Заполненный набор Юля - Википедия - Filled Julia set

В заполненный набор Юля ${ Displaystyle K (е)}$ полинома ${ displaystyle f}$ является :

• а Юля набор и это интерьер,
• неэкранированный набор

Формальное определение

Заполненный Юля набор ${ Displaystyle K (е)}$ полинома ${ displaystyle f}$ определяется как множество всех точек ${ Displaystyle г ,}$ динамической плоскости, которые имеют ограниченный орбита относительно ${ displaystyle f}$

${ Displaystyle К (е) { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} {z in mathbb {C}: f ^ {(k)} (z ) not to infty as k to infty }}$
куда :

${ Displaystyle mathbb {C}}$ это набор комплексных чисел

${ Displaystyle е ^ {(к)} (г)}$ это ${ displaystyle k}$ -складывать сочинение из ${ displaystyle f ,}$ с собой = итерация функции ${ displaystyle f ,}$

Отношение к множеству Фату

Заполненный набор Джулии - это (абсолютное) дополнение из привлекательный бассейн из бесконечность.
${ Displaystyle К (е) = mathbb {C} setminus A_ {f} ( infty)}$

В привлекательный бассейн из бесконечность один из компоненты набора Fatou.
${ Displaystyle A_ {F} ( infty) = F _ { infty}}$

Другими словами, заполненное множество Джулии - это дополнять безграничного Компонент Fatou:
${ Displaystyle К (е) = F _ { infty} ^ {C}.}$

Связь Джулии, наполненного гарнитура Джулии и привлекательного бассейна бесконечности

В Юля набор это общий граница заполненного множества Джулия и привлекательный бассейн из бесконечность

${ Displaystyle J (е) , = частичный К (е) = частичный А_ {е} ( infty)}$

куда :
${ Displaystyle A_ {е} ( infty)}$ обозначает привлекательный бассейн из бесконечность = внешний вид заполненного множества Джулии = множество точек выхода для ${ displaystyle f}$

${ Displaystyle A_ {е} ( infty) { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} {z in mathbb {C}: f ^ {(k) } (z) to infty as k to infty }.}$

Если в заполненном множестве Юля нет интерьер затем Юля набор совпадает с заполненным множеством Джулии. Это происходит, когда все критические точки ${ displaystyle f}$ являются предпериодическими. Такие критические точки часто называют Очки Мисюревича.

Позвоночник

• 

  Кролик Юля с корешком

• 

  Базилика Юлия с корешком

Вероятно, наиболее изученными полиномами являются те из формы ${ Displaystyle е (г) = г ^ {2} + с}$, которые часто обозначают ${ displaystyle f_ {c}}$, куда ${ displaystyle c}$ - любое комплексное число. В этом случае позвоночник ${ Displaystyle S_ {c} ,}$ заполненного набора Юля ${ Displaystyle K ,}$ определяется как дуга между ${ Displaystyle бета ,}$-фиксированная точка и ${ displaystyle - beta ,}$,

${ Displaystyle S_ {с} = влево [- бета, бета вправо] ,}$

с такими свойствами:

• позвоночник лежит внутри ${ Displaystyle K ,}$.^[1] Это имеет смысл, когда ${ Displaystyle K ,}$ подключен и полон^[2]
• позвоночник инвариантен при повороте на 180 градусов,
• spine - конечное топологическое дерево,
• Критическая точка ${ displaystyle z_ {cr} = 0 ,}$ всегда принадлежит позвоночнику.^[3]
• ${ Displaystyle бета ,}$-фиксированная точка это точка приземления внешний луч нулевого угла ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {0} ^ {K}}$,
• ${ displaystyle - beta ,}$ это точка приземления внешний луч ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {1/2} ^ {K}}$.

Алгоритмы построения позвоночника:

• подробная версия описан А. Дуади^[4]
• Упрощенная версия алгоритма:
  • соединять ${ displaystyle - beta ,}$ и ${ Displaystyle бета ,}$ в ${ displaystyle K ,}$ по дуге,
  • когда ${ displaystyle K ,}$ имеет пустую внутреннюю часть, то дуга уникальна,
  • в противном случае выберите кратчайший путь, содержащий ${ displaystyle 0}$.^[5]

Изгиб ${ Displaystyle R ,}$ :

${ Displaystyle R { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} R_ {1/2} cup S_ {c} cup R_ {0} , }$

делит динамическую плоскость на две составляющие.

Изображений

• 

  Заполненный набор Юля для ж_c, c = φ − 2 = -0,38 ..., где φ означает Золотое сечение

• 

  Залил Юля без салона = Юля комплект. Это для c = i.

• 

  Заполненный набор Julia для c = -1 + 0,1 * i. Здесь множество Julia - это граница заполненного множества Julia.

• 

  Кролик дуади

• 

  Заполненный набор Джулии для c = −0,4 + 0,6i.

• 

  Заполненный набор Джулии для c = −0,8 + 0,156i.

• 

  Заполненный набор Julia для c = 0,285 + 0,01i.

• 

  Заполненный набор Julia для c = -1,476.

Имена

• самолет^[6]
• Кролик дуади
• Дракон
• базилика или Фрактал Сан-Марко
• цветная капуста
• дендрит
• Диск Зигеля

Примечания

Рекомендации

1. Peitgen Heinz-Otto, Richter, P.H. : Красота фракталов: образы сложных динамических систем. Springer-Verlag 1986. ISBN  978-0-387-15851-8.
2. Бодил Браннер : Голоморфные динамические системы в комплексной плоскости. Департамент математики Технического университета Дании, MAT-Отчет № 1996-42.