Функция Матье - Википедия - Mathieu function

В математика, Функции Матье, иногда называемые угловыми функциями Матье, являются решениями дифференциальное уравнение

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (a-2q cos 2x) y = 0,}$

куда ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$ параметры. Впервые они были представлены Эмиль Леонар Матье, которые столкнулись с ними при изучении вибрирующих эллиптических пластиков.^[1][2] У них есть приложения во многих областях физических наук, таких как оптика, квантовая механика, и общая теория относительности. Обычно они возникают в задачах, связанных с периодическим движением, или при анализе уравнение в частных производных краевые задачи обладание эллиптический^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} симметрия.^[3]

Определение

Функции Матье

В некоторых случаях Функция Матье относится к решениям дифференциального уравнения Матье для произвольных значений ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$. Когда не может возникнуть путаницы, другие авторы используют этот термин для обозначения ${ displaystyle pi}$- или же ${ displaystyle 2 pi}$-периодические решения, существующие только при особых значениях ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$.^[4] Точнее, для данного (реального) ${ displaystyle q}$ такие периодические решения существуют для бесконечного числа значений ${ displaystyle a}$, называется характеристические числа, обычно индексируются как две отдельные последовательности ${ displaystyle a_ {n} (q)}$ и ${ displaystyle b_ {n} (q)}$, за ${ Displaystyle п = 1,2,3, ldots}$. Соответствующие функции обозначены ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$, соответственно. Иногда их также называют косинусоэллиптический и синусо-эллиптический, или же Функции Матье первого рода.

В результате предположения, что ${ displaystyle q}$ является действительным, как характеристические числа, так и соответствующие функции являются действительными.^[5]

${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$ можно далее классифицировать по паритет и периодичность (как по ${ displaystyle x}$), следующее:^[4]

Функция	Паритет	Период
${ displaystyle { text {ce}} _ {n}, n { text {even}}}$	четное	${ displaystyle pi}$
${ displaystyle { text {ce}} _ {n}, n { text {odd}}}$	четное	${ displaystyle 2 pi}$
${ displaystyle { text {se}} _ {n}, n { text {even}}}$	странный	${ displaystyle pi}$
${ displaystyle { text {se}} _ {n}, n { text {odd}}}$	странный	${ displaystyle 2 pi}$

Индексация с целым числом ${ displaystyle n}$, помимо того, что служит для упорядочивания характеристических чисел в порядке возрастания, удобен тем, что ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$ стать пропорциональным ${ displaystyle cos nx}$ и ${ Displaystyle грех nx}$ в качестве ${ displaystyle q rightarrow 0}$. С ${ displaystyle n}$ целое число, это приводит к классификации ${ displaystyle { text {ce}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n}}$ как функции Матье (первого рода) целого порядка. Для общего ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$кроме них могут быть определены решения, включая функции Матье дробного порядка, а также непериодические решения.

Модифицированные функции Матье

Тесно связаны модифицированные функции Матье, также известные как радиальные функции Матье, которые являются решениями Модифицированное дифференциальное уравнение Матьё

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - (a-2q cosh 2x) y = 0,}$

которое можно связать с исходным уравнением Матье, взяв ${ displaystyle x to pm xi}$. Соответственно модифицированные функции Матье первого рода интегрального порядка, обозначаемые ${ displaystyle { text {Ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {Se}} _ {n} (x, q)}$, определяются из^[6]

${ displaystyle { begin {align} { text {Ce}} _ {n} (x, q) & = { text {ce}} _ {n} (ix, q). { text { Se}} _ {n} (x, q) & = - i { text {se}} _ {n} (ix, q). End {выравнивается}}}$

Эти функции являются действительными, когда ${ displaystyle x}$ реально.

Нормализация

Обычная нормализация,^[7] который будет принят на протяжении всей статьи, требует

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { text {ce}} _ {n} (x, q) ^ {2} dx = int _ {0} ^ {2 pi} { text {se}} _ {n} (x, q) ^ {2} dx = pi}$

а также требовать ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q) rightarrow + cos nx}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q) rightarrow + sin nx}$ в качестве ${ displaystyle q rightarrow 0}$.

Теория Флоке

Многие свойства дифференциального уравнения Матье можно вывести из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой Теория Флоке. Центральный результат Теорема Флоке:

Теорема Флоке^[8] — Уравнение Матье всегда имеет хотя бы одно решение ${ Displaystyle у (х)}$ такой, что ${ Displaystyle у (х + пи) = сигма у (х)}$, куда ${ displaystyle sigma}$ - константа, которая зависит от параметров уравнения и может быть действительной или комплексной.

Характерные числа естественно связать ${ Displaystyle а (д)}$ с этими ценностями ${ displaystyle a}$ что приводит к ${ displaystyle sigma = pm 1}$.^[9] Однако обратите внимание, что теорема гарантирует только существование хотя бы одного решения, удовлетворяющего ${ Displaystyle у (х + пи) = сигма у (х)}$, когда уравнение Матье фактически имеет два независимых решения для любого заданного ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle q}$. Действительно, оказывается, что с ${ displaystyle a}$ равное одному из характеристических чисел, уравнение Матье имеет только одно периодическое решение (то есть с периодом ${ displaystyle pi}$ или же ${ displaystyle 2 pi}$), и это решение является одним из ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$, ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$. Другое решение непериодическое и обозначается ${ displaystyle { text {fe}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {ge}} _ {n} (x, q)}$, соответственно, и называемые Функция Матье второго рода.^[10] Формально этот результат можно сформулировать как Теорема инса:

Теорема инса^[11] — Определить в основном периодический функционировать как удовлетворяющий ${ Displaystyle у (х + пи) = пм у (х)}$. Тогда, кроме тривиального случая ${ displaystyle q = 0}$, Уравнение Матье никогда не имеет двух (независимых) принципиально периодических решений при одинаковых значениях ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$.

Пример ${ Displaystyle Р (а, д, х)}$ из теоремы Флоке с ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle q = 1/5}$, ${ displaystyle mu приблизительно 1 + 0,0995i}$ (действительная часть - красный; мнимая часть - зеленый)

Эквивалентное утверждение теоремы Флоке состоит в том, что уравнение Матье допускает комплексное решение вида

${ Displaystyle F (а, д, х) = ехр (я му , х) , Р (а, д, х),}$

куда ${ displaystyle mu}$ комплексное число, Показатель Флоке (или иногда Показатель Матье), и ${ displaystyle P}$ - комплекснозначная функция, периодическая по ${ displaystyle x}$ с периодом ${ displaystyle pi}$. Пример ${ Displaystyle Р (а, д, х)}$ отображается справа.

Другие типы функций Матье

Второй вид

Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Согласно теории Флоке, если ${ displaystyle a}$ равно характеристическому числу, одно из этих решений можно считать периодическим, а другое - непериодическим. Периодическое решение - одно из ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$, называемая функцией Матье первого рода целого порядка. Непериодический обозначается либо ${ displaystyle { text {fe}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {ge}} _ {n} (x, q)}$, соответственно, и называется функцией Матье второго рода (целого порядка). Непериодические решения неустойчивы, т. Е. Расходятся как ${ displaystyle z rightarrow pm infty}$.^[12]

Вторые решения, соответствующие модифицированным функциям Матье ${ displaystyle { text {Ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {Se}} _ {n} (x, q)}$ естественно определяются как ${ displaystyle { text {Fe}} _ {n} (x, q) = - я { text {fe}} _ {n} (xi, q)}$ и ${ displaystyle { text {Ge}} _ {n} (x, q) = { text {ge}} _ {n} (xi, q)}$.

Дробный порядок

Функции Матье дробного порядка можно определить как эти решения ${ displaystyle { text {ce}} _ {p} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {p} (x, q)}$, ${ displaystyle p}$ нецелое число, которое превращается в ${ displaystyle cos px}$ и ${ displaystyle sin px}$ в качестве ${ displaystyle q rightarrow 0}$.^[6] Если ${ displaystyle p}$ иррационально, они непериодичны; однако они остаются ограниченными как ${ Displaystyle х rightarrow infty}$.

Важное свойство решений ${ displaystyle { text {ce}} _ {p} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {p} (x, q)}$, за ${ displaystyle p}$ нецелое число, состоит в том, что они существуют для одного и того же значения ${ displaystyle a}$. Напротив, когда ${ displaystyle p}$ целое число, ${ displaystyle { text {ce}} _ {p} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {p} (x, q)}$ никогда не происходит для того же значения ${ displaystyle a}$. (См. Теорему Инса выше.)

Эти классификации кратко изложены в таблице ниже. Аналогичным образом определяются модифицированные аналоги функции Матье.

Классификация функций Матье^[13]

Заказ	Первый вид	Второй вид
интеграл	${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$	${ displaystyle { text {fe}} _ {n} (x, q)}$
интеграл	${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$	${ displaystyle { text {ge}} _ {n} (x, q)}$
Дробное (${ displaystyle p}$ нецелое)	${ displaystyle { text {ce}} _ {p} (x, q)}$	${ displaystyle { text {se}} _ {p} (x, q)}$

Явное представление и вычисление

Первый вид

Функции Матье первого рода можно представить в виде Ряд Фурье:^[4]

${ displaystyle { begin {align} { text {ce}} _ {2n} (x, q) & = sum _ {r = 0} ^ { infty} A_ {2r} ^ {(2n)} (q) cos (2rx) { text {ce}} _ {2n + 1} (x, q) & = sum _ {r = 0} ^ { infty} A_ {2r + 1} ^ {(2n + 1)} (q) cos left [(2r + 1) x right] { text {se}} _ {2n + 1} (x, q) & = sum _ { r = 0} ^ { infty} B_ {2r + 1} ^ {(2n + 1)} (q) sin left [(2r + 1) x right] { text {se}} _ {2n + 2} (x, q) & = sum _ {r = 0} ^ { infty} B_ {2r + 2} ^ {(2n + 2)} (q) sin left [(2r + 2) x right] конец {выровнено}}}$

Коэффициенты разложения ${ Displaystyle A_ {j} ^ {(я)} (q)}$ и ${ Displaystyle B_ {j} ^ {(я)} (q)}$ являются функциями ${ displaystyle q}$ но независимо от ${ displaystyle x}$. Подстановкой в ​​уравнение Матье можно показать, что они подчиняются трехчленным повторяющиеся отношения в нижнем индексе. Например, для каждого ${ displaystyle { text {ce}} _ {2n}}$ можно найти^[14]

${ displaystyle { begin {align} aA_ {0} -qA_ {2} & = 0 (a-4) A_ {2} -q (A_ {4} + 2A_ {0}) & = 0 (a-4r ^ {2}) A_ {2r} -q (A_ {2r + 2} + A_ {2r-2}) & = 0, quad r geq 2 end {align}}}$

Повторение второго порядка в индексе ${ displaystyle 2r}$, всегда можно найти два независимых решения ${ displaystyle X_ {2r}}$ и ${ displaystyle Y_ {2r}}$ таким образом, что общее решение может быть выражено как линейная комбинация двух: ${ displaystyle A_ {2r} = c_ {1} X_ {2r} + c_ {2} Y_ {2r}}$. Более того, в этом частном случае асимптотический анализ^[15] показывает, что один из возможных вариантов фундаментального решения обладает свойством

${ displaystyle { begin {align} X_ {2r} & = r ^ {- 2r-1} left (- { frac {e ^ {2} q} {4}} right) ^ {r} left [1 + { mathcal {O}} (r ^ {- 1}) right] Y_ {2r} & = r ^ {2r-1} left (- { frac {4} {e ^ {2} q}} right) ^ {r} left [1 + { mathcal {O}} (r ^ {- 1}) right] end {align}}}$

Особенно, ${ displaystyle X_ {2r}}$ конечно, тогда как ${ displaystyle Y_ {2r}}$ расходится. Письмо ${ displaystyle A_ {2r} = c_ {1} X_ {2r} + c_ {2} Y_ {2r}}$, мы видим, что для представления ряда Фурье ${ displaystyle { text {ce}} _ {2n}}$ сходиться, ${ displaystyle a}$ должен быть выбран так, чтобы ${ displaystyle c_ {2} = 0}$. Эти варианты ${ displaystyle a}$ соответствуют характеристическим номерам.

В общем, однако, решение трехчленной рекуррентности с переменными коэффициентами не может быть представлено простым способом, и, следовательно, нет простого способа определить ${ displaystyle a}$ из условия ${ displaystyle c_ {2} = 0}$. Более того, даже если приблизительное значение характеристического числа известно, его нельзя использовать для получения коэффициентов ${ displaystyle A_ {2r}}$ путем численного повторения повторения в сторону увеличения ${ displaystyle r}$. Причина в том, что пока ${ displaystyle a}$ только приближает характеристическое число, ${ displaystyle c_ {2}}$ не идентично ${ displaystyle 0}$ и расходящееся решение ${ displaystyle Y_ {2r}}$ в конечном итоге доминирует для достаточно больших ${ displaystyle r}$.

Чтобы преодолеть эти проблемы, требуются более сложные полуаналитические / численные подходы, например, с использованием непрерывная дробь расширение,^[16][4] бросая повторение как матрица проблема собственных значений,^[17] или реализация обратного алгоритма повторения.^[15] Сложность трехчленного рекуррентного соотношения - одна из причин, по которой существует мало простых формул и тождеств, включающих функции Матье.^[18]

На практике функции Матье и соответствующие характеристические числа могут быть рассчитаны с использованием предварительно упакованного программного обеспечения, такого как Mathematica, Клен, MATLAB, и SciPy. Для малых значений ${ displaystyle q}$ и низкий порядок ${ displaystyle n}$, их также можно выразить пертурбативно в виде степенных рядов ${ displaystyle q}$, что может быть полезно в физических приложениях.^[19]

Второй вид

Есть несколько способов представления функций Матье второго рода.^[20] Одно представление с точки зрения Функции Бесселя:^[21]

${ displaystyle { begin {align} { text {fe}} _ {2n} (x, q) & = - { frac { pi gamma _ {n}} {2}} sum _ {r = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {r + n} A_ {2r} ^ {(2n)} (- q) { text {Im}} [J_ {r} ({ sqrt { q}} e ^ {ix}) Y_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix})], quad { text {where}} gamma _ {n} = left { { begin {array} {cc} { sqrt {2}}, & { text {if}} n = 0 2n, & { text {if}} n geq 1 end {array}} right. { text {fe}} _ {2n + 1} (x, q) & = { frac { pi { sqrt {q}}} {2}} sum _ {r = 0 } ^ { infty} (- 1) ^ {r + n} A_ {2r + 1} ^ {(2n + 1)} (- q) { text {Im}} [J_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r + 1} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix}) + J_ {r + 1} ({ sqrt {q}} e ^ { ix}) Y_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix})] { text {ge}} _ {2n + 1} (x, q) & = - { frac { pi { sqrt {q}}} {2}} sum _ {r = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {r + n} B_ {2r + 1} ^ {(2n + 1) } (- q) { text {Re}} [J_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r + 1} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix}) - J_ {r + 1} ({ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix})] { text { ge}} _ {2n + 2} (x, q) & = - { frac { pi q} {4 (n + 1)}} sum _ {r = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {r + n} B_ {2r + 2} ^ {(2n + 2)} (- q) { text {Re}} [J_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {ix }) Y_ {r + 2} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix}) - J_ {r + 2} ({ sqrt {q}} e ^ {ix}) Y_ {r} ({ sqrt {q}} e ^ {- ix}) ] end {выровнен}}}$

куда ${ displaystyle n, q> 0}$, и ${ Displaystyle J_ {r} (х)}$ и ${ Displaystyle Y_ {r} (х)}$ являются функциями Бесселя первого и второго рода.

Измененные функции

Традиционный подход к числовому вычислению модифицированных функций Матье - это серия произведений функций Бесселя.^[22] Для больших ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle q}$, необходимо тщательно выбирать форму ряда, чтобы избежать ошибок при вычитании.^[23][24]

Характеристики

Существует относительно немного аналитических выражений и тождеств, включающих функции Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье, вообще говоря, не могут быть выражены через гипергеометрические функции. В этом можно убедиться, преобразовав уравнение Матье к алгебраической форме с помощью замены переменной ${ Displaystyle т = соз (х)}$:

${ displaystyle (1-t ^ {2}) { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} - t , { frac {dy} {dt}} + (a + 2q (1-2t ^ {2})) , y = 0.}$

Поскольку это уравнение имеет нерегулярную особую точку на бесконечности, его нельзя преобразовать в уравнение гипергеометрического типа.^[18]

Качественное поведение

Примерные графики функций Матье первого рода

Участок ${ displaystyle { text {ce}} _ {1} (x, q)}$ для различных ${ displaystyle q}$

Для малых ${ displaystyle q}$, ${ displaystyle { text {ce}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n}}$ вести себя аналогично ${ displaystyle cos nx}$ и ${ Displaystyle грех nx}$. Для произвольных ${ displaystyle q}$, они могут значительно отличаться от своих тригонометрических аналогов; однако в целом они остаются периодическими. Причем для любых реальных ${ displaystyle q}$, ${ displaystyle { text {ce}} _ {m} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {m + 1} (x, q)}$ иметь точно ${ displaystyle m}$ простые нули в ${ Displaystyle 0 <х < pi}$, и, как ${ displaystyle q rightarrow infty}$ кластер нулей около ${ Displaystyle х = пи / 2}$.^[25][26]

За ${ displaystyle q> 0}$ и, как ${ Displaystyle х rightarrow infty}$ модифицированные функции Матье имеют тенденцию вести себя как периодические функции с затуханием.

В дальнейшем ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ множители из разложений Фурье для ${ displaystyle { text {ce}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n}}$ можно ссылаться (см. Явное представление и вычисление ). Они зависят от ${ displaystyle q}$ и ${ displaystyle n}$ но не зависят от ${ displaystyle x}$.

Размышления и переводы

Благодаря их четности и периодичности, ${ displaystyle { text {ce}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n}}$ обладают простыми свойствами при отражениях и переводах на кратные ${ displaystyle pi}$:^[6]

${ displaystyle { begin {align} & { text {ce}} _ {n} (x + pi) = (- 1) ^ {n} { text {ce}} _ {n} (x) & { text {se}} _ {n} (x + pi) = (- 1) ^ {n} { text {se}} _ {n} (x) & { text {ce} } _ {n} (x + pi / 2) = (- 1) ^ {n} { text {ce}} _ {n} (- x + pi / 2) & { text {se}} _ {n + 1} (x + pi / 2) = (- 1) ^ {n} { text {se}} _ {n + 1} (- x + pi / 2) end {выровнено}}}$

Также можно писать функции с отрицательным ${ displaystyle q}$ с точки зрения положительных ${ displaystyle q}$:^[4][27]

${ displaystyle { begin {align} & { text {ce}} _ {2n + 1} (x, -q) = (- 1) ^ {n} { text {se}} _ {2n + 1 } (- x + pi / 2, q) & { text {ce}} _ {2n + 2} (x, -q) = (- 1) ^ {n} { text {ce}} _ {2n + 2} (- x + pi / 2, q) & { text {se}} _ {2n + 1} (x, -q) = (- 1) ^ {n} { text { ce}} _ {2n + 1} (- x + pi / 2, q) & { text {se}} _ {2n + 2} (x, -q) = (- 1) ^ {n} { text {se}} _ {2n + 2} (- x + pi / 2, q) end {align}}}$

Более того,

${ displaystyle { begin {align} & a_ {2n + 1} (q) = b_ {2n + 1} (- q) & b_ {2n + 2} (q) = b_ {2n + 2} (- q ) конец {выровнено}}}$

Ортогональность и полнота

Как и их тригонометрические аналоги ${ displaystyle cos nx}$ и ${ Displaystyle грех nx}$периодические функции Матье ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$ удовлетворять соотношениям ортогональности

${ displaystyle { begin {align} & int _ {0} ^ {2 pi} { text {ce}} _ {n} { text {ce}} _ {m} dx = int _ { 0} ^ {2 pi} { text {se}} _ {n} { text {se}} _ {m} dx = delta _ {nm} pi & int _ {0} ^ {2 pi} { text {ce}} _ {n} { text {se}} _ {m} dx = 0 end {align}}}$

Более того, с ${ displaystyle q}$ фиксированный и ${ displaystyle a}$ рассматриваемое как собственное значение, уравнение Матье имеет вид Штурм-Лиувиль форма. Отсюда следует, что собственные функции ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$ образуют полный комплект, т.е. любые ${ displaystyle pi}$- или же ${ displaystyle 2 pi}$-периодическая функция ${ displaystyle x}$ может быть расширен серией в ${ displaystyle { text {ce}} _ {n} (x, q)}$ и ${ displaystyle { text {se}} _ {n} (x, q)}$.^[3]

Интегральные тождества

Решения уравнения Матье удовлетворяют классу интегральных тождеств относительно ядра ${ Displaystyle чи (х, х ')}$ это решения

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} chi} { partial x ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2} chi} { partial x '^ {2}} } = 2q left ( cos 2x- cos 2x ' right) chi}$

Точнее, если ${ Displaystyle фи (х)}$ решает уравнение Матье с заданными ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$, то интеграл

${ Displaystyle пси (х) эквив int _ {C} чи (х, х ') фи (х') dx '}$

куда ${ displaystyle C}$ это путь в комплексная плоскость, также решает уравнение Матье с тем же ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle q}$при соблюдении следующих условий:^[28]

• ${ Displaystyle чи (х, х ')}$ решает ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} chi} { partial x ^ {2}}} - { frac { partial ^ {2} chi} { partial x '^ {2}} } = 2q left ( cos 2x- cos 2x ' right) chi}$
• В рассматриваемых регионах ${ Displaystyle psi (х)}$ существует и ${ Displaystyle чи (х, х ')}$ является аналитический
• ${ displaystyle left ( phi { frac { partial chi} { partial x '}} - { frac { partial phi} { partial x'}} chi right)}$ имеет такое же значение в конечных точках ${ displaystyle C}$

Используя соответствующую замену переменных, уравнение для ${ displaystyle chi}$ может быть преобразован в волновое уравнение и решено. Например, одно решение ${ Displaystyle чи (х, х ') = зп (2q ^ {1/2} грех х грех х')}$. Примеры тождеств, полученных таким образом:^[29]

${ displaystyle { begin {align} { text {se}} _ {2n + 1} (x, q) & = { frac {{ text {se}} '_ {2n + 1} (0, q)} { pi q ^ {1/2} B_ {1} ^ {(2n + 1)}}} int _ {0} ^ { pi} sinh (2q ^ {1/2} sin x sin x ') { text {se}} _ {2n + 1} (x', q) dx ' qquad (q> 0) { text {Ce}} _ {2n} (x, q) & = { frac {{ text {ce}} _ {2n} ( pi / 2, q)} { pi A_ {0} ^ {(2n)}}} int _ {0} ^ { pi} cos (2q ^ {1/2} cosh x cos x ') { text {ce}} _ {2n} (x', q) dx ' qquad (q> 0 ) конец {выровнено}}}$

Тождества последнего типа полезны для изучения асимптотических свойств модифицированных функций Матье.^[30]

Также существуют интегральные отношения между функциями первого и второго рода, например:^[21]

${ displaystyle { text {fe}} _ {2n} (x, q) = 2n int _ {0} ^ {x} { text {ce}} _ {2n} ( tau, -q) J_ {0} left ({ sqrt {2q ( cos 2x- cos 2 tau)}} right) d tau, qquad n geq 1}$

действует для любого комплекса ${ displaystyle x}$ и настоящий ${ displaystyle q}$.

Асимптотические разложения

Следующие асимптотические разложения справедливы для ${ displaystyle q> 0}$, ${ displaystyle { text {Im}} (х) = 0}$, ${ Displaystyle { текст {Re}} (х) rightarrow infty}$, и ${ displaystyle 2q ^ {1/2} cosh x simeq q ^ {1/2} e ^ {x}}$:^[31]

${ displaystyle { begin {align} { text {Ce}} _ {2n} (x, q) & sim left ({ frac {2} { pi q ^ {1/2}}}} справа) ^ {1/2} { frac {{ text {ce}} _ {2n} (0, q) { text {ce}} _ {2n} ( pi / 2, q)} {A_ {0} ^ {(2n)}}} cdot e ^ {- x / 2} sin left (q ^ {1/2} e ^ {x} + { frac { pi} {4}} right) { text {Ce}} _ {2n + 1} (x, q) & sim left ({ frac {2} { pi q ^ {3/2}}} right) ^ {1/2} { frac {{ text {ce}} _ {2n + 1} (0, q) { text {ce}} '_ {2n + 1} ( pi / 2, q) } {A_ {1} ^ {(2n + 1)}}} cdot e ^ {- x / 2} cos left (q ^ {1/2} e ^ {x} + { frac { pi } {4}} right) { text {Se}} _ {2n + 1} (x, q) & sim - left ({ frac {2} { pi q ^ {3/2 }}} right) ^ {1/2} { frac {{ text {se}} '_ {2n + 1} (0, q) { text {se}} _ {2n + 1} ( pi / 2, q)} {B_ {1} ^ {(2n + 1)}}} cdot e ^ {- x / 2} cos left (q ^ {1/2} e ^ {x} + { frac { pi} {4}} right) { text {Se}} _ {2n + 2} (x, q) & sim left ({ frac {2} { pi q ^ {5/2}}} right) ^ {1/2} { frac {{ text {se}} '_ {2n + 2} (0, q) { text {se}}' _ { 2n + 2} ( pi / 2, q)} {B_ {2} ^ {(2n + 2)}}} cdot e ^ {- x / 2} sin left (q ^ {1/2} e ^ {x} + { frac { pi} {4}} right) end {align}}}$

Таким образом, модифицированные функции Матье экспоненциально убывают при большом действительном аргументе. Аналогичные асимптотические разложения можно записать для ${ displaystyle { text {Fe}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { text {Ge}} _ {n}}$; они также экспоненциально затухают при большом действительном аргументе.

Для четных и нечетных периодических функций Матье ${ displaystyle ce, se}$ и соответствующие характеристические числа ${ displaystyle a}$ можно также получить асимптотические разложения для больших ${ displaystyle q}$.^[32] В частности, для характеристических чисел с ${ displaystyle N}$ приблизительно нечетное целое число, т.е. ${ Displaystyle N приблизительно N_ {0} = 2n + 1, n = 1,2,3, ...,}$

${ displaystyle a (N) = - 2q + 2q ^ {1/2} N - { frac {1} {2 ^ {3}}} (N ^ {2} +1) - { frac {1} {2 ^ {7} q ^ {1/2}}} N (N ^ {2} +3) - { frac {1} {2 ^ {12} q}} (5N ^ {4} + 34N ^ {2} +9)}$

${ displaystyle ; ; ; ; ; ; ; ; - { frac {1} {2 ^ {17} q ^ {3/2}}} N (33N ^ {4} + 410N ^ {2} +405) - { frac {1} {2 ^ {20} q ^ {2}}} (63N ^ {6} + 1260N ^ {4} + 2943N ^ {2} +41807) + { mathcal {O}} (д ^ {- 5/2})}$

Обратите внимание на симметрию при замене ${ displaystyle q ^ {1/2}}$ и ${ displaystyle N}$ к ${ displaystyle -q ^ {1/2}}$ и ${ displaystyle -N}$, что является важной особенностью расширения. Условия этого расширения были получены до срока заказа включительно. ${ displaystyle | q | ^ {- 7/2}}$.^[33] Здесь ${ displaystyle N}$ всего лишь приблизительно нечетное целое число, потому что в пределе ${ displaystyle q rightarrow infty}$ все минимальные участки периодического потенциала ${ displaystyle cos 2x}$ становятся эффективно независимыми гармоническими осцилляторами (следовательно, ${ displaystyle N_ {0}}$ нечетное целое число). Уменьшая ${ displaystyle q}$, становится возможным (на физическом языке) туннелирование через барьеры, что приводит к расщеплению характеристических чисел ${ displaystyle a rightarrow a _ { mp}}$ (в квантовой механике называются собственными значениями), соответствующие четным и нечетным периодическим функциям Матье. Это расщепление получается с граничными условиями^[34] (в квантовой механике это обеспечивает разбиение собственных значений на энергетические зоны).^[35] Граничные условия:

${ displaystyle { bigg (} { frac {dce_ {N_ {0} -1}} {dx}} { bigg)} _ { pi / 2} = 0, ; ; ce_ {N_ {0 }} ( pi / 2) = 0, ; ; { bigg (} { frac {dse_ {N_ {0}}} {dx}} { bigg)} _ { pi / 2} = 0 , ; ; se_ {N_ {0} +1} ( pi / 2) = 0.}$

Наложение этих граничных условий на асимптотические периодические функции Матье, связанные с указанным выше разложением для ${ displaystyle a}$ можно получить

${ displaystyle N-N_ {0} = mp 2 { bigg (} { frac {2} { pi}} { bigg)} ^ {1/2} { frac {(16q ^ {1 / 2}) ^ {N_ {0} / 2} e ^ {- 4q ^ {1/2}}} {[{ frac {1} {2}} (N_ {0} -1)]!}} { bigg [} 1 - { frac {3 (N_ {0} ^ {2} +1)} {2 ^ {6} q ^ {1/2}}} + { frac {1} {2 ^ { 13} q}} (9N_ {0} ^ {4} -40N_ {0} ^ {3} + 18N_ {0} ^ {2} -136N_ {0} +9) + ... { bigg]}. }$

Соответствующие характеристические числа или собственные значения затем следует разложением, т. Е.

${ Displaystyle а (N) = а (N_ {0}) + (N-N_ {0}) { bigg (} { frac { partial a} { partial N}} { bigg)} _ { N_ {0}} + ....}$

Вставка соответствующих выражений выше дает результат

${ displaystyle a (N) rightarrow a _ { mp} (N_ {0}) = - 2q + 2q ^ {1/2} N_ {0} - { frac {1} {2 ^ {3}}} (N_ {0} ^ {2} +1) - { frac {1} {2 ^ {7} q ^ {1/2}}} N_ {0} (N_ {0} ^ {2} +3) - { frac {1} {2 ^ {12} q}} (5N_ {0} ^ {4} + 34N_ {0} ^ {2} +9) -...}$

${ Displaystyle ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mp { frac {(16q ^ {1/2}) ^ {N_ { 0} / 2 + 1} e ^ {- 4q ^ {1/2}}} {(8 pi) ^ {1/2} [{ frac {1} {2}} (N_ {0} -1 )]!}} { bigg [} 1 - { frac {N_ {0}} {2 ^ {6} q ^ {1/2}}} (3N_ {0} ^ {2} + 8N_ {0} +3) + ... { bigg]}.}$

За ${ displaystyle N_ {0} = 1,3,5, ...}$ это собственные значения, связанные с четными собственными функциями Матье ${ displaystyle ce_ {N_ {0}}}$ или же ${ displaystyle ce_ {N_ {0} -1}}$ (т.е. со знаком минус сверху) и нечетными собственными функциями Матье ${ displaystyle se_ {N_ {0} +1}}$ или же${ displaystyle se_ {N_ {0}}}$ (т.е. со знаком плюса). Явные и нормированные разложения собственных функций можно найти в ^[36] или же.^[37]

Подобные асимптотические разложения могут быть получены для решений других периодических дифференциальных уравнений, как и для Функции Ламе и вытянутый и сжатый сфероидальные волновые функции.

Приложения

Дифференциальные уравнения Матьё появляются в широком диапазоне контекстов инженерии, физики и прикладной математики. Многие из этих приложений относятся к одной из двух общих категорий: 1) анализ дифференциальных уравнений в частных производных в эллиптических геометриях и 2) динамические задачи, в которых участвуют силы, периодические в пространстве или во времени. Примеры в пределах обеих категорий обсуждаются ниже.

Уравнения с частными производными

Функции Матье возникают, когда разделение переменных в эллиптических координатах применяется к 1) Уравнение лапласа в 3-х измерениях и 2) Уравнение Гельмгольца в двух или трех измерениях. Поскольку уравнение Гельмгольца является прототипом уравнения для моделирования пространственного изменения классических волн, функции Матье могут использоваться для описания множества волновых явлений. Например, в вычислительная электромагнетизм их можно использовать для анализа рассеяние из электромагнитные волны вне эллиптических цилиндров, а распространение волн в эллиптических волноводы.^[38] В общая теория относительности, точное решение плоской волны Уравнение поля Эйнштейна можно задать в терминах функций Матье.

Совсем недавно функции Матье использовались для решения частного случая Уравнение Смолуховского, описывающий стационарную статистику самоходные частицы.^[39]

В оставшейся части этого раздела подробно описан анализ двумерного уравнения Гельмгольца.^[40] В прямоугольных координатах уравнение Гельмгольца имеет вид

${ displaystyle left ({ frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} вправо) psi + k ^ {2} psi = 0,}$

Эллиптические координаты определены

${ Displaystyle { begin {выровнено} x & = c cosh mu cos nu y & = c sinh mu sin nu end {align}}}$

куда ${ Displaystyle 0 Leq му < infty}$, ${ Displaystyle 0 Leq Nu <2 pi}$, и ${ displaystyle c}$ положительная константа. Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2} ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu)}} left ({ frac { partial ^ {2}} { partial mu ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial nu ^ {2}}} right) psi + k ^ {2} psi = 0}$

Постоянная ${ displaystyle mu}$ кривые конфокальные эллипсы с фокусным расстоянием ${ displaystyle c}$; следовательно, эти координаты удобны для решения уравнения Гельмгольца на областях с эллиптическими границами. Разделение переменных через ${ Displaystyle пси ( му, ню) = F ( му) G ( ню)}$ дает уравнения Матье

${ displaystyle { begin {align} & { frac {d ^ {2} F} {d mu ^ {2}}} - left (a - { frac {c ^ {2} k ^ {2 }} {2}} cosh 2 mu right) F = 0 & { frac {d ^ {2} G} {d nu ^ {2}}} + left (a - { frac {c ^ {2} k ^ {2}} {2}} cos 2 nu right) G = 0 конец {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle a}$ - постоянная разделения.

В качестве конкретного физического примера уравнение Гельмгольца можно интерпретировать как описывающее нормальные режимы эластичной мембраны под форменную напряжение. В этом случае накладываются следующие физические условия:^[41]

• Периодичность по ${ displaystyle nu}$, т.е. ${ Displaystyle psi ( mu, nu) = psi ( mu, nu +2 pi)}$
• Непрерывность смещения по межфокальной линии: ${ Displaystyle psi (0, nu) = psi (0, - nu)}$
• Непрерывность производной по межфокальной линии: ${ Displaystyle psi _ { mu} (0, nu) = - psi _ { mu} (0, - nu)}$

Для данного ${ displaystyle k}$, это ограничивает решения до решений вида ${ displaystyle { text {Ce}} _ {n} ( mu, q) { text {ce}} _ {n} ( nu, q)}$ и ${ displaystyle { text {Se}} _ {n} ( mu, q) { text {se}} _ {n} ( nu, q)}$, куда ${ Displaystyle д = с ^ {2} к ^ {2} / 2}$. Это то же самое, что и ограничение допустимых значений ${ displaystyle a}$, для данного ${ displaystyle k}$. Ограничения на ${ displaystyle k}$ затем возникают из-за наложения физических условий на некоторую ограничивающую поверхность, такую ​​как эллиптическая граница, определяемая ${ displaystyle mu = mu _ {0}> 0}$. Например, зажим мембраны на ${ displaystyle mu = mu _ {0}}$ навязывает ${ displaystyle psi ( mu _ {0}, nu) = 0}$, что, в свою очередь, требует

${ displaystyle { begin {align} { text {Ce}} _ {n} ( mu _ {0}, q) = 0 { text {Se}} _ {n} ( mu _ { 0}, q) = 0 end {выровнено}}}$

Эти условия определяют нормальные режимы работы системы.

Динамические проблемы

В динамических задачах с периодически меняющимися силами уравнение движения иногда принимает форму уравнения Матье. В таких случаях знание общих свойств уравнения Матье - особенно в отношении устойчивости решений - может быть важным для понимания качественных особенностей физической динамики.^[42] Классическим примером в этом направлении является перевернутый маятник.^[43] Другие примеры:

• колебания струны с периодически изменяющимся натяжением^[42]
• устойчивость железнодорожных рельсов при проезде по ним поездов
• сезонно вынужденный динамика населения
• феномен параметрический резонанс в принудительном генераторы
• движение ионов в квадрупольная ионная ловушка^[44]
• то Эффект Старка для вращающегося электрический диполь
• то Теория Флоке стабильности предельные циклы

Квантовая механика

Функции Матье играют важную роль в некоторых квантово-механических системах, особенно с пространственно-периодическими потенциалами, такими как квантовый маятник и кристаллические решетки.

Модифицированное уравнение Матье возникает также при описании квантовой механики сингулярных потенциалов. Для частного сингулярного потенциала ${ Displaystyle V (г) = г ^ {2} / г ^ {4}}$ радиальный Уравнение Шредингера

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dr ^ {2}}} + left [k ^ {2} - { frac { ell ( ell +1)} {r ^ {2 }}} - { frac {g ^ {2}} {r ^ {4}}} right] y = 0}$

можно преобразовать в уравнение

${ displaystyle { frac {d ^ {2} varphi} {dz ^ {2}}} + left [2h ^ {2} cosh 2z- left ( ell + { frac {1} {2 }} right) ^ {2} right] varphi = 0.}$

Преобразование достигается следующими заменами

${ displaystyle y = r ^ {1/2} varphi, r = gamma e ^ {z}, gamma = { frac {ig} {h}}, h ^ {2} = ikg, h = e ^ {I pi / 4} (кг) ^ {1/2}.}$

Решив уравнение Шредингера (для этого конкретного потенциала) в терминах решений модифицированного уравнения Матье, свойства рассеяния, такие как S-матрица и поглощающая способность может быть получен.^[45]

Смотрите также

• Список математических функций
• Дифференциальное уравнение Хилла
• Функция Ламе
• Монохроматическая плоская электромагнитная волна
• Перевернутый маятник

Примечания