Математическая формулировка Стандартной модели - Mathematical formulation of the Standard Model

Стандартная модель физики элементарных частиц. На диаграмме показан элементарные частицы Стандартной модели ( бозон Хиггса, три поколения из кварки и лептоны, а калибровочные бозоны ), включая их имена, массы, спины, заряды, хиральности и взаимодействия с сильный, слабый и электромагнитный силы. Это также показывает решающую роль бозона Хиггса в нарушение электрослабой симметрии, и показывает, как свойства различных частиц различаются в (высокоэнергетической) симметричной фазе (вверху) и (низкоэнергетической) фазе с нарушенной симметрией (внизу).

Стандартная модель физики элементарных частиц: более схематическое изображение

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В этой статье описывается математика Стандартная модель из физика элементарных частиц, а калибр квантовая теория поля содержащий внутренние симметрии из унитарный группа товаров SU (3) × СУ (2) ×U (1). Обычно считается, что теория содержит фундаментальный набор частиц - лептоны, кварки, калибровочные бозоны и Частица Хиггса.

Стандартная модель перенормируемый и математически самосогласованный,^[1] однако, несмотря на огромные и постоянные успехи в предоставлении экспериментальных прогнозов, он оставляет некоторые необъяснимые явления. В частности, хотя физика специальная теория относительности включен, общая теория относительности нет, и Стандартная модель потерпит неудачу при энергиях или расстояниях, где гравитон ожидается появление. Следовательно, в контексте современной теории поля это рассматривается как эффективная теория поля.

Эта статья требует некоторой подготовки в области физики и математики, но она задумана как введение и как справочник.

Квантовая теория поля

Образец слабый изоспин Т₃, слабый гиперзаряд Y_W, и цветной заряд всех известных элементарных частиц, вращаемых слабый угол смешивания показать электрический заряд Q, примерно по вертикали. Нейтральный Поле Хиггса (серый квадрат) нарушает электрослабая симметрия и взаимодействует с другими частицами, придавая им массу.

Стандартная модель - это квантовая теория поля, что означает, что его основные объекты квантовые поля которые определены во всех точках пространства-времени. Эти поля

• то фермион поля, ψ, которые учитывают «частицы материи»;
• то электрослабые бозонные поля ${ displaystyle W_ {1}, W_ {2}, W_ {3}}$, и B;
• то глюонное поле, г_а; и
• то Поле Хиггса, φ.

Что это квант скорее, чем классический поля имеют математическое следствие, что они оператор -оценка. В частности, значения полей обычно не коммутируются. Как операторы они действуют на квантовое состояние (кет вектор ).

Динамика квантового состояния и фундаментальных полей определяется Плотность лагранжиана ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ (обычно для краткости просто называют лагранжианом). Это играет роль, аналогичную роли Уравнение Шредингера в нерелятивистской квантовой механике, но лагранжиан не является уравнением движения - скорее, это полиномиальная функция полей и их производных, которая используется с принцип наименьшего действия. Хотя можно было бы вывести систему дифференциальных уравнений, управляющих полями, из лагранжиана, более распространено использование других методов для вычислений с помощью квантовых теорий поля.

Стандартная модель, кроме того, калибровочная теория, что означает, что в математическом формализме есть степени свободы, не соответствующие изменениям физического состояния. В группа датчиков стандартной модели СУ (3) × СУ (2) × U (1),^[2] где U (1) действует на B и φ, SU (2) действует на W и φ, а SU (3) действует на г. Фермионное поле ψ также трансформируется под действием этих симметрий, хотя все они оставляют некоторые его части неизменными.

Роль квантовых полей

В классическая механика, состояние системы обычно может быть зафиксировано небольшим набором переменных, и, таким образом, динамика системы определяется эволюцией этих переменных во времени. В классическая теория поля, то поле является частью состояния системы, поэтому для его полного описания эффективно вводятся отдельные переменные для каждой точки пространства-времени (даже несмотря на то, что существует множество ограничений на то, как значения поля «переменные» могут изменяться от точки к точке, например, в виде полевых уравнений, включающих частные производные полей).

В квантовая механика, классические переменные превратился в операторы, но они не фиксируют состояние системы, которое вместо этого кодируется в волновая функция ψ или более абстрактный кет вектор. Если ψ является собственное состояние по отношению к оператору п, тогда Pψ = λψ для соответствующего собственного значения λ, и, следовательно, позволяя оператору п действовать на ψ аналогично умножению ψ на значение классической переменной, к которой п соответствует. В более широком смысле классическая формула, в которой все переменные были заменены соответствующими операторами, будет вести себя как оператор, который, воздействуя на состояние системы, умножает его на аналог величины, которую классическая формула могла бы вычислить. Однако формула как таковая не содержит никакой информации о состоянии системы; он будет оценивать одного и того же оператора независимо от того, в каком состоянии находится система.

Квантовые поля относятся к квантовой механике так же, как классические поля относятся к классической механике, то есть для каждой точки пространства-времени существует отдельный оператор, и эти операторы не несут никакой информации о состоянии системы; они просто используются для демонстрации некоторого аспекта государства в той точке, к которой они принадлежат. В частности, квантовые поля не волновых функций, даже если уравнения, которые управляют их эволюцией во времени, могут быть обманчиво похожими на уравнения соответствующей волновой функции в полуклассический формулировка. Нет различий в силе полей между разными точками пространства-времени; изменение, которое происходит, скорее, одно из фазовые факторы.

Векторы, скаляры и спиноры

Математически это может выглядеть так, как будто все поля являются векторными (в дополнение к операторнозначным), поскольку все они имеют несколько компонентов, могут быть умножены на матрицы и т. Д., Но физики приписывают более конкретный физический смысл слово: а вектор что-то, что трансформируется как четырехвекторный под Преобразования Лоренца, а скаляр инвариантно относительно преобразований Лоренца. В B, W_j, и г_а поля - все векторы в этом смысле, поэтому соответствующие частицы называются векторные бозоны. Поле Хиггса φ является скаляром.

Фермионное поле ψ преобразуется при преобразованиях Лоренца, но не так, как должен делать вектор; повороты повернут его только на половину угла, который должен иметь правильный вектор. Следовательно, они составляют третий вид величин, которые известны как спинор.

Обычно используют обозначение абстрактного индекса для векторных полей, и в этом случае все векторные поля имеют лоренцевский индекс μ, вот так: ${ Displaystyle B ^ { mu}, W_ {j} ^ { mu}}$, и ${ Displaystyle G_ {а} ^ { mu}}$. Если обозначение абстрактного индекса используется также для спиноров, то они будут иметь спинорный индекс и Гамма Дирака будет нести один лоренциан и два спинорных индекса, но чаще спиноры рассматриваются как матрицы столбцов и гамма Дирака γ_μ как матрица, дополнительно несущая индекс Лоренца. В Обозначение фейнмана слэш можно использовать для преобразования векторного поля в линейный оператор на спинорах, например: ${ displaystyle { not} B = gamma ^ { mu} B _ { mu}}$; это может включать повышение и понижение показателей.

Альтернативные представления полей

Связи, обозначающие, какие частицы взаимодействуют друг с другом.

Как это принято в квантовой теории, существует несколько способов взглянуть на вещи. Сначала может показаться, что основные поля, приведенные выше, не совсем соответствуют «фундаментальным частицам» в приведенной выше таблице, но есть несколько альтернативных представлений, которые в определенных контекстах могут быть более подходящими, чем те, которые приведены выше.

Фермионы

Вместо одного фермионного поля ψ, его можно разделить на отдельные компоненты для каждого типа частиц. Это отражает историческую эволюцию квантовой теории поля, поскольку электронная составляющая ψ_е (описывая электрон и его античастица позитрон ) тогда оригинал ψ поле квантовая электродинамика, который позже сопровождался ψ_μ и ψ_τ поля для мюон и тауон соответственно (и их античастицы). Добавлена ​​электрослабая теория ${ displaystyle psi _ { nu _ { mathrm {e}}}, psi _ { nu _ { mu}}}$, и ${ displaystyle psi _ { nu _ { tau}}}$ для соответствующих нейтрино, а кварки добавить еще компоненты. Для того, чтобы быть четырехспиноры как электрон и другие лептон компонентов, должен быть один кварковый компонент для каждой комбинации аромат и цвет, в результате чего общее количество равно 24 (3 для заряженных лептонов, 3 для нейтрино и 2 · 3 · 3 = 18 для кварков). Каждый из них состоит из четырех компонентов. биспинор, всего 96 комплексных компонент для фермионного поля.

Важное определение - это запрещен фермионное поле ${ displaystyle { bar { psi}}}$, который определяется как ${ displaystyle psi ^ { dagger} gamma ^ {0}}$, где ${ displaystyle dagger}$ обозначает Эрмитово сопряженный и γ⁰ это ноль гамма-матрица. Если ψ считается п × 1 матрица тогда ${ displaystyle { bar { psi}}}$ следует рассматривать как 1 × п матрица.

Киральная теория

Независимое разложение ψ это в хиральность компоненты:

«Левая» хиральность:${ displaystyle psi ^ {L} = { frac {1} {2}} (1- gamma _ {5}) psi}$

«Правильная» хиральность:${ displaystyle psi ^ {R} = { frac {1} {2}} (1+ gamma _ {5}) psi}$

где ${ displaystyle gamma _ {5}}$ является пятая гамма-матрица. Это очень важно в Стандартной модели, потому что левая и правая компоненты киральности по-разному трактуются калибровочными взаимодействиями.

В частности, под слабый изоспин SU (2) При преобразованиях левые частицы являются дублетами слабого изоспина, а правые - синглетами, т. е. слабым изоспином ψ_р равно нулю. Проще говоря, слабое взаимодействие могло вращаться, например левый электрон в левое нейтрино (с испусканием W⁻), но не мог этого сделать с теми же правыми частицами. Кстати, правое нейтрино изначально не существовало в стандартной модели, но открытие осцилляция нейтрино подразумевает, что нейтрино должны иметь массу, а поскольку хиральность может изменяться во время распространения массивной частицы, правые нейтрино должны существовать в действительности. Однако это не меняет (экспериментально доказанной) киральной природы слабого взаимодействия.

Более того, U (1) действует иначе на ${ displaystyle psi _ { mathrm {e}} ^ {L}}$ и ${ displaystyle psi _ { mathrm {e}} ^ {R}}$ (потому что у них разные слабые гиперзаряды ).

Собственные состояния массы и взаимодействия

Таким образом, можно провести различие, например, между массой и взаимодействием собственные состояния нейтрино. Первое - это состояние, которое распространяется в свободном пространстве, а второе - это состояние. другой государство, которое участвует во взаимодействиях. Какая частица является «фундаментальной»? Для нейтрино принято определять «аромат» (
ν
_е,
ν
_μ, или
ν
_τ ) собственным состоянием взаимодействия, тогда как для кварков мы определяем аромат (верх, низ и т. д.) массовым состоянием. Мы можем переключаться между этими состояниями, используя Матрица СКМ для кварков или Матрица PMNS для нейтрино (заряженные лептоны, с другой стороны, являются собственными состояниями как массы, так и аромата).

Кроме того, если в любой из этих матриц существует сложный фазовый член, это приведет к прямому Нарушение CP, что могло бы объяснить преобладание материи над антивеществом в нашей нынешней Вселенной. Это было доказано для матрицы CKM и ожидается для матрицы PMNS.

Положительные и отрицательные энергии

Наконец, квантовые поля иногда разделяют на «положительную» и «отрицательную» энергетические части: ψ = ψ⁺ + ψ⁻. Это не так часто встречается при создании квантовой теории поля, но часто играет важную роль в процессе квантования теории поля.

Бозоны

Угол Вайнберга θ_W, и связь между константами связи г, г ', и е. Адаптировано из книги Т.Д. Ли. Физика элементарных частиц и введение в теорию поля (1981).

Из-за Механизм Хиггса, электрослабые бозонные поля ${ displaystyle W_ {1}, W_ {2}, W_ {3}}$, и ${ displaystyle B}$ «смешать», чтобы создать состояния, которые физически наблюдаемы. Чтобы сохранить калибровочную инвариантность, основные поля должны быть безмассовыми, но наблюдаемые состояния могут набирать массы в процессе. Это следующие состояния:

Массивный нейтральный (Z) бозон:

${ Displaystyle Z = соз theta _ {W} W_ {3} - sin theta _ {W} B}$

Безмассовый нейтральный бозон:

${ displaystyle A = sin theta _ {W} W_ {3} + cos theta _ {W} B}$

Массивная заряженная W бозоны:

${ displaystyle W ^ { pm} = { frac {1} { sqrt {2}}} left (W_ {1} mp iW_ {2} right)}$

где θ_W это Угол Вайнберга.

В А поле это фотон, что классически соответствует известному электромагнитный четырехпотенциальный - то есть электрическое и магнитное поля. В Z поле на самом деле вносит вклад в каждый процесс, который вносит фотон, но из-за его большой массы вклад обычно незначителен.

Пертурбативная КТП и картина взаимодействия

Большая часть качественного описания стандартной модели в терминах «частиц» и «сил» происходит от теории возмущений. квантовая теория поля вид на модель. В этом Лагранжиан разлагается как ${ Displaystyle { mathcal {L}} = { mathcal {L}} _ {0} + { mathcal {L}} _ { mathrm {I}}}$ в отдельные свободное поле и взаимодействие Лагранжианы. Свободные поля заботятся о частицах по отдельности, тогда как процессы с участием нескольких частиц возникают в результате взаимодействий. Идея состоит в том, что вектор состояния должен изменяться только при взаимодействии частиц, то есть свободная частица - это та, квантовое состояние которой постоянно. Это соответствует картинка взаимодействия в квантовой механике.

В более распространенном Картина Шредингера, даже состояния свободных частиц меняются со временем: обычно фаза изменяется со скоростью, которая зависит от их энергии. В альтернативе Картинка Гейзенберга, векторы состояния сохраняются постоянными за счет наличия операторов (в частности, наблюдаемые ) зависеть от времени. Картина взаимодействия представляет собой промежуточное звено между ними, где некоторая зависимость от времени помещается в операторы (квантовые поля), а другая - в вектор состояния. В КТП первая называется частью модели со свободным полем, а вторая - частью взаимодействия. Модель свободного поля может быть решена точно, а затем решения полной модели могут быть выражены как возмущения решений свободного поля, например, с использованием Серия Дайсон.

Следует отметить, что разложение на свободные поля и взаимодействия в принципе произвольно. Например, перенормировка в QED изменяет массу электрона свободного поля, чтобы она соответствовала массе физического электрона (с электромагнитным полем), и при этом добавит член в лагранжиан свободного поля, который должен быть сокращен контрчленом в лагранжиане взаимодействия, который затем показывает вверх как двухстрочная вершина в Диаграммы Фейнмана. Также считается, что поле Хиггса дает частицам масса: часть члена взаимодействия, соответствующая (ненулевому) вакуумному среднему значению поля Хиггса, перемещается из лагранжиана взаимодействия в лагранжиан свободного поля, где он выглядит как массовый член, не имеющий ничего общего с Хиггсом.

Бесплатные поля

При обычном разложении на свободное / взаимодействие, которое подходит для низких энергий, свободные поля подчиняются следующим уравнениям:

• Фермионное поле ψ удовлетворяет Уравнение Дирака; ${ displaystyle (я hbar { not} partial -m_ {f} c) psi _ {f} = 0}$ для каждого типа ${ displaystyle f}$ фермиона.
• Фотонное поле А удовлетворяет волновое уравнение ${ Displaystyle partial _ { mu} partial ^ { mu} A ^ { nu} = 0}$.
• Поле Хиггса φ удовлетворяет Уравнение Клейна – Гордона.
• Поля слабого взаимодействия Z, W^± также удовлетворить Уравнение Прока.

Эти уравнения можно решить точно. Обычно это делается путем рассмотрения первых решений, периодических с некоторым периодом L по каждой пространственной оси; позже взяв предел: L → ∞ снимет это ограничение периодичности.

В периодическом случае решение для поля F (любое из вышеперечисленных) может быть выражено как Ряд Фурье формы

${ Displaystyle F (x) = beta sum _ { mathbf {p}} sum _ {r} E _ { mathbf {p}} ^ {- { frac {1} {2}}} left (a_ {r} ( mathbf {p}) u_ {r} ( mathbf {p}) e ^ {- { frac {ipx} { hbar}}} + b_ {r} ^ { dagger} ( mathbf {p}) v_ {r} ( mathbf {p}) e ^ { frac {ipx} { hbar}} right)}$

где:

• β коэффициент нормализации; для фермионного поля ${ displaystyle psi _ {f}}$ это ${ displaystyle { sqrt {m_ {f} c ^ {2} / V}}}$, где ${ Displaystyle V = L ^ {3}}$ - объем рассматриваемой основной ячейки; для фотонного поля А^μ это ${ displaystyle hbar c / { sqrt {2V}}}$.
• Сумма более п по всем импульсам соответствует периоду L, т.е. по всем векторам ${ displaystyle { frac {2 pi hbar} {L}} (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$ где ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}}$ целые числа.
• Сумма более р охватывает другие степени свободы, специфичные для данного поля, такие как поляризация или спин; обычно получается как сумма от 1 к 2 или из 1 к 3.
• E_п это релятивистская энергия импульса п квант поля, ${ displaystyle = { sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + c ^ {2} mathbf {p} ^ {2}}}}$ когда масса покоя м.
• а_р(п) и ${ displaystyle b_ {r} ^ { dagger} ( mathbf {p})}$ находятся уничтожение и создание операторы соответственно для "a-частиц" и "b-частиц" соответственно импульса п; "b-частицы" - это античастицы «а-частиц». Разные поля имеют разные «a-» и «b-частицы». Для некоторых полей а и б такие же.
• ты_р(п) и v_р(п) являются неоператорами, которые несут векторные или спинорные аспекты поля (в соответствующих случаях).
• ${ displaystyle p = (E _ { mathbf {p}} / c, mathbf {p})}$ это четырехимпульсный для кванта с импульсом п. ${ displaystyle px = p _ { mu} x ^ { mu}}$ обозначает внутренний продукт четырехвекторный.

В пределе L → ∞, сумма превратилась бы в интеграл с помощью V спрятан внутри β. Числовое значение β также зависит от выбранной для ${ Displaystyle и_ {г} ( mathbf {p})}$ и ${ displaystyle v_ {r} ( mathbf {p})}$.

Технически, ${ displaystyle a_ {r} ^ { dagger} ( mathbf {p})}$ это Эрмитово сопряженный оператора а_р(п) в внутреннее пространство продукта из кет-векторы. Идентификация ${ displaystyle a_ {r} ^ { dagger} ( mathbf {p})}$ и а_р(п) так как операторы создания и уничтожения происходит из сравнения сохраняемых количеств для состояния до и после того, как одно из них повлияло на него. ${ displaystyle a_ {r} ^ { dagger} ( mathbf {p})}$ можно, например, увидеть, как добавить одну частицу, потому что она добавит 1 к собственному значению a-частицы оператор числа, и импульс этой частицы должен быть п поскольку собственное значение векторнозначного оператор импульса увеличивается на столько. Для этих выводов мы начинаем с выражений для операторов в терминах квантовых полей. Операторы с ${ displaystyle dagger}$ являются операторами создания, а оператор без операторов уничтожения - это соглашение, налагаемое знаком постулируемых для них соотношений коммутации.

Важным этапом подготовки вычислений в пертурбативной квантовой теории поля является разделение «операторных» факторов а и б выше из их соответствующих векторных или спинорных факторов ты и v. Вершины Графики Фейнмана пришли из того пути, что ты и v из разных факторов лагранжиана взаимодействия совпадают, тогда как края возникают из-за того, что аs и бs необходимо перемещать, чтобы привести термины в ряду Дайсона в нормальную форму.

Условия взаимодействия и подход интеграла по путям

Лагранжиан также может быть получен без использования операторов создания и уничтожения («канонический» формализм) с использованием подхода «интеграла по путям», впервые предложенного Фейнманом на основе более ранней работы Дирака. См. Например Формулировка интеграла по путям или А. Зи QFT в двух словах. Это один из возможных способов Диаграммы Фейнмана, которые являются графическими представлениями терминов взаимодействия, могут быть получены относительно легко. Быстрый вывод действительно представлен в статье о Диаграммы Фейнмана.

Лагранжев формализм

Приведенные выше взаимодействия показывают некоторые основные вершины взаимодействия - диаграммы Фейнмана в стандартной модели строятся из этих вершин. Однако взаимодействия бозона Хиггса не показаны, и обычно добавляются нейтринные осцилляции. Заряд W-бозонов определяется фермионами, с которыми они взаимодействуют.

Теперь мы можем дать более подробную информацию о вышеупомянутых условиях бесплатного использования и взаимодействия, появляющихся в Стандартной модели. Плотность лагранжиана. Любой такой член должен быть инвариантным как для калибровки, так и для системы отсчета, в противном случае законы физики будут зависеть от произвольного выбора системы отсчета наблюдателя. Следовательно Глобальный Симметрия Пуанкаре, состоящий из поступательная симметрия, вращательная симметрия и инерциальная система отсчета, центральная в теории специальная теория относительности должен применяться. В местный СУ (3) × СУ (2) × U (1) калибровочная симметрия - это внутренняя симметрия. Три фактора калибровочной симметрии вместе дают начало трем фундаментальным взаимодействиям после того, как будут определены некоторые соответствующие соотношения, как мы увидим.

Полная формулировка лагранжиана Стандартной модели со всеми терминами, написанными вместе, может быть найдена, например, Вот.

Кинетические термины

Свободную частицу можно представить массовым членом, а кинетический термин, который относится к «движению» полей.

Фермионные поля

Кинетический член для фермиона Дирака:

${ Displaystyle я { бар { psi}} gamma ^ { mu} partial _ { mu} psi}$

где обозначения взяты из ранее в статье. ψ может представлять любые или все фермионы Дирака в стандартной модели. Обычно, как показано ниже, этот термин включен в связи (создавая общий «динамический» термин).

Калибровочные поля

Для полей со спином 1 сначала определите напряженность поля тензор

${ Displaystyle F _ { mu nu} ^ {a} = partial _ { mu} A _ { nu} ^ {a} - partial _ { nu} A _ { mu} ^ {a} + gf ^ {abc} A _ { mu} ^ {b} A _ { nu} ^ {c}}$

для данного калибровочного поля (здесь мы используем А), с датчиком константа связи г. Количество  ж^abc это структурная постоянная конкретной калибровочной группы, определяемой коммутатором

${ displaystyle [t_ {a}, t_ {b}] = если ^ {abc} t_ {c},}$

где т_я являются генераторы группы. В Абелева (коммутативная) группа (такой как U (1) мы используем здесь), так как генераторы т_а все коммутируют друг с другом, структурные константы обращаются в нуль. Конечно, в общем случае это не так - стандартная модель включает неабелеву SU (2) и SU (3) группы (такие группы приводят к тому, что называется Калибровочная теория Янга – Миллса ).

Нам нужно ввести три калибровочных поля, соответствующих каждой из подгрупп СУ (3) × СУ (2) ×U (1).

• Тензор глюонного поля обозначим через ${ Displaystyle G _ { mu nu} ^ {а}}$, где индекс а маркирует элементы 8 представление цвета SU (3). Константу сильной связи принято обозначать г_s (или просто г где нет двусмысленности). Наблюдения, приведшие к открытию этой части Стандартной модели, обсуждаются в статье в квантовая хромодинамика.
• Обозначение ${ displaystyle W _ { mu nu} ^ {a}}$ будет использоваться для тензора калибровочного поля SU (2) где а проходит через 3 генераторы этой группы. Связь можно обозначить г_ш или снова просто г. Калибровочное поле обозначим через ${ Displaystyle W _ { mu} ^ {а}}$.
• Тензор калибровочного поля для U (1) слабого гиперзаряда обозначим B_μν, связь г', а калибровочное поле - B_μ.

Кинетический член теперь можно записать просто как

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { rm {kin}} = - {1 более 4} B _ { mu nu} B ^ { mu nu} - {1 over 2} mathrm {tr} W _ { mu nu} W ^ { mu nu} - {1 over 2} mathrm {tr} G _ { mu nu} G ^ { mu nu}}$

где следы над SU (2) и SU (3) индексы, скрытые в W и г соответственно. Двухиндексные объекты - это значения напряженности поля, полученные из W и г векторные поля. Также есть два дополнительных скрытых параметра: тета-углы для SU (2) и SU (3).

Условия сцепления

Следующий шаг - «связать» калибровочные поля с фермионами, учитывая взаимодействие.

Электрослабый сектор

Электрослабый сектор взаимодействует с группой симметрии U (1) × SU (2)_L, где индекс L указывает на взаимодействие только с левыми фермионами.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {EW}} = sum _ { psi} { bar { psi}} gamma ^ { mu} left (i partial _ { mu} -g ^ { prime} {1 over 2} Y _ { mathrm {W}} B _ { mu} -g {1 over 2} { boldsymbol { tau}} mathbf {W} _ { mu} right) psi}$

куда B_μ это U (1) калибровочное поле; Y_W это слабый гиперзаряд (генератор U (1) группа); W_μ трехкомпонентный SU (2) калибровочное поле; и компоненты τ являются Матрицы Паули (бесконечно малые генераторы SU (2) группа), собственные значения которой дают слабый изоспин. Обратите внимание, что нам нужно переопределить новый U (1) симметрия слабый гиперзаряд, в отличие от QED, для того, чтобы добиться объединения со слабой силой. В электрический заряд Q, третий компонент слабый изоспин Т₃ (также называется Т_z, я₃ или я_z) и слабый гиперзаряд Y_W связаны

${ displaystyle Q = T_ {3} + { tfrac {1} {2}} Y_ {W},}$

(или альтернативное соглашение Q = Т₃ + Y_W). Первое соглашение, используемое в этой статье, эквивалентно более раннему Формула Гелл-Манна – Нисиджимы. Это заставляет гиперзаряд вдвое превышать средний заряд данного изомультиплета.

Затем можно определить сохраненный ток для слабого изоспина как

${ displaystyle mathbf {j} _ { mu} = {1 over 2} { bar { psi}} _ {L} gamma _ { mu} { boldsymbol { tau}} psi _ {L}}$

а для слабого гиперзаряда как

${ displaystyle j _ { mu} ^ {Y} = 2 (j _ { mu} ^ {em} -j _ { mu} ^ {3}) ~,}$

где ${ displaystyle j _ { mu} ^ {em}}$ электрический ток и ${ displaystyle j _ { mu} ^ {3}}$ третий слабый изоспиновый ток. Как объяснено над, эти токи смешиваются для создания физически наблюдаемых бозонов, что также приводит к проверяемым соотношениям между константами связи.

Чтобы объяснить это проще, мы можем увидеть эффект электрослабого взаимодействия, выбрав члены из лагранжиана. Мы видим, что SU (2) -симметрия действует на каждый (левый) фермионный дублет, содержащийся в ψ, Например

${ displaystyle - {g over 2} ({ bar { nu}} _ {e} ; { bar {e}}) tau ^ {+} gamma _ { mu} (W ^ { +}) ^ { mu} { begin {pmatrix} { nu _ {e}} e end {pmatrix}} = - {g over 2} { bar { nu}} _ {e } gamma _ { mu} (W ^ {+}) ^ { mu} e}$

где частицы понимаются как левые, а где

${ Displaystyle тау ^ {+} эквив {1 над 2} ( тау ^ {1} {+} я тау ^ {2}) = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix }}}$

Это взаимодействие, соответствующее «вращению в слабом изоспиновом пространстве» или, другими словами, преобразование между е_L и ν_eL через эмиссию W⁻ бозон. В U (1) симметрия, с другой стороны, похожа на электромагнетизм, но действует на все "слабый гиперзаряженный"фермионы (как левые, так и правые) через нейтральный Z⁰, так же хорошо как заряжен фермионы через фотон.

Сектор квантовой хромодинамики

Сектор квантовой хромодинамики (КХД) определяет взаимодействия между кварки и глюоны, с участием SU (3) симметрия, порожденная Т_а. Поскольку лептоны не взаимодействуют с глюонами, на них этот сектор не влияет. Лагранжиан Дирака кварков, связанных с глюонными полями, имеет вид

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {QCD}} = я { overline {U}} left ( partial _ { mu} -ig_ {s} G _ { mu} ^ {a } T ^ {a} right) gamma ^ { mu} U + i { overline {D}} left ( partial _ { mu} -ig_ {s} G _ { mu} ^ {a} T ^ {a} right) gamma ^ { mu} D.}$

где U и D являются спинорами Дирака, связанными с кварками типа вверх и вниз, а другие обозначения продолжаются из предыдущего раздела.

Массовые члены и механизм Хиггса

Массовые термины

Массовый член, возникающий из лагранжиана Дирака (для любого фермиона ψ) является ${ displaystyle -m { bar { psi}} psi}$ который не инвариантен относительно электрослабой симметрии. В этом можно убедиться, написав ψ по левым и правым компонентам (без фактического расчета):

${ displaystyle -m { bar { psi}} psi = -m ({ bar { psi}} _ {L} psi _ {R} + { bar { psi}} _ {R} psi _ {L})}$

т.е. вклад от ${ displaystyle { bar { psi}} _ {L} psi _ {L}}$ и ${ displaystyle { bar { psi}} _ {R} psi _ {R}}$ термины не появляются. Мы видим, что массогенерирующее взаимодействие достигается постоянным изменением хиральности частиц. Частицы с половиной спина не имеют пары правой / левой киральности с одинаковыми SU (2) представления и равные и противоположные слабые гиперзаряды, поэтому, если предположить, что эти калибровочные заряды сохраняются в вакууме, ни одна из частиц с половиной спина не могла бы когда-либо поменять киральность и должна оставаться безмассовой. Кроме того, мы экспериментально знаем, что бозоны W и Z массивны, но член массы бозона содержит комбинацию, например А^μА_μ, что явно зависит от выбора калибра. Следовательно, ни один из фермионов стандартной модели или бозоны могут «начинаться» с массы, но должны приобретать ее каким-то другим механизмом.

Механизм Хиггса

Решение обеих этих проблем исходит от Механизм Хиггса, который включает в себя скалярные поля (количество которых зависит от точной формы механизма Хиггса), которые (для кратчайшего возможного описания) «поглощаются» массивными бозонами как степени свободы и которые связываются с фермионами посредством взаимодействия Юкавы. создать то, что выглядит массовыми терминами.

В Стандартной модели Поле Хиггса комплексный скаляр группы SU (2)_L:

${ displaystyle phi = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} phi ^ {+} phi ^ {0} end {pmatrix}},}$

где верхние индексы + и 0 указать электрический заряд (Q) компонентов. Слабый гиперзаряд (Y_W) обоих компонентов 1.

Хиггсовская часть лагранжиана равна

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {H} = left [ left ( partial _ { mu} -igW _ { mu} ^ {a} t ^ {a} -ig'Y _ { phi } B _ { mu} right) phi right] ^ {2} + mu ^ {2} phi ^ { dagger} phi - lambda ( phi ^ { dagger} phi) ^ { 2},}$

где λ > 0 и μ² > 0, так что механизм спонтанное нарушение симметрии может быть использован. Здесь есть очень важный параметр, сперва скрытый в форме потенциала. В датчик унитарности можно установить ${ displaystyle phi ^ {+} = 0}$ и сделать ${ displaystyle phi ^ {0}}$ настоящий. потом ${ Displaystyle langle phi ^ {0} rangle = v}$ не исчезающий ожидаемое значение вакуума поля Хиггса. ${ displaystyle v}$ имеет единицы массы, и это единственный параметр в Стандартной модели, который не является безразмерным. Кроме того, он намного меньше планковского масштаба; она примерно равна массе Хиггса и задает масштаб для массы всего остального. Это единственная реальная тонкая настройка на небольшое ненулевое значение в Стандартной модели, и она называется Проблема иерархии. Квадратичные члены в W_μ и B_μ возникают, придающие массы W- и Z-бозонам:

${ displaystyle { begin {align} M_ {W} & = { tfrac {1} {2}} vg M_ {Z} & = { tfrac {1} {2}} v { sqrt {g ^ {2} + {g '} ^ {2}}} конец {выровнено}}}$

Масса самого бозона Хиггса определяется выражением${ displaystyle M_ {H} = { sqrt {2 mu ^ {2}}} Equiv { sqrt {2 lambda v ^ {2}}}.}$

В Юкава взаимодействие условия

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {YU} = { overline {U}} _ {L} G_ {u} U_ {R} phi ^ {0} - { overline {D}} _ { L} G_ {u} U_ {R} phi ^ {-} + { overline {U}} _ {L} G_ {d} D_ {R} phi ^ {+} + { overline {D}} _ {L} G_ {d} D_ {R} phi ^ {0} + hc}$

где г_{u, d} находятся 3 × 3 матрицы связей Юкавы, с ij термин, дающий сцепление поколений я и j.

Массы нейтрино

Как упоминалось ранее, данные показывают, что нейтрино должны иметь массу. Но в рамках стандартной модели правое нейтрино не существует, поэтому даже при взаимодействии Юкавы нейтрино остаются безмассовыми. Очевидное решение^[3] просто добавить правое нейтрино ν_р в результате Масса Дирака срок как обычно. Однако это поле должно быть стерильное нейтрино, поскольку будучи правым, экспериментально принадлежит изоспиновому синглету (Т₃ = 0), а также имеет заряд Q = 0, подразумевая Y_W = 0 (увидеть над ) т.е. он даже не участвует в слабом взаимодействии. Экспериментальные доказательства стерильности нейтрино в настоящее время неубедительны.^[4]

Еще одна возможность для рассмотрения состоит в том, что нейтрино удовлетворяет Уравнение майорана, что на первый взгляд кажется возможным из-за нулевого электрического заряда. В этом случае массовый член равен

${ displaystyle - {m over 2} left ({ overline { nu}} ^ {C} nu + { overline { nu}} nu ^ {C} right)}$

где C обозначает заряженно-сопряженную (т.е. анти-) частицу, и термины последовательно обозначают всю левую (или всю правую) киральность (обратите внимание, что проекция левой киральности античастицы является правым полем; здесь следует проявлять осторожность из-за различных иногда используются обозначения). Здесь мы, по сути, переключаемся между левыми нейтрино и правыми антинейтрино (кроме того, это возможно, но не необходимо, чтобы нейтрино были собственными античастицами, поэтому эти частицы совпадают). Однако для нейтрино с левой киральностью этот член изменяет слабый гиперзаряд на 2 единицы - это невозможно со стандартным взаимодействием Хиггса, требующим расширения поля Хиггса, чтобы включить дополнительный триплет со слабым гиперзарядом = 2^[3] - тогда как для нейтрино с правой киральностью расширения Хиггса не нужны. Как для левой, так и для правой киральности члены Майораны нарушают лептонное число, но, возможно, на уровне, превышающем текущую чувствительность экспериментов по обнаружению таких нарушений.

Можно включить и то и другое Массовые члены Дирака и Майораны в той же теории, которая (в отличие от подхода Дирака, основанного только на массе) может дать «естественное» объяснение малости наблюдаемых масс нейтрино, связав правые нейтрино с еще неизвестными физика по шкале GUT^[5] (увидеть механизм качелей ).

Поскольку в любом случае для объяснения экспериментальных результатов необходимо постулировать новые поля, нейтрино - очевидный путь к поиску физики. за пределами стандартной модели.

Подробная информация

В этом разделе представлены более подробные сведения о некоторых аспектах и ​​некоторые справочные материалы. Также предусмотрены явные лагранжевые термины. Вот.

Подробно о содержании поля

Стандартная модель имеет следующие поля. Они описывают один поколение лептонов и кварков, а существует три поколения, поэтому существует три копии каждого фермионного поля. По CPT-симметрии существует набор фермионов и антифермионов с противоположной четностью и зарядами. Если левый фермион охватывает некоторое представление, его античастица (правый антифермион) охватывает двойное представительство^[6] (Обратите внимание, что ${ displaystyle { bar { mathbf {2}}} = { mathbf {2}}}$ для SU (2), потому что он псевдореальный). Колонка "представление"указывает, под каким представления из группы калибров что каждое поле преобразует в порядке (SU (3), SU (2), U (1)), а для группы U (1) значение слабый гиперзаряд указан. В каждом поколении компонент левого лептонного поля вдвое больше, чем компонент правого лептонного поля, но равное количество компонент левого кварка и правого кваркового поля.

Содержание поля стандартной модели
Спин 1 - калибровочные поля
Символ	Связанный сбор	Группа	Связь	Представление[7]
${ displaystyle B}$	Слабый гиперзаряд	U (1)Y	${ displaystyle g '}$	${ Displaystyle ( mathbf {1}, mathbf {1}, 0)}$
${ displaystyle W}$	Слабый изоспин	SU (2)L	${ displaystyle g_ {w}}$	${ Displaystyle ( mathbf {1}, mathbf {3}, 0)}$
${ displaystyle G}$	цвет	SU (3)C	${ displaystyle g_ {s}}$	${ Displaystyle ( mathbf {8}, mathbf {1}, 0)}$
Вращать1⁄2 - фермионы
Символ	имя	Барионное число	Число лептона	Представление
${ displaystyle q_ {L}}$	Левша кварк	${ displaystyle textstyle { frac {1} {3}}}$	${ displaystyle 0}$	${ Displaystyle ( mathbf {3}, mathbf {2}, textstyle { frac {1} {3}})}$
${ displaystyle u_ {L}}$	Правый кварк (вверх)	${ displaystyle textstyle { frac {1} {3}}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle ({ mathbf {3}}, mathbf {1}, textstyle { frac {4} {3}})}$
${ displaystyle d_ {L}}$	Правый кварк (вниз)	${ displaystyle textstyle { frac {1} {3}}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle ({ mathbf {3}}, mathbf {1}, - textstyle { frac {2} {3}})}$
${ displaystyle ell _ {L}}$	Левша лептон	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	${ Displaystyle ( mathbf {1}, mathbf {2}, -1)}$
${ displaystyle ell _ {L}}$	Правосторонний лептон	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	${ Displaystyle ( mathbf {1}, mathbf {1}, -2)}$
Спин 0 - скалярный бозон
Символ	имя	Представление
${ displaystyle H}$	бозон Хиггса	${ Displaystyle ( mathbf {1}, mathbf {2}, 1)}$

Содержание фермиона

Эта таблица частично основана на данных, собранных Группа данных по частицам.^[8]

Левосторонние фермионы в Стандартной модели
Поколение 1
Фермион (левша)	Символ	Электрический плата	Слабый изоспин	Слабый сверхзаряд	цвет плата  [lhf 1]	Масса[lhf 2]
Электрон	е−	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle -1/2}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	511 кэВ
Позитрон	е+	${ displaystyle +1}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +2}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	511 кэВ
Электронное нейтрино	ν е	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +1/2}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	<0,28 эВ[lhf 3][lhf 4]
Электронный антинейтрино	ν е	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	<0,28 эВ[lhf 3][lhf 4]
Вверх кварк	ты	${ displaystyle +2/3}$	${ displaystyle +1/2}$	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle mathbf {3}}$	~ 3 МэВ[lhf 5]
Вверх антикварк	ты	${ displaystyle -2/3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -4/3}$	${ displaystyle mathbf { bar {3}}}$	~ 3 МэВ[lhf 5]
Вниз кварк	d	${ displaystyle -1/3}$	${ displaystyle -1/2}$	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle mathbf {3}}$	~ 6 МэВ[lhf 5]
Вниз антикварк	d	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +2/3}$	${ displaystyle mathbf { bar {3}}}$	~ 6 МэВ[lhf 5]
Поколение 2
Фермион (левша)	Символ	Электрический плата	Слабый изоспин	Слабый сверхзаряд	цвет плата[lhf 1]	Масса[lhf 2]
Мюон	μ−	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle -1/2}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	106 МэВ
Антимюон	μ+	${ displaystyle +1}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +2}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	106 МэВ
Мюонное нейтрино	ν μ	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +1/2}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	<0,28 эВ[lhf 3][lhf 4]
Мюонный антинейтрино	ν μ	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	<0,28 эВ[lhf 3][lhf 4]
Очаровательный кварк	c	${ displaystyle +2/3}$	${ displaystyle +1/2}$	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle mathbf {3}}$	~ 1,3 ГэВ
Очарование антикварка	c	${ displaystyle -2/3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -4/3}$	${ displaystyle mathbf { bar {3}}}$	~ 1,3 ГэВ
Странный кварк	s	${ displaystyle -1/3}$	${ displaystyle -1/2}$	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle mathbf {3}}$	~ 100 МэВ
Странный антикварк	s	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +2/3}$	${ displaystyle mathbf { bar {3}}}$	~ 100 МэВ
Поколение 3
Фермион (левша)	Символ	Электрический плата	Слабый изоспин	Слабый сверхзаряд	цвет плата[lhf 1]	Масса[lhf 2]
Тау	τ−	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle -1/2}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	1,78 ГэВ
Антитау	τ+	${ displaystyle +1}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +2}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	1,78 ГэВ
Тау нейтрино	ν τ	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +1/2}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	<0,28 эВ[lhf 3][lhf 4]
Тау-антинейтрино	ν τ	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle mathbf {1}}$	<0,28 эВ[lhf 3][lhf 4]
Топ-кварк	т	${ displaystyle +2/3}$	${ displaystyle +1/2}$	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle mathbf {3}}$	171 ГэВ
Топ антикварк	т	${ displaystyle -2/3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -4/3}$	${ displaystyle mathbf { bar {3}}}$	171 ГэВ
Нижний кварк	б	${ displaystyle -1/3}$	${ displaystyle -1/2}$	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle mathbf {3}}$	~ 4,2 ГэВ
Нижний антикварк	б	${ displaystyle +1/3}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle +2/3}$	${ displaystyle mathbf { bar {3}}}$	~ 4,2 ГэВ

Бесплатные параметры

Записав наиболее общий лагранжиан с безмассовыми нейтрино, можно обнаружить, что динамика зависит от 19 параметров, численные значения которых устанавливаются экспериментально. Для прямого расширения Стандартной модели с массивными нейтрино требуется еще 7 параметров, 3 массы и 4 параметра матрицы PMNS, всего 26 параметров.^[9] Значения параметров нейтрино остаются неопределенными. Здесь собраны 19 определенных параметров.

Выбор свободных параметров несколько произвольный. В приведенной выше таблице измерительные муфты указаны как свободные параметры, поэтому при таком выборе угол Вайнберга не является свободным параметром - он определяется как ${ displaystyle tan theta _ {W} = { frac {g_ {1}} {g_ {2}}}}$. Точно так же постоянная тонкой структуры QED ${ displaystyle alpha = { frac {1} {4 pi}} { frac {(g_ {1} g_ {2}) ^ {2}} {g_ {1} ^ {2} + g_ {2 } ^ {2}}}}$.

В качестве свободных параметров вместо масс фермионов можно выбрать безразмерные юкавские связи. Например, масса электрона зависит от юкавской связи электрона с полем Хиггса, и ее значение равно ${ displaystyle m_ {e} = { frac {y_ {e}} { sqrt {2}}} v}$.

Вместо массы Хиггса сила самосвязи Хиггса ${ displaystyle lambda = { frac {m_ {H} ^ {2}} {2v ^ {2}}}}$, который составляет примерно 0,129, можно выбрать в качестве свободного параметра.

Вместо значения ожидания вакуума Хиггса ${ displaystyle mu ^ {2}}$ параметр непосредственно из члена самовзаимодействия Хиггса ${ displaystyle mu ^ {2} phi ^ { dagger} phi - lambda ( phi ^ { dagger} phi) ^ {2}}$ можно выбрать. Его ценность ${ displaystyle mu ^ {2} = lambda v ^ {2} = { frac {m_ {H} ^ {2}} {2}}}$, или примерно ${ displaystyle mu = 88,45}$ ГэВ.

Дополнительные симметрии Стандартной модели

С теоретической точки зрения Стандартная модель демонстрирует четыре дополнительных глобальных симметрии, которые не постулировались в начале ее построения и в совокупности обозначаются случайные симметрии, которые непрерывны U (1) глобальные симметрии. Преобразования, оставляющие лагранжев инвариант, следующие:

${ displaystyle psi _ { text {q}} (x) to e ^ {i alpha / 3} psi _ { text {q}}}$

${ displaystyle E_ {L} to e ^ {i beta} E_ {L} { text {and}} (e_ {R}) ^ {c} to e ^ {i beta} (e_ {R }) ^ {c}}$

${ displaystyle M_ {L} to e ^ {i beta} M_ {L} { text {and}} ( mu _ {R}) ^ {c} to e ^ {i beta} ( mu _ {R}) ^ {c}}$

${ displaystyle T_ {L} to e ^ {i beta} T_ {L} { text {and}} ( tau _ {R}) ^ {c} to e ^ {i beta} ( тау _ {R}) ^ {c}}$

Первое правило преобразования - это сокращенное обозначение, означающее, что все кварковые поля для всех поколений должны вращаться на одинаковую фазу одновременно. Поля M_L, Т_L и ${ Displaystyle ( му _ {R}) ^ {c}, ( tau _ {R}) ^ {c}}$ являются аналогами 2-го (мюонного) и 3-го (тау) поколений E_L и ${ displaystyle (е_ {R}) ^ {c}}$ поля.

От Теорема Нётер, каждая симметрия выше имеет связанный закон сохранения: сохранение барионное число,^[10] номер электрона, число мюонов, и число тау. Каждому кварку присваивается барионное число ${ displaystyle {} _ { frac {1} {3}}}$, а каждому антикварку приписано барионное число ${ displaystyle {} _ {- { frac {1} {3}}}}$. Сохранение барионного числа означает, что количество кварков минус количество антикварков является постоянной величиной. В экспериментальных пределах нарушения этого закона сохранения не обнаружено.

Точно так же каждому электрону и связанному с ним нейтрино присваивается номер электрона +1, в то время как антиэлектрон и соответствующее антинейтрино несут число электрона -1. Точно так же мюонам и их нейтрино присваивается мюонное число +1, а тау-лептонам - тау-лептонное число +1. Стандартная модель предсказывает, что каждое из этих трех чисел должно сохраняться отдельно, аналогично тому, как сохраняется барионное число. Эти числа известны как числа лептонных семей (LF). (Этот результат зависит от предположения, сделанного в Стандартной модели, что нейтрино безмассовые. Экспериментально осцилляции нейтрино демонстрируют, что отдельные электронное, мюонное и тау-числа не сохраняются.)^[11]

В дополнение к случайным (но точным) симметриям, описанным выше, Стандартная модель демонстрирует несколько приблизительные симметрии. Это "СУ (2) охранная симметрия "и" симметрия аромата кварков SU (2) или SU (3) ".

Симметрия U (1)

Для лептоны, калибровочную группу можно записать SU (2)_л × U (1)_L × U (1)_р. Два фактора U (1) можно объединить в U (1)_Y × U (1)_л где l - лептонное число. Измерение лептонного числа исключено экспериментально, остается только возможная калибровочная группа SU (2)_L × U (1)_Y. Аналогичное рассуждение в кварковом секторе дает такой же результат для электрослабой теории.

Связь заряженного и нейтрального токов и теория Ферми

Заряженные токи ${ displaystyle j ^ { mp} = j ^ {1} pm ij ^ {2}}$ находятся

${ displaystyle j _ { mu} ^ {-} = { overline {U}} _ {iL} gamma _ { mu} D_ {iL} + { overline { nu}} _ {iL} gamma _ { mu} l_ {iL}.}$

Именно эти заряженные токи вошли в Теория Ферми бета-распада. Действие содержит кусок тока заряда

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {CC} = { frac {g} { sqrt {2}}} (j _ { mu} ^ {+} W ^ {- mu} + j _ { mu} ^ {-} W ^ {+ mu}).}$

Для энергии, намного меньшей массы W-бозона, эффективной теорией становится ток-токовое контактное взаимодействие Теория Ферми, ${ displaystyle 2 { sqrt {2}} G_ {F} ~~ J _ { mu} ^ {+} J ^ { mu ~~ -}}$.

Однако калибровочная инвариантность теперь требует, чтобы компонент ${ displaystyle W ^ {3}}$ калибровочного поля также связаны с током, лежащим в триплете SU (2). Однако он смешивается с U (1), и в этом секторе требуется другой ток. Эти токи должны быть разряжены для сохранения заряда. Так нейтральные токи также требуются,

${ displaystyle j _ { mu} ^ {3} = { frac {1} {2}} ({ overline {U}} _ {iL} gamma _ { mu} U_ {iL} - { overline {D}} _ {iL} gamma _ { mu} D_ {iL} + { overline { nu}} _ {iL} gamma _ { mu} nu _ {iL} - { overline { l}} _ {iL} gamma _ { mu} l_ {iL})}$

${ displaystyle j _ { mu} ^ {em} = { frac {2} {3}} { overline {U}} _ {i} gamma _ { mu} U_ {i} - { frac { 1} {3}} { overline {D}} _ {i} gamma _ { mu} D_ {i} - { overline {l}} _ {i} gamma _ { mu} l_ {i }.}$

Нейтральный токовый кусок в лагранжиане тогда равен

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {NC} = ej _ { mu} ^ {em} A ^ { mu} + { frac {g} { cos theta _ {W}}} (J_ { mu} ^ {3} - sin ^ {2} theta _ {W} J _ { mu} ^ {em}) Z ^ { mu}.}$

Смотрите также

• Обзор Стандартная модель из физика элементарных частиц
• Фундаментальное взаимодействие
• Некоммутативная стандартная модель
• Открытые вопросы: Нарушение CP, Массы нейтрино, Кварковая материя
• Физика за пределами стандартной модели
• Сильные взаимодействия: Вкус, Квантовая хромодинамика, Кварковая модель
• Слабые взаимодействия: Электрослабое взаимодействие, Взаимодействие Ферми
• Угол Вайнберга
• Симметрия в квантовой механике

Ссылки и внешние ссылки

• Введение в квантовую теорию поляМ.Е. Пескина, Д.В. Шредер (HarperCollins, 1995) ISBN  0-201-50397-2.
• Калибровочная теория физики элементарных частиц, автор T.P. Ченг и Л.Ф. Ли (Oxford University Press, 1982) ISBN  0-19-851961-3.
• Лагранжиан стандартной модели с явными членами Хиггса (Т.Д. Гутьеррес, ок. 1999 г.) (версия PDF, PostScript и LaTeX)
• Квантовая теория полей (том 2), С. Вайнберг (Cambridge University Press, 1996) ISBN  0-521-55002-5.
• Квантовая теория поля в двух словах (Второе издание), А. Зи (Princeton University Press, 2010) ISBN  978-1-4008-3532-4.
• Введение в физику элементарных частиц и стандартную модель, Р. Манн (CRC Press, 2010) ISBN  978-1420082982
• Физика от симметрии Дж. Швихтенберг (Springer, 2015) ISBN  3319192000. Особенно стр.86