(Икс, z)),

давая ж составляет действие ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на V; т.е. ж определяет представление

${ Displaystyle rho: { mathfrak {g}} к V, rho (x) y = f (x, y)}$

и, наоборот, любое представление ρ определяет ж с условием (*). Например, если ${ displaystyle f (x, y) = [x, y]}$ (скобка ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$), то восстанавливаем определение ${ Displaystyle [ cdot клин cdot]}$ приведенное выше, при ρ = ad присоединенное представительство. (Обратите внимание на связь между ж и ρ выше, таким образом, похоже на отношение между скобкой и ad.)

В общем, если α это ${ Displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$-значен п-форма и φ является V-значен q-form, то чаще пишут α⋅φ = ж(α, φ), когда ж(Т, Икс) = ТИкс. Ясно,

${ displaystyle ( alpha cdot phi) (v_ {1}, dots, v_ {p + q}) = {1 over (p + q)!} sum _ { sigma} operatorname {sgn } ( sigma) alpha (v _ { sigma (1)}, dots, v _ { sigma (p)}) phi (v _ { sigma (p + 1)}, dots, v _ { sigma (p + q)}).}$

С этой записью, например:

${ Displaystyle OperatorName {AD} ( альфа) cdot phi = [ alpha wedge phi]}$.

Пример: если ω является ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная однозначная форма (например, форма подключения ), ρ представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в векторном пространстве V и φ a V-значная нулевая форма, то

${ displaystyle rho ([ omega клин omega]) cdot varphi = 2 rho ( omega) cdot ( rho ( omega) cdot varphi).}$^[2]

Формы со значениями в сопряженной связке

Позволять п - гладкое главное расслоение со структурной группой грамм и ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$. грамм действует на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ через присоединенное представительство и поэтому можно сформировать связанный пакет:

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {P} = P times _ { operatorname {Ad}} { mathfrak {g}}.}$

Любой ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {P}}$-значные формы на базовом пространстве п находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с любыми тензорные формы на п сопряженного типа.

Смотрите также

• Форма Маурера – Картана
• Присоединенный комплект

Примечания

Рекомендации

• С. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Библиотека Wiley Classics) Том 1, 2.

внешняя ссылка

• Произведение клина однозначной алгебры Ли
• группоид алгеброзначных форм в nLab