Закон повторного логарифма - Википедия - Law of the iterated logarithm

Участок ${ displaystyle S_ {n} / n}$ (красный), его стандартное отклонение ${ displaystyle 1 / { sqrt {n}}}$ (синий) и его граница ${ displaystyle { sqrt {2 log log n / n}}}$ предоставлено LIL (зеленый). Обратите внимание на то, как он случайным образом переключается с верхней границы на нижнюю. Обе оси преобразуются нелинейно (как показано в сводке рисунков), чтобы сделать этот эффект более заметным.

В теория вероятности, то закон повторного логарифма описывает величину флуктуации случайная прогулка. Первоначальная формулировка закона повторного логарифма обусловлена ​​тем, что А.Я. Хинчин (1924).^[1] Другое заявление было сделано Колмогоров А. Н. в 1929 г.^[2]

Заявление

Позволять {Y_п} быть независимыми, одинаково распределенными случайные переменные со средними нулевыми и единичными отклонениями. Позволять S_п = Y₁ + ... + Y_п. потом

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac { pm S_ {n}} { sqrt {2n log log n}}} = 1 quad { text {a.s.}},}$

где «журнал» - это натуральный логарифм, «Lim sup» обозначает предел высшего, и, как." означает "почти наверняка ”.^[3][4]

Обсуждение

Закон повторных логарифмов действует «между» закон больших чисел и Центральная предельная теорема. Есть две версии закона больших чисел - слабые и сильный - и они оба заявляют, что суммы S_п, масштабируется п⁻¹, сходятся к нулю соответственно по вероятности и почти наверняка:

${ displaystyle { frac {S_ {n}} {n}} { xrightarrow {p}} 0, qquad { frac {S_ {n}} {n}} { xrightarrow {as}} 0, qquad { text {as}} n to infty.}$

С другой стороны, центральная предельная теорема утверждает, что суммы S_п масштабируется по коэффициенту п^−½ сходятся по распределению к стандартному нормальному распределению. К Закон нуля или единицы Колмогорова, для любых фиксированных M, вероятность того, что событие${ displaystyle limsup _ {n} { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} geq M}$встречается 0 или 1, тогда

${ displaystyle Pr left ( limsup _ {n} { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} geq M right) geqslant limsup _ {n} Pr left ( { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} geq M right) = Pr left ({ mathcal {N}} (0,1) geq M right)> 0}$

так

${ displaystyle limsup _ {n} { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} = infty qquad { text {с вероятностью 1.}}}$

Идентичный аргумент показывает, что

${ displaystyle liminf _ {n} { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} = - infty qquad { text {с вероятностью 1.}}}$

Это означает, что эти величины не могут почти наверняка сходиться. На самом деле они не могут даже сходиться по вероятности, что следует из равенства

${ displaystyle { frac {S_ {2n}} { sqrt {2n}}} - { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} = { frac {1} { sqrt {2 }}} { frac {S_ {2n} -S_ {n}} { sqrt {n}}} - left (1 - { frac {1} { sqrt {2}}} right) { гидроразрыв {S_ {n}} { sqrt {n}}}}$

и тот факт, что случайные величины

${ displaystyle { frac {S_ {n}} { sqrt {n}}} quad { text {and}} quad { frac {S_ {2n} -S_ {n}} { sqrt {n }}}}$

независимы и оба сходятся по распределению к ${ displaystyle { mathcal {N}} (0,1).}$

В закон повторного логарифма обеспечивает коэффициент масштабирования, при котором два предела становятся разными:

${ displaystyle { frac {S_ {n}} { sqrt {2n log log n}}} { xrightarrow {p}} 0, qquad { frac {S_ {n}} { sqrt {2n log log n}}} { stackrel {as} { nrightarrow}} 0, qquad { text {as}} n to infty.}$

Таким образом, хотя количество ${ displaystyle left | S_ {n} / { sqrt {2n log log n}} right |}$ меньше любого предопределенного ε > 0 с вероятностью, приближающейся к единице, тем не менее величина будет больше ε бесконечно часто; фактически, количество будет посещать окрестности любой точки в интервале (-1,1) почти наверняка.

Выставка предельных теорем и их взаимосвязи

Обобщения и варианты

Закон повторного логарифма (LIL) для суммы независимых и одинаково распределенных (i.i.d.) случайных величин с нулевым средним и ограниченным приращением восходит к Хинчин и Колмогоров в 1920-е гг.

С тех пор была проделана огромная работа над LIL для различных видов зависимых структур и для случайных процессов. Ниже приводится небольшой пример заметных событий.

Хартман – Винтнер (1940) обобщил LIL на случайные блуждания с приращениями с нулевым средним и конечной дисперсией.

Штрассен (1964) изучал LIL с точки зрения принципов инвариантности.

Стаут (Stout, 1970) обобщил LIL на стационарные эргодические мартингалы.

Де Акоста (1983) дал простое доказательство версии LIL Хартмана – Винтнера.

Виттманн (1985) обобщил версию LIL Хартмана – Винтнера на случайные блуждания, удовлетворяющие более мягким условиям.

Вовк (1987) вывел версию LIL, пригодную для одной хаотической последовательности (случайная последовательность Колмогорова). Это примечательно, так как это выходит за рамки классической теории вероятностей.

Юнгге Ван показал, что закон повторного логарифма выполняется и для псевдослучайных последовательностей с полиномиальным временем.^[5][6] Программное обеспечение на основе Java инструмент тестирования проверяет, выводит ли псевдослучайный генератор последовательности, удовлетворяющие LIL.

Неасимптотическая версия, которая сохраняется за конечное время мартингейл образец пути также был доказан^[7] и применил.^[8][9]

Смотрите также

• Центральная предельная теорема
• Итерированный логарифм
• Закон больших чисел
• Броуновское движение

Примечания