Дуга (проективная геометрия) - Arc (projective geometry)

4-дуга (красные точки) в проективной плоскости порядка 2 (плоскость Фано).

An (просто) дуга в конечном проективная геометрия это набор точек, который интуитивно удовлетворяет изогнутый цифры в непрерывная геометрия. Грубо говоря, это наборы точек, которые далеки от «линейных» в плоскости или далеких от «плоских» в трехмерном пространстве. В этой конечной настройке обычно указывается количество точек в наборе в имени, поэтому эти простые дуги называются k-дуги. Важное обобщение k-дугой, также называемой в литературе дугой, являются (k, d) -дуги.

k-дуги на проективной плоскости

В конечном проективная плоскость π (не обязательно Дезарговский ) множество А из k (k ≥ 3) такие точки, что никакие три точки А находятся коллинеарен (на линии) называется k - дуга. Если самолет π есть заказ q тогда k ≤ q + 2, однако максимальное значение k может быть достигнуто только если q даже.^[1] В плоскости порядка q, а (q + 1)-дуга называется овал и если q чётно (q + 2)-дуга называется гиперовал.

Каждая коника дезарговой проективной плоскости PG (2,q), т. е. множество нулей неприводимого однородного квадратного уравнения, представляет собой овал. Знаменитый результат Бениамино Сегре заявляет, что когда q нечетное, каждый (q + 1)-дуга в PG (2,q) является коникой (Теорема Сегре ). Это один из первых результатов конечная геометрия.

Если q даже и А это (q + 1)-дуга в π, то комбинаторными аргументами можно показать, что должна существовать единственная точка в π (называется ядро из А) такое, что объединение А и эта точка является (q + 2) -дуга. Таким образом, любой овал можно однозначно продолжить до гиперовала в конечной проективной плоскости четного порядка.

А k-дуга, которая не может быть продолжена до большей дуги, называется полная дуга. В дезарговых проективных плоскостях PG (2,q), нет q-дуга завершена, поэтому все они могут быть расширены до овалов.^[2]

k-дуги в проективном пространстве

В конечном проективное пространство PG (п, q) с п ≥ 3, множество А из k ≥ п + 1 такие точки, что нет п + 1 точки лежат в общем гиперплоскость называется (пространственным) k-дуга. Это определение обобщает определение k-дуга в плоскости (где п = 2).

(k, d) -дуги на проективной плоскости

А (k, d)-дуга (k, d > 1) в конечном проективная плоскость π (не обязательно Дезарговский ) - множество, А из k точки π так что каждая линия пересекает А в лучшем случае d точек, и есть хотя бы одна линия, которая пересекает А в d точки. А (k, 2) -дуга - это k-дуга и может называться просто дуга если размер не вызывает беспокойства.

Количество баллов k из (k, d) -дуга А в проективной плоскости порядка q самое большее qd + d − q. Когда происходит равенство, вызывается А а максимальная дуга.

Гиперовали - это максимальные дуги. Полные дуги не обязательно должны быть максимальными.

Смотрите также

• Нормальная рациональная кривая

Примечания

Рекомендации

• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, МИСТЕР  0233275
• Хиршфельд, J.W.P. (1979), Проективные геометрии над конечными полями, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-853526-0

внешняя ссылка

• СМ. О'Киф (2001) [1994], «Дуга», Энциклопедия математики, EMS Press