Теорема Сегреса - Википедия - Segres theorem

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

к определению конечного овала: ${ displaystyle t}$ касательная ${ displaystyle s_ {1}, ... s_ {n}}$ секущие, ${ displaystyle n}$ - порядок проективной плоскости (количество точек на прямой -1)

В проективная геометрия, Теорема Сегре, названный в честь итальянского математика Бениамино Сегре, это утверждение:

• Любой овал в конечный паппиан проективная плоскость из странный порядок - невырожденный проективный коническая секция.

Это утверждение было сделано в 1949 году двумя финскими математиками. Г. Ярнефельт и П. Кустаанхеймо и его доказательство было опубликовано в 1955 г. Б. Сегре.

Конечная папповидная проективная плоскость можно представить как проективное замыкание реальной плоскости (бесконечно удаленной линией), где действительные числа заменены на конечное поле K. Нечетный порядок Значит это |K| = п странно. Овал - это кривая, похожая на круг (см. определение ниже): любая прямая пересекает ее не более чем в 2 точках, и через любую ее точку проходит ровно одна касательная. Стандартные примеры - невырожденные проективные конические сечения.

В папповых проективных плоскостях четное На порядок больше четырех есть овалы, не являющиеся конусами. В бесконечной плоскости существуют овалы, не являющиеся кониками. В реальной плоскости просто склеиваем половину круга и подходящую эллипс плавно.

Доказательство теоремы Сегре, показанное ниже, использует трехточечную версию Теорема Паскаля и свойство конечного поля нечетного порядка, а именно, что произведение всех ненулевых элементов равно -1.

Определение овала

• В проективной плоскости множество ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ точек называется овал, если:

(1) Любая линия ${ displaystyle g}$ встречает ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ не более чем в двух точках.

Если ${ displaystyle | g cap { mathfrak {o}} | = 0}$ линия ${ displaystyle g}$ является внешний вид (или же прохождение) линия; в случае ${ displaystyle | g cap { mathfrak {o}} | = 1}$ а касательная линия и если ${ displaystyle | g cap { mathfrak {o}} | = 2}$ линия секущая линия.

(2) Для любой точки ${ displaystyle P in { mathfrak {o}}}$ существует ровно одна касательная ${ displaystyle t}$ в п, т.е. ${ Displaystyle т кепка { mathfrak {o}} = {P }}$.

За конечный плоскостей (т.е. множество точек конечно) мы имеем более удобную характеристику:

• Для конечной проективной плоскости порядок п (т.е. любая строка содержит п + 1 баллов) набор ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ точек является овалом тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle | { mathfrak {o}} | = п + 1}$ и нет трех точек коллинеарен (по общей линии).

3-точечная версия Паскаля

для доказательства ${ displaystyle g _ { infty}}$ касательная в ${ displaystyle P_ {3}}$

Теорема

Пусть ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ овал в папповой проективной плоскости характеристика ${ displaystyle neq 2}$.
${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ является невырожденной коникой тогда и только тогда, когда утверждение (P3)держит:

(P3): Пусть ${ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ любой треугольник на ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ и ${ displaystyle { overline {P_ {i} P_ {i}}}}$ касательная в точке ${ displaystyle P_ {i}}$ к ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$, то точки

${ displaystyle P_ {4}: = { overline {P_ {1} P_ {1}}} cap { overline {P_ {2} P_ {3}}}, P_ {5}: = { overline {P_ {2} P_ {2}}} cap { overline {P_ {1} P_ {3}}}, P_ {6}: = { overline {P_ {3} P_ {3}}} cap { overline {P_ {1} P_ {2}}}}$

коллинеарны.^[1]

к доказательству 3-точечной теоремы Паскаля

Доказательство

Пусть проективная плоскость скоординирована неоднородно над полем ${ displaystyle K}$ такой, что ${ Displaystyle P_ {3} = (0), ; g _ { infty}}$ касательная в ${ Displaystyle P_ {3}, (0,0) in { mathfrak {o}}}$, ось абсцисс - касательная в точке ${ displaystyle (0,0)}$ и ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ содержит точку ${ displaystyle (1,1)}$. Кроме того, мы полагаем ${ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), ; P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}) .}$ (s. изображение)
Овал ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ можно описать функцией ${ displaystyle f: K mapsto K}$ такой, что:

${ displaystyle { mathfrak {o}} = {(x, y) in K ^ {2} ; | ; y = f (x) } cup {( infty) } ;.}$

Касательная в точке ${ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}$ будет описан с помощью функции ${ displaystyle f '}$ такое, что его уравнение

${ displaystyle y = f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + f (x_ {0})}$

Следовательно (см. Изображение)

${ Displaystyle P_ {5} = (x_ {1}, f '(x_ {2}) (x_ {1} -x_ {2}) + f (x_ {2}))}$ и ${ Displaystyle P_ {4} = (x_ {2}, f '(x_ {1}) (x_ {2} -x_ {1}) + f (x_ {1})) ;.}$

Я: если ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ является невырожденной коникой, имеем ${ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$ и ${ displaystyle f '(x) = 2x}$ и легко вычислить, что ${ displaystyle P_ {4}, P_ {5}, P_ {6}}$ коллинеарны.

II: Если ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ овал со свойством (P3), наклон линии ${ displaystyle { overline {P_ {4} P_ {5}}}}$ равен наклону прямой ${ displaystyle { overline {P_ {1} P_ {2}}}}$, это означает:

${ displaystyle f '(x_ {2}) + f' (x_ {1}) - { frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1 }}} = { frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1}}}}$ и поэтому

(я): ${ displaystyle (f '(x_ {2}) + f' (x_ {1})) (x_ {2} -x_ {1}) = 2 (f (x_ {2}) - f (x_ {1}) ))}$ для всех ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2} in K}$.

С ${ Displaystyle f (0) = f '(0) = 0}$ один получает

(ii): ${ displaystyle f '(x_ {2}) x_ {2} = 2f (x_ {2})}$ и из ${ Displaystyle f (1) = 1}$ мы получили

(iii): ${ Displaystyle F '(1) = 2 ;}$

(i) и (ii) дают

(iv): ${ displaystyle f '(x_ {2}) x_ {1} = f' (x_ {1}) x_ {2}}$ и с (iii) по крайней мере, мы получаем

(v): ${ displaystyle f '(x_ {2}) = 2x_ {2}}$ для всех ${ displaystyle x_ {2} in K}$.

Следствием (ii) и (v) является

${ displaystyle f (x_ {2}) = x_ {2} ^ {2}, ; x_ {2} in K}$.

Следовательно ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ является невырожденной коникой.

Замечание:Свойство (P3) выполняется для любого овала в папповой проективной плоскости характеристики 2 с ядром (все касательные пересекаются в ядре). Следовательно, в этом случае (P3) также верно для неконических овалов.^[2]

Теорема Сегре и ее доказательство

Теорема

Любой овал ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ в конечный паппиан проективная плоскость странный порядок - невырожденное коническое сечение.

Трехточечная версия теоремы Паскаля, для доказательства мы предполагаем ${ displaystyle g _ { infty} = { overline {P_ {2} P_ {3}}}}$

Теорема Сегре: к ее доказательству

Доказательство

^[3]

Для доказательства покажем, что овал обладает свойством (P3) 3-точечной версии теоремы Паскаля.

Пусть ${ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ любой треугольник на ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ и ${ displaystyle P_ {4}, P_ {5}, P_ {6}}$ определяется как описано в (P3). Папповская плоскость будет неоднородно координирована над конечным полем ${ displaystyle K}$, так что${ Displaystyle P_ {3} = ( infty), ; P_ {2} = (0), ; P_ {1} = (1,1)}$ и ${ displaystyle (0,0)}$ точка пересечения касательных в ${ displaystyle P_ {2}}$ и ${ displaystyle P_ {3}}$. Овал ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ можно описать с помощью биективный функция ${ displaystyle f: K ^ {*}: = K cup setminus {0 } mapsto K ^ {*}}$:

${ displaystyle { mathfrak {o}} = {(x, y) in K ^ {2} ; | ; y = f (x), ; x neq 0 } ; cup ; {(0), ( infty) } ;.}$

Для точки ${ Displaystyle Р = (х, у), ; х в К setminus {0,1 }}$, выражение ${ Displaystyle м (х) = { tfrac {е (х) -1} {х-1}}}$ наклон секущей ${ Displaystyle { overline {PP_ {1}}} ;.}$ Поскольку обе функции ${ Displaystyle х mapsto f (x) -1}$ и ${ Displaystyle х mapsto х-1}$ биекции от${ Displaystyle К setminus {0,1 }}$ к ${ Displaystyle К setminus {0, -1 }}$, и ${ Displaystyle х mapsto м (х)}$ биекция от ${ Displaystyle К setminus {0,1 }}$ на ${ Displaystyle К setminus {0, m_ {1} }}$, куда ${ displaystyle m_ {1}}$ наклон касательной в точке ${ displaystyle P_ {1}}$, за ${ displaystyle K ^ {**}: = K setminus {0,1 } ;:}$ мы получили

${ displaystyle prod _ {x in K ^ {**}} (f (x) -1) = prod _ {x in K ^ {**}} (x-1) = 1 quad { text {und}} quad m_ {1} cdot prod _ {x in K ^ {**}} { frac {f (x) -1} {x-1}} = - 1 ; .}$

(Примечание: для ${ Displaystyle К ^ {*}: = К setminus {0 }}$ у нас есть: ${ displaystyle displaystyle prod _ {k in K ^ {*}} k = -1 ;.}$)
Следовательно

${ Displaystyle -1 = m_ {1} cdot prod _ {x in K ^ {**}} { frac {f (x) -1} {x-1}} = m_ {1} cdot { гидроразрыва { displaystyle prod _ {x in K ^ {**}} (f (x) -1)} { displaystyle prod _ {x in K ^ {**}} (x-1 )}} = m_ {1} ;.}$

Потому что наклоны линии ${ displaystyle { overline {P_ {5} P_ {6}}}}$ и касательная${ displaystyle { overline {P_ {1} P_ {1}}}}$ оба ${ displaystyle -1}$, следует, что${ displaystyle { overline {P_ {1} P_ {1}}} cap { overline {P_ {2} P_ {3}}} = P_ {4} in { overline {P_ {5} P_ { 6}}}}$Это верно для любого треугольника. ${ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3} in { mathfrak {o}}}$.

Так: (P3) 3-точечной теоремы Паскаля и овал является невырожденной коникой.

Рекомендации

Источники

• Б. Сегре: Овалы в конечной проективной плоскости, Canadian Journal of Mathematics 7 (1955), стр. 414–416.
• Г. Ярнефельт & П. Кустаанхеймо: Наблюдение за конечной геометрией, Den 11 te Skandinaviske Matematikerkongress, Тронхейм (1949), стр. 166–182.
• Альбрехт Бойтельшпахер, Уте Розенбаум: Проективная геометрия. 2. Auflage. Vieweg, Висбаден 2004, ISBN  3-528-17241-X, п. 162.
• П. Дембовски: Конечная геометрия. Springer-Verlag, 1968 г., ISBN  3-540-61786-8, п. 149

внешняя ссылка

• Симеон Болл и Жужа Вайнер: Введение в конечную геометрию [1] п. 17.