Периодические точки комплексных квадратичных отображений - Википедия - Periodic points of complex quadratic mappings

Эта статья описывает периодические точки некоторых комплексные квадратичные отображения. А карта формула для вычисления значения переменной на основе ее собственного предыдущего значения или значений; а квадратичный map - это та, которая включает предыдущее значение, возведенное в степени один и два; и сложный карта - это та, в которой переменная и параметры сложные числа. А периодическая точка карты - это значение переменной, которое повторяется через интервалы фиксированной длины.

Эти периодические точки играют роль в теориях Фату и Юля наборы.

Определения

Позволять

${ Displaystyle е_ {с} (г) = г ^ {2} + с ,}$

быть комплексное квадратичное отображение, куда ${ displaystyle z}$ и ${ displaystyle c}$ находятся комплексный.

Условно, ${ Displaystyle е_ {с} ^ {(к)} (г)}$ это ${ displaystyle k}$ -складывать сочинение из ${ displaystyle f_ {c} ,}$ с самим собой, то есть значение после k-го итерация функции ${ displaystyle f_ {c}. ,}$ Таким образом

${ Displaystyle f_ {c} ^ {(k)} (z) = f_ {c} (f_ {c} ^ {(k-1)} (z)).}$

Периодические точки комплексного квадратичного отображения период${ displaystyle p}$ точки${ displaystyle z}$ из динамический самолет такой, что

${ displaystyle f_ {c} ^ {(p)} (z) = z,}$

куда${ displaystyle p}$ - наименьшее натуральное число, для которого уравнение выполняется при этом z.

Мы можем ввести новую функцию:

${ Displaystyle F_ {p} (z, f) = f_ {c} ^ {(p)} (z) -z,}$

поэтому периодические точки - это нули функции ${ Displaystyle F_ {p} (г, е)}$: точки z удовлетворение

${ displaystyle F_ {p} (z, f) = 0,}$

который является полиномом от степень ${ displaystyle 2 ^ {p}.}$

Количество периодических точек

Степень полинома ${ Displaystyle F_ {p} (г, е)}$ описание периодических точек ${ displaystyle d = 2 ^ {p}}$ так это точно ${ displaystyle d = 2 ^ {p}}$ комплексные корни (= периодические точки), считая с множественность,

Устойчивость периодических точек (орбит) - множитель

Индекс устойчивости периодических точек по горизонтальной оси

границы областей плоскости параметров с притягивающей орбитой периодов 1-6

Критическая орбита дискретной динамической системы на основе комплексный квадратичный многочлен. Имеет тенденцию слабо привлечение фиксированная точка с абс (множитель) = 0,99993612384259

В множитель (или собственное значение, производная) ${ Displaystyle м (е ^ {р}, z_ {0}) = лямбда ,}$ рациональной карты ${ displaystyle f ,}$ повторяется ${ displaystyle p}$ раз в циклической точке ${ displaystyle z_ {0} ,}$определяется как:

${ displaystyle m (f ^ {p}, z_ {0}) = lambda = { begin {cases} f ^ {p prime} (z_ {0}), & { mbox {if}} z_ { 0} neq infty { frac {1} {f ^ {p prime} (z_ {0})}}, & { mbox {if}} z_ {0} = infty end {случаях }}}$

куда ${ displaystyle f ^ {p prime} (z_ {0})}$ это первая производная из${ displaystyle f ^ {p}}$ относительно ${ Displaystyle г ,}$ в ${ displaystyle z_ {0}}$.

Поскольку множитель одинаков во всех периодических точках на данной орбите, он называется множителем периодических орбита.

Множитель:

• а комплексное число;
• инвариантен относительно сопряжения любого рационального отображения в его неподвижной точке;^[1]
• используется для проверки устойчивости периодических (также фиксированных) точек с индекс стабильности ${ displaystyle abs ( lambda). ,}$

Периодическая точка^[2]

• привлечение, когда ${ Displaystyle абс ( лямбда) <1; ,}$
  • супер-привлекательный, когда ${ Displaystyle абс ( лямбда) = 0; ,}$
  • привлекает, но не очень привлекает, когда ${ Displaystyle 0 <абс ( лямбда) <1; ,}$
• безразлично, когда ${ Displaystyle абс ( лямбда) = 1; ,}$
  • рационально индифферентный или параболический, если ${ displaystyle lambda ,}$ это корень единства;
  • иррационально равнодушный если ${ Displaystyle абс ( лямбда) = 1 ,}$ но множитель - это не корень единицы;
• отталкивает, когда ${ displaystyle abs ( lambda)> 1. ,}$

Периодические точки

• которые привлекают всегда в Набор Fatou;
• отталкивающие входят в набор Джулии;
• безразличные фиксированные точки могут быть в одной или другой.^[3] Параболическая периодическая точка находится в множестве Жюлиа.

Очки Period-1 (фиксированные)

Конечные фиксированные точки

Начнем с поиска всех конечный баллов, оставленных без изменений одним применением ${ displaystyle f}$. Это точки, удовлетворяющие ${ displaystyle f_ {c} (z) = z}$. То есть мы хотим решить

${ Displaystyle г ^ {2} + с = г, ,}$

который можно переписать как

${ displaystyle z ^ {2} -z + c = 0.}$

Поскольку это обычное квадратное уравнение с одной неизвестной, мы можем применить стандартная квадратичная формула решения:

${ displaystyle alpha _ {1} = { frac {1 - { sqrt {1-4c}}} {2}}}$ и ${ displaystyle alpha _ {2} = { frac {1 + { sqrt {1-4c}}} {2}}.}$

Таким образом, для ${ displaystyle c in { mathbb {C}} setminus {1/4 }}$ у нас есть два конечный фиксированные точки ${ Displaystyle альфа _ {1} ,}$ и ${ Displaystyle альфа _ {2} ,}$.

С

${ displaystyle alpha _ {1} = { frac {1} {2}} - m}$ и ${ displaystyle alpha _ {2} = { frac {1} {2}} + m}$ куда ${ displaystyle m = { frac { sqrt {1-4c}} {2}}}$

тогда ${ Displaystyle альфа _ {1} + альфа _ {2} = 1}$.

Таким образом, неподвижные точки симметричны относительно ${ displaystyle z = 1/2}$.

На этом изображении показаны фиксированные точки (обе отталкивающие)

Сложная динамика

Неподвижные точки для c по горизонтальной оси

Набор Fatou для F (z) = z * z с отмеченной фиксированной точкой

Здесь обычно используются разные обозначения:^[4]

${ displaystyle alpha _ {c} = { frac {1 - { sqrt {1-4c}}} {2}}}$ с множителем ${ displaystyle lambda _ { alpha _ {c}} = 1 - { sqrt {1-4c}} ,}$

и

${ displaystyle beta _ {c} = { frac {1 + { sqrt {1-4c}}} {2}}}$ с множителем ${ displaystyle lambda _ { beta _ {c}} = 1 + { sqrt {1-4c}}. ,}$

С помощью Формулы Вьете можно показать, что:

${ displaystyle alpha _ {c} + beta _ {c} = 1.}$

С производная по z является

${ Displaystyle P_ {c} '(z) = { frac {d} {dz}} P_ {c} (z) = 2z,}$

тогда

${ displaystyle P_ {c} '( alpha _ {c}) + P_ {c}' ( beta _ {c}) = 2 alpha _ {c} +2 beta _ {c} = 2 ( альфа _ {c} + beta _ {c}) = 2. ,}$

Отсюда следует, что ${ Displaystyle P_ {c} ,}$ может иметь не более одной привлекательной фиксированной точки.

Эти точки отличаются тем, что:

• ${ displaystyle beta _ {c} ,}$ является:
  • точка приземления внешний луч для угла = 0 для ${ displaystyle c in M ​​ setminus left {{ frac {1} {4}} right }}$
  • самая отталкивающая неподвижная точка множества Жюлиа
  • правый (если фиксированная точка не симметрична относительно действительной оси), это крайняя правая точка для связанных множеств Джулии (кроме цветной капусты).^[5]
• ${ Displaystyle альфа _ {с} ,}$ является:
  • точка посадки нескольких лучей
  • привлечение, когда ${ displaystyle c}$ находится в главной кардиоиде множества Мандельброта, и в этом случае он находится внутри заполненного множества Жюлиа и, следовательно, принадлежит множеству Фату (строго к бассейну притяжения конечной неподвижной точки)
  • параболическая в корневой точке лимба множества Мандельброта
  • отталкивает для других значений ${ displaystyle c}$

Особые случаи

Важным случаем квадратичного отображения является ${ displaystyle c = 0}$. В этом случае получаем ${ displaystyle alpha _ {1} = 0}$ и ${ displaystyle alpha _ {2} = 1}$. В этом случае 0 - суператрактивный фиксированная точка, а 1 принадлежит Юля набор.

Только одна фиксированная точка

У нас есть ${ Displaystyle альфа _ {1} = альфа _ {2}}$ именно когда ${ displaystyle 1-4c = 0.}$ Это уравнение имеет одно решение: ${ displaystyle c = 1/4,}$ в таком случае ${ Displaystyle альфа _ {1} = альфа _ {2} = 1/2}$. Фактически ${ displaystyle c = 1/4}$ - наибольшее положительное чисто реальное значение, для которого существует конечный аттрактор.

Бесконечная фиксированная точка

Мы можем продлить комплексная плоскость ${ displaystyle mathbb {C}}$ к Сфера Римана (расширенная комплексная плоскость) ${ Displaystyle mathbb { шляпа {C}}}$ добавляя бесконечность  :

${ Displaystyle mathbb { шляпа {C}} = mathbb {C} чашка { infty }}$

и расширение многочлен ${ displaystyle f_ {c} ,}$такой, что ${ Displaystyle е_ {с} ( infty) = infty. ,}$

потом бесконечность является :

• сверхвтягивающий
• фиксированная точка многочлен ${ displaystyle f_ {c}: ,}$^[6]

${ displaystyle f_ {c} ( infty) = infty = f_ {c} ^ {- 1} ( infty). ,}$

Период-2 цикла

Бифуркация с периода 1 на 2 для комплексное квадратичное отображение

Циклы периода 2 - это две разные точки. ${ displaystyle beta _ {1}}$ и ${ displaystyle beta _ {2}}$ такой, что ${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {1}) = beta _ {2}}$ и ${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {2}) = beta _ {1}}$.

Мы пишем ${ displaystyle f_ {c} (f_ {c} ( beta _ {n})) = beta _ {n}:}$

${ displaystyle f_ {c} (f_ {c} (z)) = (z ^ {2} + c) ^ {2} + c = z ^ {4} + 2cz ^ {2} + c ^ {2} + c. ,}$

Приравнивая это к z, мы получаем

${ displaystyle z ^ {4} + 2cz ^ {2} -z + c ^ {2} + c = 0.}$

Это уравнение является многочленом степени 4 и поэтому имеет четыре (возможно, не различных) решения. Однако нам уже известны два решения. Они есть ${ displaystyle alpha _ {1}}$ и ${ displaystyle alpha _ {2}}$, вычисленное выше, так как если эти точки остаются неизменными одним применением ${ displaystyle f}$, то очевидно, что они не будут изменены более чем одним применением ${ displaystyle f}$.

Следовательно, наш полином 4-го порядка можно разложить на множители двумя способами:

Первый метод факторизации

${ Displaystyle (z- альфа _ {1}) (z- alpha _ {2}) (z- beta _ {1}) (z- beta _ {2}) = 0. ,}$

Это расширяется прямо как ${ displaystyle x ^ {4} -Ax ^ {3} + Bx ^ {2} -Cx + D = 0}$ (обратите внимание на чередующиеся знаки), где

${ Displaystyle D = alpha _ {1} alpha _ {2} beta _ {1} beta _ {2}, ,}$

${ displaystyle C = alpha _ {1} alpha _ {2} beta _ {1} + alpha _ {1} alpha _ {2} beta _ {2} + alpha _ {1} бета _ {1} beta _ {2} + alpha _ {2} beta _ {1} beta _ {2}, ,}$

${ displaystyle B = alpha _ {1} alpha _ {2} + alpha _ {1} beta _ {1} + alpha _ {1} beta _ {2} + alpha _ {2} beta _ {1} + alpha _ {2} beta _ {2} + beta _ {1} beta _ {2}, ,}$

${ displaystyle A = alpha _ {1} + alpha _ {2} + beta _ {1} + beta _ {2}. ,}$

У нас уже есть два решения, и нам нужны только два других. Следовательно, задача эквивалентна решению квадратного многочлена. В частности, отметим, что

${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2} = { frac {1 - { sqrt {1-4c}}} {2}} + { frac {1 + { sqrt {1- 4c}}} {2}} = { frac {1 + 1} {2}} = 1}$

и

${ displaystyle alpha _ {1} alpha _ {2} = { frac {(1 - { sqrt {1-4c}}) (1 + { sqrt {1-4c}})} {4} } = { frac {1 ^ {2} - ({ sqrt {1-4c}}) ^ {2}} {4}} = { frac {1-1 + 4c} {4}} = { гидроразрыв {4c} {4}} = c.}$

Добавляя их к вышесказанному, мы получаем ${ displaystyle D = c beta _ {1} beta _ {2}}$ и ${ displaystyle A = 1 + beta _ {1} + beta _ {2}}$. Сопоставление их с коэффициентами от расширения ${ displaystyle f}$, мы получили

${ displaystyle D = c beta _ {1} beta _ {2} = c ^ {2} + c}$ и ${ displaystyle A = 1 + beta _ {1} + beta _ {2} = 0.}$

Отсюда легко получаем

${ displaystyle beta _ {1} beta _ {2} = c + 1}$ и ${ displaystyle beta _ {1} + beta _ {2} = - 1}$.

Отсюда построим квадратное уравнение с ${ Displaystyle А '= 1, В = 1, С = с + 1}$ и примените стандартную формулу решения, чтобы получить

${ displaystyle beta _ {1} = { frac {-1 - { sqrt {-3-4c}}} {2}}}$ и ${ displaystyle beta _ {2} = { frac {-1 + { sqrt {-3-4c}}} {2}}.}$

Более пристальное рассмотрение показывает, что:

${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {1}) = beta _ {2}}$ и ${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {2}) = beta _ {1},}$

это означает, что эти две точки являются двумя точками в одном цикле периода-2.

Второй метод факторизации

Мы можем разложить квартику на множители, используя полиномиальное деление в столбик разделить факторы ${ Displaystyle (г- альфа _ {1})}$ и ${ Displaystyle (г- альфа _ {2}),}$ которые учитывают две фиксированные точки ${ displaystyle alpha _ {1}}$ и ${ displaystyle alpha _ {2}}$ (значения которых были указаны ранее и которые все еще остаются в фиксированной точке после двух итераций):

${ Displaystyle (z ^ {2} + c) ^ {2} + c-z = (z ^ {2} + c-z) (z ^ {2} + z + c + 1). ,}$

Корни первого фактора - это две неподвижные точки. Они отталкиваются за пределами основной кардиоиды.

Второй фактор имеет два корня

${ displaystyle { frac {-1 pm { sqrt {-3-4c}}} {2}}. ,}$

Эти два корня, которые совпадают с корнями, найденными первым методом, образуют орбиту с периодом 2.^[7]

Особые случаи

Опять же, давайте посмотрим на ${ displaystyle c = 0}$. потом

${ displaystyle beta _ {1} = { frac {-1-я { sqrt {3}}} {2}}}$ и ${ displaystyle beta _ {2} = { frac {-1 + я { sqrt {3}}} {2}},}$

оба являются комплексными числами. У нас есть ${ Displaystyle | beta _ {1} | = | beta _ {2} | = 1}$. Таким образом, обе эти точки «прячутся» в множестве Жюлиа. Другой частный случай - это ${ displaystyle c = -1}$, который дает ${ displaystyle beta _ {1} = 0}$ и ${ displaystyle beta _ {2} = - 1}$. Это дает хорошо известный суператрактивный цикл, обнаруженный в самой большой доле периода 2 квадратичного множества Мандельброта.

Циклы за период больше 2

Степень уравнения ${ Displaystyle е ^ {(п)} (г) = г}$ 2^п; таким образом, например, чтобы найти точки на 3-х циклах, нам нужно будет решить уравнение степени 8. После разложения факторов, дающих две фиксированные точки, мы получим уравнение шестой степени.

Нет общего решения в радикалы в полиномиальные уравнения пятой степени или выше, поэтому точки на цикле с периодом больше 2, как правило, должны вычисляться с использованием численные методы. Однако в частном случае периода 4 циклические точки имеют длинные выражения в радикалах.^[8]

В случае c = –2, тригонометрический решения существуют для периодических точек всех периодов. Дело ${ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} -2}$ эквивалентен логистическая карта дело р = 4: ${ displaystyle x_ {n + 1} = 4x_ {n} (1-x_ {n}).}$ Здесь эквивалентность дается формулой ${ displaystyle z = 2–4x.}$ Один из k-циклы логистической переменной Икс (все циклы отталкиваются)

${ displaystyle sin ^ {2} left ({ frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} right), , sin ^ {2} left (2 cdot { frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} right), , sin ^ {2} left (2 ^ {2} cdot { frac {2 pi} {2 ^ { k} -1}} right), , sin ^ {2} left (2 ^ {3} cdot { frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} right), dots, sin ^ {2} left (2 ^ {k-1} { frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} right).}$

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Геометрические свойства корней полиномов
• Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2
• Майкл Ф. Барнсли (автор), Стивен Г. Демко (редактор), Chaotic Dynamics and Fractals (Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering Series) Academic Pr (апрель 1986), ISBN  0-12-079060-2
• Вольф Юнг: гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. Кандидат наук. дипломная работа 2002 г.
• Перестановки периодических точек в квадратичных многочленах Дж. Лихи

внешняя ссылка

• Алгебраическое решение орбитальных границ Мандельброта Дональд Д. Кросс
• Метод Брауна Роберт П. Мунафо
• arXiv: hep-th / 0501235v2 В.Долотин, А.Морозов: Алгебраическая геометрия дискретной динамики. Случай одной переменной.