Сферическая основа - Spherical basis

«Сферический тензор» перенаправляет сюда. О концепции, связанной с операторами, см. тензорный оператор.

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) «Сферический тензор» является фундаментальным для определения предмета, но нигде не определяется в Википедии. Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Сферическая основа»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Апрель 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Апрель 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Апрель 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В чистый и Прикладная математика, особенно квантовая механика и компьютерная графика и их приложений, сферическое основание это основа используется для выражения сферические тензоры.^{[необходимо определение ]} Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций.

Пока сферические полярные координаты один ортогональная система координат для выражения векторов и тензоров с использованием полярных и азимутальных углов и радиального расстояния сферический базис строится из стандартная основа и использовать сложные числа.

В трех измерениях

Вектор А в 3D Евклидово пространство ℝ³ можно выразить знакомым Декартова система координат в стандартная основа е_Икс, е_y, е_z, и координаты А_Икс, А_y, А_z:

${ displaystyle mathbf {A} = A_ {x} mathbf {e} _ {x} + A_ {y} mathbf {e} _ {y} + A_ {z} mathbf {e} _ {z} }$

(1)

или любой другой система координат с ассоциированным основа набор векторов. Благодаря этому расширьте скаляры, чтобы разрешить умножение на комплексные числа, так что теперь мы работаем в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$ скорее, чем ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.

Основное определение

В сферических основаниях обозначено е₊, е₋, е₀, и соответствующие координаты относительно этого базиса, обозначенные А₊, А₋, А₀, вектор А является:

${ displaystyle mathbf {A} = A _ {+} mathbf {e} _ {+} + A _ {-} mathbf {e} _ {-} + A_ {0} mathbf {e} _ {0} }$

(2)

где сферические базисные векторы могут быть определены в декартовом базисе с использованием сложный -значные коэффициенты в ху самолет:^[1]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {e} _ {+} & = - { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {x} - { frac {i } { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {y} mathbf {e} _ {-} & = + { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e } _ {x} - { frac {i} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {y} end {align}} quad rightleftharpoons quad mathbf {e} _ { pm} = mp { frac {1} { sqrt {2}}} left ( mathbf {e} _ {x} pm i mathbf {e} _ {y} right) ,}$

(3А)

в котором я обозначает мнимая единица, и одна нормаль к плоскости в z направление:

${ displaystyle mathbf {e} _ {0} = mathbf {e} _ {z}}$

Обратные отношения следующие:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {e} _ {x} & = - { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {+} + { frac {1 } { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {y} & = + { frac {i} { sqrt {2}}} mathbf {e } _ {+} + { frac {i} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {z} & = mathbf {e} _ {0 } конец {выровнено}}}$

(3B)

Определение коммутатора

Хотя определение основы в трехмерном пространстве является допустимым определением сферического тензора, оно охватывает только тот случай, когда ранг ${ displaystyle k}$ равно 1. Для более высоких рангов можно использовать либо коммутатор, либо определение вращения сферического тензора. Определение коммутатора дается ниже, любой оператор ${ displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$ удовлетворяющий следующим соотношениям, представляет собой сферический тензор:

${ displaystyle [J _ { pm}, T_ {q} ^ {(k)}] = hbar { sqrt {(k mp q) (k pm q + 1)}} T_ {q pm 1 } ^ {(k)}}$

${ displaystyle [J_ {z}, T_ {q} ^ {(k)}] = hbar qT_ {q} ^ {(k)}}$

Определение вращения

Аналогично тому, как сферические гармоники преобразуются при повороте, общий сферический тензор преобразуется следующим образом, когда состояния преобразуются при унитарный D-матрица Вигнера ${ Displaystyle { mathcal {D}} (R)}$, куда р является элементом группы (вращение 3 × 3) в ТАК (3). То есть эти матрицы представляют элементы группы вращения. С помощью своего Алгебра Ли, можно показать, что эти два определения эквивалентны.

${ Displaystyle { mathcal {D}} (R) T_ {q} ^ {(k)} { mathcal {D}} ^ { dagger} (R) = sum _ {q ^ { prime} = -k} ^ {k} T_ {q ^ { prime}} ^ {(k)} { mathcal {D}} _ {q ^ { prime} q} ^ {(k)}}$

Координатные векторы

Для сферической основы координаты являются комплексными числами А₊, А₀, А₋, и его можно найти заменой (3B) в (1), либо рассчитывается непосредственно из внутренний продукт ⟨, ⟩ (5):

${ displaystyle { begin {align} A _ {+} & = left langle mathbf {A}, mathbf {e} _ {+} right rangle = - { frac {A_ {x}} { sqrt {2}}} + { frac {iA_ {y}} { sqrt {2}}} A _ {-} & = left langle mathbf {A}, mathbf {e} _ { -} right rangle = + { frac {A_ {x}} { sqrt {2}}} + { frac {iA_ {y}} { sqrt {2}}} end {выровнено} } quad rightleftharpoons quad A _ { pm} = left langle mathbf {e} _ { pm}, mathbf {A} right rangle = { frac {1} { sqrt {2} }} left ( mp A_ {x} + iA_ {y} right)}$

(4А)

${ displaystyle A_ {0} = left langle mathbf {e} _ {0}, mathbf {A} right rangle = left langle mathbf {e} _ {z}, mathbf {A } right rangle = A_ {z}}$

с обратными отношениями:

${ displaystyle { begin {align} A_ {x} & = - { frac {1} { sqrt {2}}} A _ {+} + { frac {1} { sqrt {2}}} A_ {-} A_ {y} & = - { frac {i} { sqrt {2}}} A _ {+} - { frac {i} { sqrt {2}}} A _ {-} A_ {z} & = A_ {0} end {align}}}$

(4B)

В общем, для двух векторов с комплексными коэффициентами в одном и том же действительном ортонормированном базисе е_я, с собственностью е_я·е_j = δ_ij, то внутренний продукт является:

${ displaystyle left langle mathbf {a}, mathbf {b} right rangle = mathbf {a} cdot mathbf {b} ^ { star} = sum _ {j} a_ {j } b_ {j} ^ { star}}$

(5)

где · - обычный скалярное произведение и комплексно сопряженный * необходимо использовать для сохранения величина (или "норма") вектора положительно определенный.

Свойства (три измерения)

Ортонормальность

Сферическая основа - это ортонормированный базис, поскольку внутренний продукт ⟨, ⟩ (5) каждой пары обращается в нуль, что означает, что все базисные векторы взаимно ортогональный:

${ displaystyle left langle mathbf {e} _ {+}, mathbf {e} _ {-} right rangle = left langle mathbf {e} _ {-}, mathbf {e} _ {0} right rangle = left langle mathbf {e} _ {0}, mathbf {e} _ {+} right rangle = 0}$

и каждый базисный вектор представляет собой единичный вектор:

${ displaystyle left langle mathbf {e} _ {+}, mathbf {e} _ {+} right rangle = left langle mathbf {e} _ {-}, mathbf {e} _ {-} right rangle = left langle mathbf {e} _ {0}, mathbf {e} _ {0} right rangle = 1}$

следовательно, необходимость в нормирующих множителях 1 /√2.

Изменение базовой матрицы

Определяющие отношения (3А) можно резюмировать как матрица преобразования U:

${ displaystyle { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {+} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {0} end {pmatrix}} = mathbf { U} { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {x} mathbf {e} _ {y} mathbf {e} _ {z} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {U} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & - { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 + { frac {1} { sqrt {2}}} & - { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$

с инверсией:

${ displaystyle { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {x} mathbf {e} _ {y} mathbf {e} _ {z} end {pmatrix}} = mathbf { U} ^ {- 1} { begin {pmatrix} mathbf {e} _ {+} mathbf {e} _ {-} mathbf {e} _ {0} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {U} ^ {- 1} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {1} { sqrt {2 }}} & 0 + { frac {i} { sqrt {2}}} & + { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,. }$

Видно, что U это унитарная матрица, другими словами, это Эрмитово сопряжение U^† (комплексно сопряженный и матрица транспонировать ) также является обратная матрица U⁻¹.

Для координат:

${ displaystyle { begin {pmatrix} A _ {+} A _ {-} A_ {0} end {pmatrix}} = mathbf {U} ^ { mathrm {*}} { begin {pmatrix } A_ {x} A_ {y} A_ {z} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {U} ^ { mathrm {*}} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 + { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}$

и обратный:

${ displaystyle { begin {pmatrix} A_ {x} A_ {y} A_ {z} end {pmatrix}} = ( mathbf {U} ^ { mathrm {*}}) ^ {- 1} { begin {pmatrix} A _ {+} A _ {-} A_ {0} end {pmatrix}} ,, quad ( mathbf {U} ^ { mathrm {*}}) ^ {- 1} = { begin {pmatrix} - { frac {1} { sqrt {2}}} & + { frac {1} { sqrt {2}}} & 0 - { frac {i} { sqrt {2}}} & - { frac {i} { sqrt {2}}} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} ,.}$

Перекрестные продукты

Принимая перекрестные продукты сферических базисных векторов находим очевидное соотношение:

${ displaystyle mathbf {e} _ {q} times mathbf {e} _ {q} = { boldsymbol {0}}}$

куда q является заполнителем для +, -, 0 и двух менее очевидных отношений:

${ displaystyle mathbf {e} _ { pm} times mathbf {e} _ { mp} = pm я mathbf {e} _ {0}}$

${ displaystyle mathbf {e} _ { pm} times mathbf {e} _ {0} = pm я mathbf {e} _ { pm}}$

Внутреннее изделие в сферической основе

Внутренний продукт между двумя векторами А и B в сферической основе следует из приведенного выше определения внутреннего продукта:

${ displaystyle left langle mathbf {A}, mathbf {B} right rangle = A _ {+} B _ {+} ^ { star} + A _ {-} B _ {-} ^ { star} + A_ {0} B_ {0} ^ { star}}$

Смотрите также

• Теорема Вигнера – Эккарта
• Матрица Вигнера D
• Группа вращения 3D

Рекомендации

Общий

• С.С.М. Вонг (2008). Введение в ядерную физику (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-35-276-179-13.

внешняя ссылка