Функция Ламе - Википедия - Lamé function

В математике Функция Ламе, или же эллипсоидальная гармоническая функция, является решением Уравнение Ламе, второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение. Он был представлен в статье (Габриэль Ламе 1837 ). Уравнение Ламе появляется в методе разделение переменных применяется к Уравнение лапласа в эллиптические координаты. В некоторых частных случаях решения могут быть выражены в терминах многочленов, называемых Многочлены Ламе.

Уравнение Ламе

Уравнение Ламе:

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (A + B wp (x)) y = 0,}

куда А и B - константы, а ${ displaystyle wp}$ это Эллиптическая функция Вейерштрасса. Самый важный случай - это когда ${ displaystyle B wp (x) = - kappa ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} x}$ , куда ${ displaystyle operatorname {sn}}$ эллиптическая синусоидальная функция, и ${ Displaystyle каппа ^ {2} = п (п + 1) к ^ {2}}$ для целого числа п и ${ displaystyle k}$ эллиптический модуль, и в этом случае решения расширяются до мероморфных функций, определенных на всей комплексной плоскости. Для других значений B решения имеют точки разветвления.

Заменив независимую переменную на ${ displaystyle t}$ с ${ displaystyle t = operatorname {sn} x}$ , Уравнение Ламе также можно переписать в алгебраической форме как

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + { frac {1} {2}} left ({ frac {1} {t-e_ {1}} } + { frac {1} {t-e_ {2}}} + { frac {1} {t-e_ {3}}} right) { frac {dy} {dt}} - { frac {A + Bt} {4 (t-e_ {1}) (t-e_ {2}) (t-e_ {3})}} y = 0,}

который после замены переменной становится частным случаем Уравнение Гойна.

Более общая форма уравнения Ламе - это эллипсоидальное уравнение или же эллипсоидальное волновое уравнение который можно записать (заметьте, теперь мы пишем ${ displaystyle Lambda}$ , нет ${ displaystyle A}$ как указано выше)

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + ( Lambda - kappa ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} x- Omega ^ {2} k ^ {4} operatorname {sn} ^ {4} x) y = 0,}

куда ${ displaystyle k}$ - эллиптический модуль эллиптических функций Якоби и ${ displaystyle kappa}$ и ${ displaystyle Omega}$ являются константами. За ${ displaystyle Omega = 0}$ уравнение становится уравнением Ламе с ${ displaystyle Lambda = A}$ . За ${ displaystyle Omega = 0, k = 0, kappa = 2h, Lambda -2h ^ {2} = lambda, x = z pm { frac { pi} {2}}}$ уравнение сводится к Уравнение Матье

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + ( lambda -2h ^ {2} cos 2z) y = 0.}

Форма Вейерштрасса уравнения Ламе совершенно не подходит для вычислений (как также отмечает Арскотт, стр. 191). Наиболее подходящей формой уравнения является якобианская форма, как указано выше. Алгебраические и тригонометрические формы также неудобны в использовании. Уравнения Ламе возникают в квантовой механике как уравнения малых флуктуаций относительно классических решений, называемые периодические инстантоны, отскоки или пузыри - уравнений Шредингера для различных периодических и ангармонических потенциалов.^[1]^[2]

Асимптотические разложения

Асимптотические разложения периодических эллипсоидальных волновых функций, а вместе с тем и функций Ламе при больших значениях ${ displaystyle kappa}$ были получены Мюллером.^[3]^[4]^[5]Полученное им асимптотическое разложение для собственных значений ${ displaystyle Lambda}$ это с ${ displaystyle q}$ приблизительно нечетное целое число (и более точно определяется граничными условиями - см. ниже),

{ displaystyle { begin {align} Lambda (q) = {} & q kappa - { frac {1} {2 ^ {3}}} (1 + k ^ {2}) (q ^ {2} +1) - { frac {q} {2 ^ {6} kappa}} {(1 + k ^ {2}) ^ {2} (q ^ {2} +3) -4k ^ {2} (q ^ {2} +5) } [6pt] & {} - { frac {1} {2 ^ {10} kappa ^ {2}}} { Big {} (1 + k ^ {2}) ^ {3} (5q ^ {4} + 34q ^ {2} +9) -4k ^ {2} (1 + k ^ {2}) (5q ^ {4} + 34q ^ {2 } +9) [6pt] & {} - 384 Omega ^ {2} k ^ {4} (q ^ {2} +1) { Big }} - cdots, end {align}} }

(еще один (пятый) член, не приведенный здесь, был вычислен Мюллером, первые три члена также были получены Инсе^[6]). Соблюдайте, что члены поочередно четные и нечетные ${ displaystyle q}$ и ${ displaystyle kappa}$ (как и в соответствующих расчетах для Функции Матье, и сплюснутые сфероидальные волновые функции и вытянутые сфероидальные волновые функции ). Со следующими граничными условиями (в которых ${ Displaystyle К (к)}$ - четверть периода, заданная полным эллиптическим интегралом)

{ displaystyle operatorname {Ec} (2K) = operatorname {Ec} (0) = 0, ; ; operatorname {Es} (2K) = operatorname {Es} (0) = 0,}

так же хорошо как основной значение производной)

{ displaystyle ( operatorname {Ec}) _ {2K} ^ {'} = ( operatorname {Ec}) _ {0} ^ {'} = 0, ; ; ( operatorname {Es}) _ { 2K} ^ {'} = ( operatorname {Es}) _ {0} ^ {'} = 0,}

определяя соответственно эллипсоидальные волновые функции

{ displaystyle operatorname {Ec} _ {n} ^ {q_ {0}}, operatorname {Es} _ {n} ^ {q_ {0} +1}, operatorname {Ec} _ {n} ^ { q_ {0} -1}, operatorname {Es} _ {n} ^ {q_ {0}}}

периодов ${ displaystyle 4K, 2K, 2K, 4K,}$ и для ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ldots}$ можно получить

{ displaystyle q-q_ {0} = mp 2 { sqrt { frac {2} { pi}}} left ({ frac {1 + k} {1-k}} right) ^ { - kappa / k} left ({ frac {8 kappa} {1-k ^ {2}}} right) ^ {q_ {0} / 2} { frac {1} {[(q_ { 0} -1) / 2]!}} Left [1 - { frac {3 (q_ {0} ^ {2} +1) (1 + k ^ {2})} {2 ^ {5} kappa}} + cdots right].}

Здесь верхний знак относится к решениям ${ displaystyle operatorname {Ec}}$ и нижний к решениям ${ displaystyle operatorname {Es}}$ . Наконец расширяется ${ displaystyle Lambda (q)}$ о ${ displaystyle q_ {0},}$ можно получить

{ displaystyle { begin {align} Lambda _ { pm} (q) simeq {} & Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) left ({ frac { partial Lambda} { partial q}} right) _ {q_ {0}} + cdots [6pt] = {} & Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) kappa left [1 - { frac {q_ {0} (1 + k ^ {2})} {2 ^ {2} kappa}} - { frac {1} {2 ^ {6} kappa ^ { 2}}} {3 (1 + k ^ {2}) ^ {2} (q_ {0} ^ {2} +1) -4k ^ {2} (q_ {0} ^ {2} + 2q_ { 0} +5) } + cdots right] [6pt] simeq {} & Lambda (q_ {0}) mp 2 kappa { sqrt { frac {2} { pi}} } left ({ frac {1 + k} {1-k}} right) ^ {- kappa / k} left ({ frac {8 kappa} {1-k ^ {2}}} right) ^ {q_ {0} / 2} { frac {1} {[(q_ {0} -1) / 2]!}} { Big [} 1 - { frac {1} {2 ^ {5} kappa}} (1 + k ^ {2}) (3q_ {0} ^ {2} + 8q_ {0} +3) [6pt] & {} + { frac {1} {3.2 ^ {11} kappa ^ {2}}} {3 (1 + k ^ {2}) ^ {2} (9q_ {0} ^ {4} + 8q_ {0} ^ {3} -78q_ {0 } ^ {2} -88q_ {0} -87) [6pt] & {} + 128k ^ {2} (2q_ {0} ^ {3} + 9q_ {0} ^ {2} + 10q_ {0} +15) } - cdots { Big]}. End {выравнивается}}}

В пределе уравнения Матье (к которому можно свести уравнение Ламе) эти выражения сводятся к соответствующим выражениям для случая Матье (как показано Мюллером).

Примечания

^ Х. Й. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. World Scientific, 2012 г., ISBN 978-981-4397-73-5
^ Лян, Цзю-Цин; Müller-Kirsten, H.J.W .; Чракян, Д.Х. (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны по кругу». Письма по физике B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. Дои:10.1016 / 0370-2693 (92) 90486-н. ISSN 0370-2693.
^ В. Мюллер, Харальд Дж. (1966). «Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций и их характеристические числа». Mathematische Nachrichten (на немецком). Вайли. 31 (1–2): 89–101. Дои:10.1002 / мана.19660310108. ISSN 0025-584X.
^ Мюллер, Харальд Дж. У. (1966). "Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций через функции Эрмита". Mathematische Nachrichten (на немецком). Вайли. 32 (1–2): 49–62. Дои:10.1002 / мана.19660320106. ISSN 0025-584X.
^ Мюллер, Харальд Дж. У. (1966). "Об асимптотических разложениях эллипсоидальных волновых функций". Mathematische Nachrichten (на немецком). Вайли. 32 (3–4): 157–172. Дои:10.1002 / мана.19660320305. ISSN 0025-584X.
^ Инс, Э. Л. (1940). "VII - Дальнейшие исследования периодических функций Ламе". Труды Королевского общества Эдинбурга. Издательство Кембриджского университета (CUP). 60 (1): 83–99. Дои:10,1017 / с0370164600020071. ISSN 0370-1646.

Функция Ламе - Википедия - Lamé function

Содержание

Уравнение Ламе

Асимптотические разложения

Примечания

Рекомендации