Сложное пространство-время - Википедия - Complex spacetime

В математика и математическая физика, сложное пространство-время расширяет традиционное понятие пространство-время описанный ценный пространство и время координаты к комплексный пространственные и временные координаты. Это понятие является полностью математическим и не подразумевает физики, но его следует рассматривать как инструмент, например, как показано на примере Вращение фитиля.

Реальные и сложные пространства

Математика

В комплексирование из реальное векторное пространство приводит к комплексное векторное пространство (над комплексное число поле ). «Усложнить» пространство - значит расширить обычные скалярное умножение векторов на действительные числа к скалярному умножению на сложные числа. Для сложных внутренние пространства продукта, то сложный внутренний продукт на векторах заменяет обычное действительное значение внутренний продукт, примером последнего является скалярное произведение.

В математической физике, когда мы усложняем реальное координатное пространство рп мы создаем комплекс координатное пространство Cп, упомянутые в дифференциальная геометрия как "комплексное многообразие ". Космос Cп может быть связано с р2п, поскольку каждое комплексное число представляет собой два действительных числа.

А сложное пространство-время геометрия относится к метрический тензор сложность, а не само пространство-время.

Физика

В Пространство Минковского из специальная теория относительности (SR) и общая теория относительности (GR) является 4-мерным "псевдоевклидово пространство "векторное пространство. пространство-время лежащий в основе Полевые уравнения Альберта Эйнштейна, которые математически описывают гравитация, это настоящая 4-мерная "Псевдориманово многообразие ".

В QM, волновые функции описание частицы являются комплексными функциями реальных пространственно-временных переменных. Набор всех волновых функций для данной системы представляет собой бесконечномерный комплекс Гильбертово пространство.

История

Представление о пространстве-времени, имеющем более четырех измерений, представляет интерес само по себе с математической точки зрения. Его появление в физике может быть связано с попытками объединить фундаментальные взаимодействия изначально сила тяжести и электромагнетизм. Эти идеи преобладают в теория струн и дальше. Идея сложный пространству-времени уделялось значительно меньше внимания, но оно рассматривалось вместе с уравнением Лоренца – Дирака и уравнениями Максвелла.[1][2] Другие идеи включают отображение реального пространства-времени в сложное пространство представления СУ (2, 2), видеть твисторная теория.[3]

В 1919 г. Теодор Калуца опубликовал свое 5-мерное расширение общая теория относительности, к Альберт Эйнштейн,[4] кто был впечатлен тем, как уравнения электромагнетизм возникла из теории Калуцы. В 1926 г. Оскар Кляйн предложенный[5] что дополнительное измерение Калуцы могло быть "свернувшись калачиком "в очень маленький круг, как если бы круговой топология скрыто в каждой точке пространства. Вместо того, чтобы быть другим пространственным измерением, дополнительное измерение можно рассматривать как угол, который создает гипер-измерение когда он повернулся на 360 °. Эта теория 5d называется Теория Калуцы – Клейна.

В 1932 г. Синь П. Со из Массачусетский технологический институт, посоветовал Артур Эддингтон, опубликовал теорию, пытающуюся объединить гравитацию и электромагнетизм в сложной четырехмерной Риманова геометрия. В линейный элемент ds2 является комплексным, так что действительная часть соответствует массе и гравитации, а мнимая часть - заряду и электромагнетизму. Обычное пространство Икс, у, z и время т сами координаты реальны, а пространство-время не сложно, но касательные пространства могут быть.[6]

Через несколько десятилетий после публикации его общая теория относительности в 1915 году Альберт Эйнштейн попытался объединить сила тяжести с электромагнетизм, чтобы создать единая теория поля объясняя оба взаимодействия. В последние годы Вторая Мировая Война Альберт Эйнштейн начал рассматривать сложные геометрии пространства-времени различных видов.[7]

В 1953 г. Вольфганг Паули обобщенный[8] то Теория Калуцы – Клейна в шестимерное пространство, и (используя уменьшение размеров ) вывели основы SU (2) калибровочная теория (применяется в QM к электрослабое взаимодействие ), как если бы «свернувшийся» круг Клейна стал поверхностью бесконечно малого гиперсфера.

В 1975 г. Ежи Плебанский опубликовал "Некоторые решения сложных уравнений Альберта Эйнштейна".[9]

Были попытки сформулировать Уравнение Дирака в сложном пространстве-времени аналитическое продолжение.[10]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Траутман, А. (1962). «Обсуждение современного состояния теории относительности - Аналитические решения лоренц-инвариантных линейных уравнений». Proc. Рой. Soc. А. 270 (1342): 326–328. Bibcode:1962RSPSA.270..326T. Дои:10.1098 / rspa.1962.0222.
  2. ^ Ньюман, Э. Т. (1973). «Уравнения Максвелла и комплексное пространство Минковского». J. Math. Phys. Американский институт физики. 14 (1): 102–103. Bibcode:1973JMP .... 14..102N. Дои:10.1063/1.1666160.
  3. ^ Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра», Журнал математической физики, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP ..... 8..345P, Дои:10.1063/1.1705200, МИСТЕР  0216828, заархивировано из оригинал на 2013-01-12, получено 2015-06-14
  4. ^ Паис, Авраам (1982). Тонок Господь ...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 329–330.
  5. ^ Оскар Кляйн (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy ... 37..895K. Дои:10.1007 / BF01397481.
  6. ^ Сох, Х. П. (1932). «Теория гравитации и электричества». J. Math. Phys. (Массачусетский технологический институт). 12 (1–4): 298–305. Дои:10.1002 / sapm1933121298.
  7. ^ Эйнштейн, А. (1945), "Обобщение релятивистской теории гравитации", Анна. математики., 46 (4): 578–584, Дои:10.2307/1969197, JSTOR  1969197
  8. ^ Н. Штрауманн (2000). «Об изобретении Паули неабелевой теории Калуцы – Клейна в 1953 году». arXiv:gr-qc / 0012054. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  9. ^ Плебанский, J. (1975). «Некоторые решения сложных уравнений Эйнштейна». Журнал математической физики. 16 (12): 2395–2402. Bibcode:1975JMP .... 16.2395P. Дои:10.1063/1.522505. S2CID  122814301.
  10. ^ Марк Дэвидсон (2012). «Исследование уравнения Лоренца – Дирака в комплексном пространстве-времени для разгадки возникающей квантовой механики». Journal of Physics: Серия конференций. 361 (1): 012005. Bibcode:2012JPhCS.361a2005D. Дои:10.1088/1742-6596/361/1/012005.

дальнейшее чтение

  • Кайзер, Джеральд (2009). «Квантовая физика, теория относительности и сложное пространство-время: к новому синтезу». arXiv:0910.0352 [математика ].