Кролик дуади - Douady rabbit
В Кролик дуади любой из различных заполненные наборы Джулии связанный с параметр недалеко от центра период 3 бутоны множества Мандельброта для комплексное квадратичное отображение.
цвета показывают итерации
Уровни серого указывают на скорость схождения к бесконечности или к привлекательному циклу.
границы наборов уровней
толстый кролик
внешние лучи приземляясь на фиксированная точка .
Возмущенный кролик [1]
Возмущенный кролик зум
Имя
Кролик Дуади или кролик Дуади назван в честь французского математика. Адриан Дуади.[2]
В толстый кролик или у пухлого кролика c в корне 1/3-конечность из Набор Мандельброта. Оно имеет параболическая фиксированная точка с 3 лепестки.[3]
Формы комплексного квадратичного отображения
Есть два общих формы для комплексного квадратичного отображения . Первый, также называемый сложный логистическая карта, записывается как
куда является комплексной переменной и - сложный параметр. Вторая распространенная форма - это
Здесь комплексная переменная и - сложный параметр. Переменные и связаны уравнением
и параметры и связаны уравнениями
Обратите внимание, что инвариантен относительно замены .
Мандельброта и заполненные множества Жюлиа
Есть две плоскости, связанные с . Один из них, (или же ) плоскости будем называть картографическая плоскость, поскольку отправляет этот самолет в себя. Другой, (или же ) плоскости будем называть плоскость управления.
Природа того, что происходит в плоскости отображения при многократном применении зависит от того, где (или же ) находится в плоскости управления. В заполненный Юля набор состоит из всех точек в плоскости отображения, образы которых остаются ограниченными при бесконечно повторяющихся применениях . В Набор Мандельброта состоит из таких точек в плоскости управления, что связанный заполненный набор Жюлиа в плоскости отображения связан.
На рисунке 1 показано множество Мандельброта, когда - управляющий параметр, а на рисунке 2 показан набор Мандельброта, когда - управляющий параметр. С и находятся аффинные преобразования друг друга (линейное преобразование плюс перевод) заполненные множества Julia выглядят примерно одинаково в любом или же самолеты.
Кролик Дуади
Кролика Дуади проще всего описать в терминах набора Мандельброта, как показано на рисунке 1 (выше). На этом рисунке набор Мандельброта, по крайней мере, если смотреть с расстояния, выглядит как два соединенных спиной к спине единых диска с отростками. Рассмотрим ростки в положениях 1 и 5 часов на правом диске или ростки в положениях 7 и 11 часов на левом диске. Когда находится внутри одного из этих четырех отростков, связанный заполненный набор Julia на плоскости отображения - это кролик Дуади. Для этих значений , можно показать, что имеет и еще одна точка как неустойчивые (отталкивающие) неподвижные точки, и как притягивающая неподвижная точка. Более того, карта имеет три притягивающие неподвижные точки. Кролик Дуади состоит из трех притягивающих неподвижных точек. , , и и их бассейны притяжения.
Например, на рисунке 3 показан кролик Дуади в самолет, когда , точка в пятнистом ростке правого диска. Для этого значения , карта имеет отталкивающие неподвижные точки и . Три притягивающие неподвижные точки (также называемые фиксированными точками периода три) имеют положения
Красная, зеленая и желтая точки лежат в бассейнах. , , и из , соответственно. Белые точки лежат в тазу из .
Действие на этих неподвижных точках задается соотношениями
Этим соотношениям соответствуют результаты
Обратите внимание на чудесную фрактальную структуру на границах бассейна.
В качестве второго примера на рисунке 4 показан кролик Дуади, когда , точка в одиннадцатичасовом ростке на левом диске. (Как отмечалось ранее, инвариантен относительно этого преобразования.) Кролик теперь сидит более симметрично на странице. Фиксированные точки периода три расположены в
Отталкивающие неподвижные точки сами расположены в и. Три главных лепестка слева, которые содержат фиксированные точки с периодом три. ,, и , встречаются в фиксированной точке , и их коллеги справа встречаются в точке . Можно показать, что эффект в точках около начала координат состоит из вращения против часовой стрелки вокруг начала координат , или почти с последующим масштабированием (растяжением) в раз .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Недавние исследования (только с 1999 г.) Роберт Л. Девани: кролики, базилики и другие наборы Джулии, завернутые в ковры Серпинского
- ^ "Наборы Жюлиа и множество Мандельброта В архиве 2016-08-07 в Wayback Machine ", Math.Bard.edu.
- ^ Заметка Томоки Кавахира о динамически устойчивых возмущениях параболики В архиве 2 октября 2006 г. Wayback Machine
- ^ Терстонская эквивалентность топологических многочленов Лорана Бартольди, Владимира Некрашевича
внешняя ссылка
- Вайсштейн, Эрик В. "Кролик Дуади Фрактал". MathWorld.
- Драгт, А. http://www.physics.umd.edu/dsat/dsatliemethods.html. Методы Ли для нелинейной динамики с приложениями к физике ускорителей.
В этой статье использованы материалы от Douady Rabbit о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.