Сигма модель - Sigma model

В физика, а сигма модель это теория поля который описывает поле как точечную частицу, движущуюся по фиксированному многообразию. В качестве этого многообразия можно взять любое Риманово многообразие, хотя чаще всего считается Группа Ли или симметричное пространство. Модель может квантоваться, а может и не быть. Примером неквантованной версии является Модель Skyrme; его нельзя квантовать из-за нелинейностей степени больше 4. В общем, сигма-модели допускают (классические) топологический солитон решения, например, Скирмион для модели Skyrme. Когда сигма-поле связано с калибровочным полем, результирующая модель описывается следующим образом: Теория Гинзбурга – Ландау. Эта статья в первую очередь посвящена классическая теория поля сигма-модели; соответствующая квантованная теория представлена в статье «нелинейная сигма-модель ".

Обзор

Сигма-модель была представлена Гелл-Манн и Леви (1960, раздел 5); название σ-модель исходит из поля в их модели, соответствующего бесспиновому мезону, называемому $σ$ , а скалярный мезон представленный ранее Джулиан Швингер.^[1] Модель послужила доминирующим прототипом спонтанное нарушение симметрии от O (4) до O (3): сломанные три осевых образующих являются простейшим проявлением нарушение киральной симметрии, сохранившийся непрерывный O (3), представляющий изоспин.

В обычных физика элементарных частиц настройки, поле обычно считается СОЛНЦЕ), или векторное подпространство частного ${ Displaystyle (СУ (N) _ {L} раз СУ (N) _ {R}) / СУ (N)}$ произведения левого и правого киральных полей. В конденсированное вещество теории, поле считается НА). Для группа ротации O (3) сигма-модель описывает изотропный ферромагнетик; в более общем плане модель O (N) появляется в квантовый эффект холла, сверхтекучий Гелий-3 и спиновые цепочки.

В супергравитация моделей поле принимается симметричное пространство. Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюция, их касательное пространство естественным образом распадается на подпространства четности и нечетности. Это разделение помогает продвинуть уменьшение размеров из Калуца – Кляйн теории.

В самом простом виде сигма-модель может рассматриваться как чисто кинетическая энергия точечной частицы; как поле, это просто Энергия Дирихле в евклидовом пространстве.

В двух пространственных измерениях модель O (3) выглядит так: полностью интегрируемый.

Определение

В Плотность лагранжиана сигма-модели можно записать множеством разных способов, каждый из которых подходит для конкретного типа приложения. В простейшем и наиболее общем определении лагранжиан записывается как метрический след обратного преобразования метрического тензора на Риманово многообразие. За ${ displaystyle phi: M to Phi}$ а поле через пространство-время ${ displaystyle M}$ , это можно записать как

{ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} ( phi) ; partial ^ { mu} phi _ {i} partial _ { mu} phi _ {j}}

где ${ displaystyle g_ {ij} ( phi)}$ это метрический тензор на поле ${ displaystyle phi in Phi}$ , а ${ displaystyle partial _ { mu}}$ производные по базовому пространственно-временное многообразие.

Это выражение можно немного распечатать. Пространство поля ${ displaystyle Phi}$ можно выбрать любой Риманово многообразие. Исторически это «сигма» сигма-модели; исторически соответствующий символ ${ displaystyle sigma}$ здесь избегается, чтобы предотвратить конфликты со многими другими распространенными способами использования ${ displaystyle sigma}$ в геометрии. Римановы многообразия всегда имеют метрический тензор ${ displaystyle g}$ . Учитывая атлас карт на ${ displaystyle Phi}$ , пространство поля всегда может быть локально упрощенный, в данном ${ displaystyle U subset Phi}$ в атласе можно написать карту ${ Displaystyle U к mathbb {R} ^ {п}}$ предоставление явных локальных координат ${ Displaystyle phi = ( phi ^ {1}, cdots, phi ^ {n})}$ на том патче. Метрический тензор на этом участке представляет собой матрицу, имеющую компоненты ${ displaystyle g_ {ij} ( phi).}$

Базовое многообразие ${ displaystyle M}$ должен быть дифференцируемое многообразие; по соглашению это либо Пространство Минковского в физика элементарных частиц приложения, плоские двухмерные Евклидово пространство за конденсированное вещество приложения, или Риманова поверхность, то мировой лист в теория струн. В ${ Displaystyle partial _ { mu} phi = partial phi / partial x ^ { mu}}$ просто старый ковариантная производная на базовом пространственно-временном многообразии ${ displaystyle M.}$ Когда ${ displaystyle M}$ плоский, ${ displaystyle partial _ { mu} phi = nabla phi}$ просто обычный градиент скалярной функции (как ${ displaystyle phi}$ является скалярным полем, с точки зрения ${ displaystyle M}$ сам.) Точнее говоря, ${ displaystyle partial _ { mu} phi}$ это раздел из связка струй из ${ Displaystyle M times Phi}$ .

Пример: O (N) нелинейная сигма-модель

Принимая ${ displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij}}$ то Дельта Кронекера, т.е. скалярное произведение в евклидовом пространстве, получаем ${ Displaystyle О (п)}$ нелинейная сигма-модель. То есть написать ${ displaystyle phi = { hat {u}}}$ быть единичным вектором в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п + 1}}$ , так что ${ displaystyle { hat {u}} cdot { hat {u}} = 1}$ , с ${ displaystyle cdot}$ обычное евклидово скалярное произведение. потом ${ displaystyle { hat {u}} в S ^ {n}}$ то ${ displaystyle n}$ -сфера, то изометрии из которых группа ротации ${ Displaystyle О (п)}$ . Тогда лагранжиан можно записать как

{ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} nabla _ { mu} { hat {u}} cdot nabla _ { mu} { hat {u} }}

За ${ displaystyle n = 3}$ , это континуальный предел изотропный ферромагнетик на решетке, т.е. классическая модель Гейзенберга. За ${ displaystyle n = 2}$ , это континуальный предел классическая модель XY. См. Также n-векторная модель и Модель Поттса для обзоров решетчатая модель эквиваленты. Континуальный предел берется записью

{ displaystyle delta _ {h} [{ hat {u}}] (i, j) = { frac {{ hat {u}} _ {i} - { hat {u}} _ {j }}{час}}}

как конечная разница на соседних участках решетки ${ displaystyle i, j.}$ потом ${ displaystyle delta _ {h} [{ hat {u}}] to partial _ { mu} { hat {u}}}$ в пределе ${ displaystyle h to 0}$ , и ${ displaystyle { hat {u}} _ {i} cdot { hat {u}} _ {j} to partial _ { mu} { hat {u}} cdot partial _ { mu} { hat {u}}}$ после отбрасывания постоянных членов ${ Displaystyle { шляпа {и}} _ {я} cdot { шляпа {и}} _ {я} = 1}$ («объемная намагниченность»).

В геометрической записи

Сигма-модель также может быть записана в более полных геометрических обозначениях, как пучок волокон с волокнами ${ displaystyle Phi}$ через дифференцируемое многообразие ${ displaystyle M}$ . Учитывая раздел ${ displaystyle phi: M to Phi}$ , зафиксируйте точку ${ displaystyle x in M.}$ В продвигать в ${ displaystyle x}$ это карта касательных расслоений

{ displaystyle mathrm {d} _ {x} phi: T_ {x} M to T _ { phi (x)} Phi quad}

принимая

{ displaystyle quad partial _ { mu} mapsto { frac { partial phi ^ {i}} { partial x ^ { mu}}} partial _ {i}}

куда ${ Displaystyle partial _ { mu} = partial / partial x ^ { mu}}$ считается ортонормированным базис векторного пространства на ${ displaystyle TM}$ и ${ Displaystyle partial _ {я} = partial / partial q ^ {i}}$ базис векторного пространства на ${ displaystyle T Phi}$ . В ${ displaystyle mathrm {d} phi}$ это дифференциальная форма. Сигма-модель действие тогда просто обычный внутренний продукт на векторных k-формы

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} int _ {M} mathrm {d} phi wedge {* mathrm {d} phi}}

где ${ Displaystyle клин}$ это клин, а ${ displaystyle *}$ это Ходжа звезда. Это внутренний продукт двумя разными способами. В первом случае, учитывая любой две дифференцируемые формы ${ displaystyle alpha, beta}$ в ${ displaystyle M}$ , двойственный по Ходжу определяет инвариантное скалярное произведение на пространстве дифференциальных форм, обычно записываемое как

{ displaystyle langle ! langle alpha, beta rangle ! rangle = int _ {M} alpha wedge {* beta}}

Вышеупомянутое является внутренним продуктом в пространстве интегрируемых с квадратом форм, обычно принимаемых за Соболевское пространство ${ displaystyle L ^ {2}.}$ Таким образом можно написать

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} langle ! langle mathrm {d} phi, mathrm {d} phi rangle ! rangle}

Это делает очевидным и очевидным, что сигма-модель - это всего лишь кинетическая энергия точечной частицы. С точки зрения многообразия ${ displaystyle M}$ , поле ${ displaystyle phi}$ является скаляром, и поэтому ${ Displaystyle mathrm {d} phi}$ можно признать просто обычным градиент скалярной функции. Звезда Ходжа - это просто причудливое устройство для отслеживания объемная форма при интеграции в искривленном пространстве-времени. В случае, если ${ displaystyle M}$ плоский, его можно полностью игнорировать, поэтому действие

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} int _ {M} Vert nabla phi Vert ^ {2} d ^ {m} x}

какой Энергия Дирихле из ${ displaystyle phi}$ . Классические экстремумы действия (решения Уравнения Лагранжа ) - это те конфигурации поля, которые минимизируют энергию Дирихле ${ displaystyle phi}$ . Другой способ преобразовать это выражение в более легко узнаваемую форму - это заметить, что для скалярной функции ${ displaystyle f: M to mathbb {R}}$ надо ${ displaystyle mathrm {d} * f = 0}$ и поэтому можно также написать

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} langle ! langle phi, Delta phi rangle ! rangle}

куда ${ displaystyle Delta}$ это Оператор Лапласа – Бельтрами, т.е. обычный Лапласиан когда ${ displaystyle M}$ плоский.

Что там есть еще один, второй внутренний продукт в игре просто требует не забывать, что ${ displaystyle mathrm {d} phi}$ вектор с точки зрения ${ displaystyle Phi}$ сам. То есть, учитывая любой два вектора ${ displaystyle v, w in T Phi}$ , риманова метрика ${ displaystyle g_ {ij}}$ определяет внутренний продукт

{ displaystyle langle v, w rangle = g_ {ij} v ^ {i} w ^ {j}}

С ${ Displaystyle mathrm {d} phi}$ векторнозначен ${ Displaystyle mathrm {d} phi = ( mathrm {d} phi ^ {1}, cdots, mathrm {d} phi ^ {n})}$ на локальных картах туда же попадает и внутренний продукт. Более подробно,

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} int _ {M} g_ {ij} ( phi) ; mathrm {d} phi ^ {i} клин {* mathrm {d} phi ^ {j}}}

Напряжение между этими двумя внутренними продуктами можно сделать еще более явным, отметив, что

{ displaystyle B _ { mu nu} ( phi) = g_ {ij} partial _ { mu} phi ^ {i} partial _ { nu} phi ^ {j}}

это билинейная форма; это откат метрики Римана ${ displaystyle g_ {ij}}$ . Человек ${ Displaystyle partial _ { mu} phi ^ {я}}$ можно принять как Vielbeins. Тогда плотность лагранжиана сигма-модели равна

{ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} g ^ { mu nu} B _ { mu nu}}

за ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ метрика на ${ displaystyle M.}$ Учитывая это склейку, ${ Displaystyle mathrm {d} phi}$ можно интерпретировать как форма припоя; более подробно это изложено ниже.

Мотивы и основные интерпретации

По поводу классической (неквантованной) сигма-модели можно сделать несколько интерпретационных и основополагающих замечаний. Во-первых, классическую сигма-модель можно интерпретировать как модель невзаимодействующей квантовой механики. Второй касается интерпретации энергии.

Интерпретация как квантовая механика

Это непосредственно следует из выражения

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} langle ! langle phi, Delta phi rangle ! rangle}

приведено выше. Принимая ${ Displaystyle Phi = mathbb {C}}$ , функция ${ displaystyle phi: M to mathbb {C}}$ можно интерпретировать как волновая функция, а это лапласиан - кинетическая энергия этой волновой функции. В ${ Displaystyle langle ! langle cdot, cdot rangle ! rangle}$ это просто некая геометрическая машина, напоминающая интегрироваться во все пространство. Соответствующие квантово-механические обозначения: ${ displaystyle phi = | psi rangle.}$ В плоском пространстве лапласиан условно записывается как ${ Displaystyle Delta = набла ^ {2}}$ . Собирая все эти части вместе, действие сигма-модели эквивалентно

{ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} int _ {M} langle psi | nabla ^ {2} | psi rangle dx ^ {m} = { frac {1} {2}} int _ {M} psi ^ { dagger} (x) nabla ^ {2} psi (x) dx ^ {m}}

которая представляет собой просто общую кинетическую энергию волновой функции ${ Displaystyle psi (х)}$ , с точностью до фактора ${ displaystyle hbar / m}$ . В заключение, классическая сигма-модель на ${ displaystyle mathbb {C}}$ можно интерпретировать как квантовую механику свободной невзаимодействующей квантовой частицы. Очевидно, добавив срок ${ Displaystyle V ( phi)}$ к лагранжиану приводит к квантовой механике волновой функции в потенциале. Принимая ${ Displaystyle Phi = mathbb {C} ^ {n}}$ недостаточно, чтобы описать ${ displaystyle n}$ -частичная система, в которой ${ displaystyle n}$ частицы требуют ${ displaystyle n}$ различные координаты, которые не предусмотрены базовым многообразием. Это можно решить, взяв ${ displaystyle n}$ копии базового коллектора.

Форма припоя

Хорошо известно, что геодезический структура риманова многообразия описывается Уравнения Гамильтона – Якоби.^[2] В виде эскиза конструкция выглядит следующим образом. Обе ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle Phi}$ римановы многообразия; ниже написано для ${ displaystyle Phi}$ , то же самое можно сделать и для ${ displaystyle M}$ . В котангенсный пучок ${ displaystyle T ^ {*} Phi}$ , снабжен чем то карты координат, всегда может быть локально упрощенный, т.е.

{ Displaystyle left.T ^ {*} Phi right | _ {U} cong U times mathbb {R} ^ {n}}

Принадлежности для тривиализации канонические координаты ${ displaystyle (q ^ {1}, cdots, q ^ {n}, p_ {1}, cdots, p_ {n})}$ на котангенсном пучке. Учитывая метрический тензор ${ displaystyle g_ {ij}}$ на ${ displaystyle Phi}$ , определим гамильтонову функцию

{ displaystyle H (q, p) = { frac {1} {2}} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}

где, как всегда, следует отметить, что в этом определении используется обратная величина: ${ displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = delta _ {k} ^ {i}.}$ Известно, что геодезический поток на ${ displaystyle Phi}$ дается Уравнения Гамильтона – Якоби

{ displaystyle { dot {q}} ^ {i} = { frac { partial H} { partial p_ {i}}} quad}

и

{ displaystyle quad { dot {p}} _ {i} = - { frac { partial H} { partial q ^ {i}}}}

Геодезический поток - это Гамильтонов поток; решения вышеупомянутого - геодезические многообразия. Отметим, кстати, что ${ displaystyle dH / dt = 0}$ по геодезическим; параметр времени ${ displaystyle t}$ - расстояние по геодезической.

Сигма-модель принимает импульсы в двух многообразиях ${ displaystyle T ^ {*} Phi}$ и ${ displaystyle T ^ {*} M}$ и спаяет их вместе, в этом ${ displaystyle mathrm {d} phi}$ это форма припоя. В этом смысле интерпретация сигма-модели как функционала энергии неудивительна; на самом деле это склейка два энергетические функционалы. Внимание: точное определение формы припоя требует, чтобы она была изоморфизмом; это может произойти только если ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle Phi}$ имеют такое же реальное измерение. Кроме того, обычное определение формы припоя принимает ${ displaystyle Phi}$ быть группой Ли. Оба условия выполняются в различных приложениях.

Результаты по разным пространствам

Космос ${ displaystyle Phi}$ часто воспринимается как Группа Ли, обычно СОЛНЦЕ), в обычных моделях физики элементарных частиц, НА) в теориях конденсированного состояния или как симметричное пространство в супергравитация модели. Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюция, их касательное пространство (т.е. место, где ${ displaystyle mathrm {d} phi}$ живет) естественным образом распадается на подпространства с четной и нечетной четностью. Это разделение помогает продвинуть уменьшение размеров из Калуца – Кляйн теории.

О группах Ли

Для особого случая ${ displaystyle Phi}$ быть Группа Ли, то ${ displaystyle g_ {ij}}$ это метрический тензор на группе Ли, формально называемой тензором Картана или Форма убийства. Тогда лагранжиан можно записать как откат формы Киллинга. Обратите внимание, что форму Киллинга можно записать как след по двум матрицам из соответствующих Алгебра Ли; таким образом, лагранжиан также можно записать в форме, содержащей след. С небольшими переделками это можно также записать как откат Форма Маурера-Картана.

О симметричных пространствах

Распространенный вариант сигма-модели - представить ее на симметричное пространство. Типичным примером является хиральная модель, который принимает продукт

{ Displaystyle G = СУ (N) раз СУ (N)}

«левого» и «правого» киральных полей, а затем строит сигма-модель на «диагонали»

{ Displaystyle Phi = { гидроразрыва {СУ (N) раз СУ (N)} {СУ (N)}}}

Такое фактор-пространство является симметричным пространством, поэтому в общем случае можно взять ${ Displaystyle Phi = G / H}$ куда ${ Displaystyle H подмножество G}$ - максимальная подгруппа в ${ displaystyle G}$ инвариантный относительно Инволюция Картана. Лагранжиан по-прежнему записывается точно так же, как указано выше, либо в терминах обратного преобразования метрики на ${ displaystyle G}$ к метрике на ${ displaystyle G / H}$ или как откат формы Маурера-Картана.

Обозначение трассировки

В физике наиболее распространенное и стандартное утверждение сигма-модели начинается с определения

{ displaystyle L _ { mu} = pi _ { mathfrak {m}} circ left (g ^ {- 1} partial _ { mu} g right)}

Здесь ${ displaystyle g ^ {- 1} partial _ { mu} g}$ это откат Форма Маурера-Картана, за ${ displaystyle g in G}$ , на многообразие пространства-времени. В ${ displaystyle pi _ { mathfrak {m}}}$ является проекцией на нечетную часть инволюции Картана. То есть, учитывая алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$ , инволюция разбивает пространство на нечетные и четные компоненты четности ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {m}} oplus { mathfrak {h}}}$ соответствующие двум собственным состояниям инволюции. Тогда лагранжиан сигма-модели может быть записан как

{ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} mathrm {tr} left (L _ { mu} L ^ { mu} right)}

Это сразу узнается как первый срок Модель Skyrme.

Метрическая форма

Эквивалентная метрическая форма этого - написать групповой элемент ${ displaystyle g in G}$ как геодезический ${ Displaystyle г = ехр ( тета ^ {я} Т_ {я})}$ элемента ${ displaystyle theta ^ {i} T_ {i} in { mathfrak {g}}}$ алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . В ${ displaystyle [T_ {i}, T_ {j}] = {f_ {ij}} ^ {k} T_ {k}}$ являются базисными элементами алгебры Ли; то ${ displaystyle {f_ {ij}} ^ {k}}$ являются структурные константы из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Подключив это непосредственно к вышесказанному и применив бесконечно малую форму Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа быстро приводит к эквивалентному выражению

{ displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} g_ {ij} ( phi) ; mathrm {d} phi _ {i} wedge {* mathrm {d } phi _ {j}} = { frac {1} {2}} ; {W_ {i}} ^ {m} {W ^ {n}} _ {j} ; ; mathrm {d } phi _ {i} wedge {* mathrm {d} phi _ {j}} ; ; mathrm {tr} (T_ {m} T_ {n})}

куда ${ displaystyle mathrm {tr} (T_ {m} T_ {n})}$ теперь очевидно (пропорционально) форме Киллинга, а ${ displaystyle {W_ {i}} ^ {m}}$ являются Vielbeins которые выражают "изогнутую" метрику ${ displaystyle g_ {ij}}$ в терминах "плоской" метрики ${ displaystyle mathrm {tr} (T_ {m} T_ {n})}$ . Статья о Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа предоставляет явное выражение для vielbeins. Их можно записать как

{ displaystyle W = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} M ^ {n}} {(n + 1)!}} = (Т.е. ^ { -M}) M ^ {- 1}}

куда ${ displaystyle M}$ матрица, матричные элементы которой равны ${ displaystyle {M_ {j}} ^ {k} = theta ^ {i} {f_ {ij}} ^ {k}}$ .

Для сигма-модели на симметричном пространстве, в отличие от группы Ли, ${ displaystyle T_ {i}}$ ограничены охватом подпространства ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ вместо всего ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {m}} oplus { mathfrak {h}}}$ . Коммутатор Ли на ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ буду нет быть внутри ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ ; действительно, есть ${ displaystyle [{ mathfrak {m}}, { mathfrak {m}}] subset { mathfrak {h}}}$ а значит, проекция еще нужна.

Расширения

Модель может быть расширена множеством способов. Помимо вышеупомянутого Модель Skyrme, который вводит четвертичные члены, модель может быть дополнена кручение срок, чтобы дать Модель Весса – Зумино – Виттена..

Другая возможность часто встречается в супергравитация модели. Здесь можно заметить, что форма Маурера-Картана ${ displaystyle g ^ {- 1} dg}$ выглядит как «чистая калибровка». В построенной выше конструкции для симметричных пространств можно также рассмотреть другую проекцию

{ displaystyle A _ { mu} = pi _ { mathfrak {h}} circ left (g ^ {- 1} partial _ { mu} g right)}

где, как и прежде, симметричное пространство соответствовало расщепленному ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {m}} oplus { mathfrak {h}}}$ . Этот дополнительный термин можно интерпретировать как связь на пучке волокон ${ displaystyle M times H}$ (трансформируется как калибровочное поле). Это то, что "осталось" от подключения на ${ displaystyle G}$ . Его можно наделить собственной динамикой, написав

{ displaystyle { mathcal {L}} = g_ {ij} F ^ {i} wedge * F ^ {j}}

с ${ displaystyle F ^ {i} = dA ^ {i}}$ . Обратите внимание, что дифференциал здесь просто «d», а не ковариантная производная; это нет тензор энергии-импульса Янга-Миллса. Этот член сам по себе не является калибровочно-инвариантным; его нужно брать вместе с той частью соединения, которая встраивается в ${ Displaystyle L _ { mu}}$ , так что вместе взятые ${ Displaystyle L _ { mu}}$ , теперь со связностью как частью этого, вместе с этим членом, образует полный калибровочно-инвариантный лагранжиан (который действительно содержит члены Янга-Миллса при раскрытии).