Кривая Бланманже - Blancmange curve

График кривой бланманже.

В математика, то кривая бланманже это самоаффинная кривая можно построить по средней точке. Он также известен как Кривая Такаги, после Тейджи Такаги кто описал это в 1901 году, или как Кривая Такаги – Ландсберга, обобщение кривой имени Такаги и Георг Ландсберг. Название бланманже происходит от его сходства с пудинг с таким же названием. Это частный случай более общего кривая де Рама; смотрите также фрактальная кривая.

Определение

Функция бланманже определена на единичный интервал к

${displaystyle {m {blanc}} (x) = sum _ {n = 0} ^ {infty} {s (2 ^ {n} x) over 2 ^ {n}},}$

куда ${displaystyle s (x)}$ это треугольная волна, определяется ${displaystyle s (x) = min _ {nin {mathbf {Z}}} | x-n |}$,то есть, ${displaystyle s (x)}$ это расстояние от Икс до ближайшего целое число.

Кривая Такаги – Ландсберга представляет собой небольшое обобщение, данное

${displaystyle T_ {w} (x) = sum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}$

для параметра ${displaystyle w}$; таким образом, кривая Бланманже имеет место ${displaystyle w = 1/2}$. Значение ${displaystyle H = -log _ {2} w}$ известен как Параметр Херста.

Функцию можно распространить на всю реальную линию: применение приведенного выше определения показывает, что функция повторяется на каждом единичном интервале.

Функцию также можно определить серией в разделе Разложение в ряд Фурье.

Определение функционального уравнения

Периодическая версия кривой Такаги также может быть определена как единственное ограниченное решение ${displaystyle T = T_ {w}: mathbb {R} или mathbb {R}}$ к функциональному уравнению

${displaystyle T (x) = s (x) + wT (2x)}$.

Действительно, функция Бланманже ${displaystyle T_ {w}}$ заведомо ограничен и решает функциональное уравнение, поскольку

${displaystyle T_ {w} (x): = sum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) = s (x) + sum _ {n = 1} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}$${displaystyle = s (x) + wsum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n + 1} x) = s (x) + wT_ {w} (2x)}$.

Наоборот, если ${displaystyle T: mathbb {R} o mathbb {R}}$ является ограниченным решением функционального уравнения, повторяя равенство, имеющееся для любого N

${displaystyle T (x) = сумма _ {n = 0} ^ {N} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) + w ^ {N + 1} T (2 ^ {N + 1} x ) = сумма _ {n = 0} ^ {N} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) + o (1)}$, за ${displaystyle N o infty,}$

откуда ${displaystyle T = T_ {w}}$. Между прочим, приведенные выше функциональные уравнения имеют бесконечно много непрерывных неограниченных решений, например${displaystyle T_ {w} (x) + c | x | ^ {- log _ {2} w}.}$

Графическое построение

Кривая Бланманже может быть визуально построена из треугольных волновых функций, если бесконечная сумма аппроксимирована конечными суммами первых нескольких членов. На рисунке ниже к кривой на каждом этапе добавляются все более мелкие треугольные функции (показаны красным).

п = 0	п ≤ 1	п ≤ 2	п ≤ 3

Характеристики

Конвергенция и преемственность

Бесконечная сумма, определяющая ${displaystyle T_ {w} (x)}$ сходится абсолютно для всех ${displaystyle x}$: поскольку ${displaystyle 0leq s (x) leq 1/2}$ для всех ${displaystyle xin mathbb {R}}$, у нас есть:

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} | w ^ {n} s (2 ^ {n} x) | leq {frac {1} {2}} sum _ {n = 0} ^ {infty} | w | ^ {n} = {frac {1} {2}} cdot {frac {1} {1- | w |}}}$ если ${displaystyle | w | <1}$.

Следовательно, кривая Такаги параметра ${displaystyle w}$ определяется на единичном интервале (или ${displaystyle mathbb {R}}$) если ${displaystyle | w | <1}$.

Функция Такаги параметра ${displaystyle w}$ является непрерывный. Действительно, функции ${displaystyle T_ {w, n}}$ определяется частичными суммами ${displaystyle T_ {w, n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} w ^ {k} s (2 ^ {k} x)}$ непрерывны и сходятся равномерно к ${displaystyle T_ {w}}$, поскольку:

${displaystyle left | T_ {w} (x) -T_ {w, n} (x) ight | = left | sum _ {k = n + 1} ^ {infty} w ^ {k} s (2 ^ {k } x) ight | = left | w ^ {n + 1} sum _ {k = 0} ^ {infty} w ^ {k} s (2 ^ {k + n + 1} x) ight | leq {frac { | w | ^ {n + 1}} {2}} cdot {frac {1} {1- | w |}}}$ для всех x, когда ${displaystyle | w | <1}$.

Это значение можно сделать настолько маленьким, насколько захотим, выбрав достаточно большое значение п. Поэтому по равномерная предельная теорема, ${displaystyle T_ {w}}$ непрерывно, если |ш|<1.

• 

  параметр w = 2/3

• 

  параметр w = 1/2

• 

  параметр w = 1/3

• 

  параметр w = 1/4

• 

  параметр w = 1/8

Субаддитивность

Поскольку абсолютное значение равно субаддитивная функция так функция ${displaystyle s (x) = min _ {nin {mathbf {Z}}} | x-n |}$, и его расширения ${displaystyle s (2 ^ {k} x)}$; поскольку положительные линейные комбинации и точечные пределы субаддитивных функций субаддитивны, функция Такаги субаддитивна для любого значения параметра ${displaystyle w}$.

Частный случай параболы

За ${displaystyle w = 1/4}$, получаем парабола: построение параболы по срединному делению было описано Архимед.

Дифференцируемость

Для значений параметра ${displaystyle 0$ функция Такаги ${displaystyle T_ {w}}$ дифференцируема в классическом смысле при любом ${displaystyle xin mathbb {R}}$ что не диадический рациональный. А именно, выводом под знаком ряда для любого недиадического рационального ${displaystyle xin mathbb {R}}$ можно найти

${displaystyle T_ {w} '(x) = sum _ {n = 0} ^ {infty} (2w) ^ {n}, (- 1) ^ {x _ {- n-1}}}$

куда ${displaystyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {Z}} в {0,1} ^ {mathbb {Z}}}$ это последовательность двоичных цифр в база 2 расширение ${displaystyle x}$, то есть, ${displaystyle x = sum _ {nin mathbb {Z}} 2 ^ {n} x_ {n}}$. Более того, для этих значений ${displaystyle w}$ функция ${displaystyle T_ {w}}$ является Липшиц постоянного ${displaystyle 1 более 1–2 нед}$. В частности, за особую ценность ${displaystyle w = 1/4}$ можно найти, для любого недиадического рационального ${displaystyle xin [0,1]}$ ${displaystyle T_ {1/4} '(x) = 2-4x}$, согласно упомянутому ${displaystyle T_ {1/4} (x) = 2x (1-x).}$

За ${displaystyle w = 1/2}$ функция бланманже ${displaystyle T_ {w}}$ это из ограниченная вариация на непустом открытом множестве; оно даже не локально липшицево, но квазилипшицево, действительно, допускает функцию ${displaystyle omega (t): = t (| log _ {2} t | +1/2)}$ как модуль непрерывности .

Разложение в ряд Фурье

Функция Такаги-Ландсберга допускает абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье:

${displaystyle T_ {w} (x) = sum _ {m = 0} ^ {infty} a_ {m} cos (2pi mx)}$

с ${displaystyle a_ {0} = 1/4 (1-нед.)}$ и для ${displaystyle mgeq 1}$

${displaystyle a_ {m}: = - {frac {2} {pi ^ {2} m ^ {2}}} (4w) ^ {u (m)},}$

куда ${displaystyle 2 ^ {u (m)}}$ это максимальная мощность ${displaystyle 2}$ что разделяет ${displaystyle m}$.Действительно, вышеуказанное треугольная волна ${displaystyle s (x)}$ имеет абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье

${displaystyle s (x) = {frac {1} {4}} - {frac {2} {pi ^ {2}}} sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}} cos {ig (} 2pi (2k + 1) x {ig)}.}$

Абсолютной сходимостью можно переупорядочить соответствующий двойной ряд для ${displaystyle T_ {w} (x)}$:

${displaystyle T_ {w} (x): = sum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x) = {frac {1} {4}} sum _ {n = 0} ^ {infty} w ^ {n} - {frac {2} {pi ^ {2}}} sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {w ^ {n}} {(2k + 1) ^ {2}}} cos {ig (} 2pi 2 ^ {n} (2k + 1) x {ig)} ,:}$

положить ${displaystyle m = 2 ^ {n} (2k + 1)}$ дает указанный выше ряд Фурье для ${displaystyle T_ {w} (x).}$

Самоподобие

В рекурсивное определение позволяет моноид автосимметрии кривой. Этот моноид задается двумя образующими, грамм и р, который действовать на кривой (ограниченной единичным интервалом) как

${displaystyle [gcdot T_ {w}] (x) = T_ {w} left ({frac {x} {2}} ight) = {frac {x} {2}} + wT_ {w} (x)}$

и

${displaystyle [rcdot T_ {w}] (x) = T_ {w} (1-x) = T_ {w} (x)}$.

Тогда общий элемент моноида имеет вид ${displaystyle gamma = g ^ {a_ {1}} rg ^ {a_ {2}} rcdots rg ^ {a_ {n}}}$ для некоторых целых чисел ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, cdots, a_ {n}}$ Этот действует на кривой как линейная функция: ${displaystyle gamma cdot T_ {w} = a + bx + cT_ {w}}$ для некоторых констант а, б и c. Поскольку действие линейно, его можно описать в терминах векторное пространство, с базис векторного пространства:

${displaystyle 1mapsto e_ {1} = {egin {bmatrix} 1 0 0end {bmatrix}}}$

${displaystyle xmapsto e_ {2} = {egin {bmatrix} 0 1 0end {bmatrix}}}$

${displaystyle T_ {w} mapsto e_ {3} = {egin {bmatrix} 0 0 1end {bmatrix}}}$

В этом представление, действие грамм и р даны

${displaystyle g = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & {frac {1} {2}} & {frac {1} {2}} 0 & 0 & wend {bmatrix}}}$

и

${displaystyle r = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$

То есть действие общего элемента ${displaystyle gamma}$ отображает кривую Бланманже на единичном интервале [0,1] в подинтервал ${displaystyle [m / 2 ^ {p}, n / 2 ^ {p}]}$ для некоторых целых чисел м, п, п. Отображение дается точно ${displaystyle [гамма cdot T_ {w}] (x) = a + bx + cT_ {w} (x)}$ где значения а, б и c могут быть получены непосредственно путем умножения вышеуказанных матриц. То есть:

${displaystyle gamma = {egin {bmatrix} 1 & {frac {m} {2 ^ {p}}} & a 0 & {frac {n-m} {2 ^ {p}}} & b 0 & 0 & cend {bmatrix}}}$

Обратите внимание, что ${displaystyle p = a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}}$ немедленно.

Моноид, порожденный грамм и р иногда называют диадический моноид; это субмоноид модульная группа. При обсуждении модульной группы более распространенные обозначения для грамм и р является Т и S, но это обозначение противоречит используемым здесь символам.

Вышеупомянутое трехмерное представление - лишь одно из многих возможных представлений; это показывает, что кривая Бланманже является одной из возможных реализаций действия. То есть есть представления для любого измерения, а не только для 3; некоторые из них дают кривые де Рама.

Интегрирование кривой Бланманже

Учитывая, что интеграл из ${displaystyle {m {blanc}} (x)}$ от 0 до 1 равно 1/2, тождество ${displaystyle {m {blanc}} (x) = {m {blanc}} (2x) / 2 + s (x)}$ позволяет вычислить интеграл по любому интервалу по следующему соотношению. Вычисление является рекурсивным, и время вычислений составляет порядка log требуемой точности. Определение

${displaystyle I (x) = int _ {0} ^ {x} {m {blanc}} (y), dy}$

у одного есть это

${displaystyle I (x) = {egin {case} I (2x) / 4 + x ^ {2} / 2 & {ext {if}} 0leq xleq 1/2 1/2-I (1-x) & { ext {if}} 1 / 2leq xleq 1 n / 2 + I (xn) & {ext {if}} nleq xleq (n + 1) end {case}}}$

В определенный интеграл дан кем-то:

${displaystyle int _ {a} ^ {b} {m {blanc}} (y), dy = I (b) -I (a).}$

Более общее выражение можно получить, определив

${displaystyle S (x) = int _ {0} ^ {x} s (y) dy = {egin {cases} x ^ {2} / 2, & 0leq xleq {frac {1} {2}} - x ^ {2} / 2 + x-1/4, & {frac {1} {2}} leq xleq 1 n / 4 + S (xn), & (nleq xleq n + 1) end {case}}}$

что в сочетании с представлением в виде ряда дает

${displaystyle I_ {w} (x) = int _ {0} ^ {x} T_ {w} (y) dy = sum _ {n = 0} ^ {infty} (w / 2) ^ {n} S ( 2 ^ {n} x)}$

Обратите внимание, что

${displaystyle I_ {w} (1) = {frac {1} {4 (1-w)}}}$

Этот интеграл также самоподобен на единичном интервале под действием диадического моноида, описанного в разделе Самоподобие. Здесь представление 4-мерное, имеющее основу ${displaystyle {1, x, x ^ {2}, I (x)}}$. Переписав вышесказанное, чтобы действие грамм более ясно: на единичном интервале

${displaystyle [gcdot I_ {w}] (x) = I_ {w} left ({frac {x} {2}} ight) = {frac {x ^ {2}} {8}} + {frac {w} {2}} I_ {w} (x)}$.

Отсюда можно сразу же считать генераторы четырехмерного представления:

${displaystyle g = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & {frac {1} {2}} & 0 & 0 0 & 0 & {frac {1} {4}} & {frac {1} {8}} 0 & 0 & 0 & {frac {w} {2}} конец {bmatrix}}}$

и

${displaystyle r = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & {frac {1} {4 (1-w)}} 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1end {bmatrix}}}$

Повторяющиеся интегралы преобразуются в 5,6, ... мерном представлении.

Отношение к симплициальным комплексам

Позволять

${displaystyle N = {inom {n_ {t}} {t}} + {inom {n_ {t-1}} {t-1}} + ldots + {inom {n_ {j}} {j}}, quad n_ {t}> n_ {t-1}> ldots> n_ {j} geq jgeq 1.}$

Определите функцию Крускала – Катоны

${displaystyle kappa _ {t} (N) = {n_ {t} выбрать t + 1} + {n_ {t-1} выбрать t} + точки + {n_ {j} выбрать j + 1}.}$

В Теорема Крускала – Катоны заявляет, что это минимальное количество (т - 1) -симплексы, являющиеся гранями множества N т-симплексы.

В качестве т и N приближение к бесконечности,${displaystyle kappa _ {t} (N) -N}$ (подходящим образом нормализованный) приближается к кривой Бланманже.

Смотрите также

• Функция Кантора (также известный как лестница дьявола)
• Функция вопросительного знака Минковского
• Функция Вейерштрасса
• Диадическая трансформация

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Бланманже». MathWorld.
• Такаги, Тейджи (1901), "Простой пример непрерывной функции без производной", Proc. Физ.-мат. Soc. Jpn., 1: 176–177, Дои:10.11429 / subutsuhokoku1901.1.F176
• Бенуа Мандельброт, «Фрактальные пейзажи без складок и с реками», появляющиеся в Наука о фрактальных изображениях, изд. Хайнц-Отто Пейтген, Дитмар Саупе; Springer-Verlag (1988), стр. 243–260.
• Линас Вепстас, Симметрии карт удвоения периода, (2004)
• Дональд Кнут, Искусство программирования, том 4а. Комбинаторные алгоритмы, часть 1. ISBN  0-201-03804-8. См. Страницы 372–375.

дальнейшее чтение

• Allaart, Pieter C .; Кавамура, Кико (11 октября 2011 г.), Функция Такаги: опрос, arXiv:1110.1691, Bibcode:2011arXiv1110.1691A
• Лагариас, Джеффри С. (17 декабря 2011 г.), Функция Такаги и ее свойства, arXiv:1112.4205, Bibcode:2011arXiv1112.4205L

внешняя ссылка

• Такаги Исследователь
• (Некоторые свойства функции Такаги)