N-векторная модель - N-vector model

В статистическая механика, то п-векторная модель или же O (п) модель простая система взаимодействия спины на кристаллическая решетка. Он был разработан Х. Юджин Стэнли как обобщение Модель Изинга, XY модель и Модель Гейзенберга.^[1] в п-векторная модель, п-компонент единичной длины классический спины ${ Displaystyle mathbf {s} _ {я}}$ размещаются в вершинах d-мерная решетка. В Гамильтониан из п-векторная модель задается:

${ displaystyle H = -J { sum} _ { langle i, j rangle} mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j}}$

где сумма пробегает все пары соседних спинов ${ displaystyle langle i, j rangle}$ и ${ displaystyle cdot}$ обозначает стандартный евклидов внутренний продукт. Особые случаи п-векторными моделями являются:

${ displaystyle n = 0}$: The самопроизвольная прогулка^[2][3]

${ displaystyle n = 1}$: The Модель Изинга

${ displaystyle n = 2}$: The XY модель

${ displaystyle n = 3}$: The Модель Гейзенберга

${ displaystyle n = 4}$: Игрушечная модель для Сектор Хиггса из Стандартная модель

Общий математический аппарат, используемый для описания и решения п-векторная модель и некоторые обобщения развиты в статье о Модель Поттса.

Предел континуума

Континуальный предел можно понимать как сигма модель. Это легко получить, записав гамильтониан в терминах произведения

${ displaystyle - { tfrac {1} {2}} ( mathbf {s} _ {i} - mathbf {s} _ {j}) cdot ( mathbf {s} _ {i} - mathbf {s} _ {j}) = mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} -1}$

куда ${ Displaystyle mathbf {s} _ {я} cdot mathbf {s} _ {я} = 1}$ это термин «объемная намагниченность». Если отбросить этот член как общий постоянный множитель, добавленный к энергии, предел получается путем определения Ньютона. конечная разница в качестве

${ displaystyle delta _ {h} [ mathbf {s}] (i, j) = { frac { mathbf {s} _ {i} - mathbf {s} _ {j}} {h}} }$

на соседних участках решетки ${ displaystyle i, j.}$ потом ${ displaystyle delta _ {h} [ mathbf {s}] to nabla _ { mu} mathbf {s}}$ в пределе ${ displaystyle h to 0}$, куда ${ displaystyle nabla _ { mu}}$ это градиент в ${ Displaystyle (я, j) ​​ к му}$ направление. Таким образом, в пределе

${ displaystyle - mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} to { tfrac {1} {2}} nabla _ { mu} mathbf {s} cdot nabla _ { mu} mathbf {s}}$

которую можно распознать как кинетическую энергию поля ${ displaystyle mathbf {s}}$ в сигма модель. У одного еще есть две возможности для вращения ${ displaystyle mathbf {s}}$: либо берется из дискретного набора спинов ( Модель Поттса ) или принимается за точку на сфера ${ Displaystyle S ^ {п}}$; то есть, ${ displaystyle mathbf {s}}$ - непрерывнозначный вектор единичной длины. В последнем случае это называется ${ Displaystyle О (п)}$ нелинейная сигма-модель, как группа ротации ${ Displaystyle О (п)}$ это группа изометрии из ${ Displaystyle S ^ {п}}$, и очевидно, ${ Displaystyle S ^ {п}}$ не "плоский", т.е. не линейное поле.

Рекомендации

Этот физика -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.