Формула Дынкина - Википедия - Dynkins formula

В математика - в частности, в стохастический анализ — Формула Дынкина это теорема, дающая ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики It распространение в время остановки. Это можно рассматривать как стохастическое обобщение (второго) основная теорема исчисления. Он назван в честь русский математик Евгений Дынкин.

Формулировка теоремы

Позволять Икс быть р^п-значная диффузия Itō, решающая стохастическое дифференциальное уравнение

{ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}) , mathrm {d} B_ {t}.}

Для точки Икс ∈ р^п, позволять п^Икс обозначают закон Икс с учетом исходных данных Икс₀ = Икс, и разреши E^Икс обозначают ожидание относительно п^Икс.

Позволять А быть бесконечно малый генератор из Икс, определяемый его действием на компактно поддерживаемый C² (дважды дифференцируемые с непрерывной второй производной) функции ж : р^п → р в качестве

{ displaystyle Af (x) = lim _ {t downarrow 0} { frac { mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}}

или, что то же самое,

{ displaystyle Af (x) = sum _ {i} b_ {i} (x) { frac { partial f} { partial x_ {i}}} (x) + { frac {1} {2 }} sum _ {i, j} { big (} sigma sigma ^ { top} { big)} _ {i, j} (x) { frac { partial ^ {2} f} { partial x_ {i} , partial x_ {j}}} (x).}

Позволять τ быть временем остановки с E^Икс[τ] <+ ∞, и пусть ж быть C² с компактной опорой. потом Формула Дынкина держит:

{ Displaystyle mathbf {E} ^ {x} [е (X _ { tau})] = f (x) + mathbf {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau } Af (X_ {s}) , mathrm {d} s right].}

Фактически, если τ время первого выхода для ограниченное множество B ⊂ р^п с E^Икс[τ] <+ ∞, то формула Дынкина верна для всех C² функции ж, без предположения о компактной опоре.

Пример

Формулу Дынкина можно использовать для определения ожидаемого времени первого выхода. τ_K из Броуновское движение B от закрытый мяч

{ Displaystyle К = К_ {R} = {х в mathbf {R} ^ {n} | , | х | Leq R },}

который, когда B начинается с точки а в интерьер из K, дан кем-то

{ displaystyle mathbf {E} ^ {a} [ tau _ {K}] = { frac {1} {n}} { big (} R ^ {2} - | a | ^ {2} { большой )}.}

Выберите целое число j. Стратегия заключается в применении формулы Дынкина с Икс = B, τ = σ_j = мин (j, τ_K) и компактно-опорный C² ж с ж(Икс) = |Икс|² на K. Генератором броуновского движения является Δ / 2, где Δ обозначает Оператор лапласа. Следовательно, по формуле Дынкина