Кролик дуади - Douady rabbit

В Кролик дуади любой из различных заполненные наборы Джулии связанный с параметр недалеко от центра период 3 бутоны множества Мандельброта для комплексное квадратичное отображение.

Имя

Кролик Дуади или кролик Дуади назван в честь французского математика. Адриан Дуади.[2]

В толстый кролик или у пухлого кролика c в корне 1/3-конечность из Набор Мандельброта. Оно имеет параболическая фиксированная точка с 3 лепестки.[3]

Формы комплексного квадратичного отображения

Есть два общих формы для комплексного квадратичного отображения . Первый, также называемый сложный логистическая карта, записывается как

куда является комплексной переменной и - сложный параметр. Вторая распространенная форма - это

Здесь комплексная переменная и - сложный параметр. Переменные и связаны уравнением

и параметры и связаны уравнениями

Обратите внимание, что инвариантен относительно замены .

Мандельброта и заполненные множества Жюлиа

Есть две плоскости, связанные с . Один из них, (или же ) плоскости будем называть картографическая плоскость, поскольку отправляет этот самолет в себя. Другой, (или же ) плоскости будем называть плоскость управления.

Природа того, что происходит в плоскости отображения при многократном применении зависит от того, где (или же ) находится в плоскости управления. В заполненный Юля набор состоит из всех точек в плоскости отображения, образы которых остаются ограниченными при бесконечно повторяющихся применениях . В Набор Мандельброта состоит из таких точек в плоскости управления, что связанный заполненный набор Жюлиа в плоскости отображения связан.

На рисунке 1 показано множество Мандельброта, когда - управляющий параметр, а на рисунке 2 показан набор Мандельброта, когда - управляющий параметр. С и находятся аффинные преобразования друг друга (линейное преобразование плюс перевод) заполненные множества Julia выглядят примерно одинаково в любом или же самолеты.

Рисунок 1: Набор Мандельброта в самолет.
Рисунок 2: Набор Мандельброта в самолет.

Кролик Дуади

[требуется разъяснение ]

Кролик Дуади в экспоненциальной семье
Ламинирование кролика Юля набор
Набор Quaternion julia с параметрами c = −0,123 + 0,745i и сечением в плоскости XY. Набор "Кролик Дуади" julia виден в разрезе.
Изображение динамики внутри кролика.

Кролика Дуади проще всего описать в терминах набора Мандельброта, как показано на рисунке 1 (выше). На этом рисунке набор Мандельброта, по крайней мере, если смотреть с расстояния, выглядит как два соединенных спиной к спине единых диска с отростками. Рассмотрим ростки в положениях 1 и 5 часов на правом диске или ростки в положениях 7 и 11 часов на левом диске. Когда находится внутри одного из этих четырех отростков, связанный заполненный набор Julia на плоскости отображения - это кролик Дуади. Для этих значений , можно показать, что имеет и еще одна точка как неустойчивые (отталкивающие) неподвижные точки, и как притягивающая неподвижная точка. Более того, карта имеет три притягивающие неподвижные точки. Кролик Дуади состоит из трех притягивающих неподвижных точек. , , и и их бассейны притяжения.

Например, на рисунке 3 показан кролик Дуади в самолет, когда , точка в пятнистом ростке правого диска. Для этого значения , карта имеет отталкивающие неподвижные точки и . Три притягивающие неподвижные точки (также называемые фиксированными точками периода три) имеют положения

Красная, зеленая и желтая точки лежат в бассейнах. , , и из , соответственно. Белые точки лежат в тазу из .

Действие на этих неподвижных точках задается соотношениями

Этим соотношениям соответствуют результаты

Обратите внимание на чудесную фрактальную структуру на границах бассейна.

Рисунок 3: кролик Дуади для или же .

В качестве второго примера на рисунке 4 показан кролик Дуади, когда , точка в одиннадцатичасовом ростке на левом диске. (Как отмечалось ранее, инвариантен относительно этого преобразования.) Кролик теперь сидит более симметрично на странице. Фиксированные точки периода три расположены в

Отталкивающие неподвижные точки сами расположены в и. Три главных лепестка слева, которые содержат фиксированные точки с периодом три. ,, и , встречаются в фиксированной точке , и их коллеги справа встречаются в точке . Можно показать, что эффект в точках около начала координат состоит из вращения против часовой стрелки вокруг начала координат , или почти с последующим масштабированием (растяжением) в раз .

Рисунок 4: кролик Дуади для или же .

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

  • Вайсштейн, Эрик В. "Кролик Дуади Фрактал". MathWorld.
  • Драгт, А. http://www.physics.umd.edu/dsat/dsatliemethods.html. Методы Ли для нелинейной динамики с приложениями к физике ускорителей.

В этой статье использованы материалы от Douady Rabbit о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.