Случайное блуждание в непрерывном времени - Continuous-time random walk

В математике случайное блуждание в непрерывном времени (CTRW) является обобщением случайная прогулка где блуждающая частица ждет случайное время между прыжками. Это стохастический процесс прыжка с произвольным распределением длин прыжков и времени ожидания.^[1][2][3] В более общем плане это можно рассматривать как частный случай Марковский процесс обновления.

Мотивация

CTRW был представлен Montroll и Weiss^[4] как обобщение физического процесса диффузии для эффективного описания аномальная диффузия, т.е. супер- и субдиффузионный случаи. Эквивалентная формулировка CTRW дается обобщенным основные уравнения.^[5] Связь между CTRW и уравнениями диффузии с дробные производные по времени был установлен.^[6] По аналогии, уравнения пространственно-временной дробной диффузии могут рассматриваться как CTRW с непрерывно распределенными скачками или как континуальные приближения CTRW на решетках.^[7]

Формулировка

Простая формулировка CTRW заключается в рассмотрении случайного процесса ${ Displaystyle X (т)}$ определяется

${ Displaystyle X (t) = X_ {0} + sum _ {i = 1} ^ {N (t)} Delta X_ {i},}$

чьи приращения ${ displaystyle Delta X_ {i}}$ находятся iid случайные переменные, принимающие значения в области ${ displaystyle Omega}$ и ${ Displaystyle N (т)}$ количество скачков в интервале ${ displaystyle (0, t)}$. Вероятность того, что процесс принимает значение ${ displaystyle X}$ вовремя ${ displaystyle t}$ тогда дается

${ Displaystyle P (X, t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} P (n, t) P_ {n} (X).}$

Здесь ${ Displaystyle P_ {п} (X)}$ вероятность того, что процесс принимает значение ${ displaystyle X}$ после ${ displaystyle n}$ прыжки, и ${ Displaystyle P (п, т)}$ это вероятность иметь ${ displaystyle n}$ прыгает после времени ${ displaystyle t}$.

Формула Монтролля-Вайса

Обозначим через ${ Displaystyle тау}$ время ожидания между двумя прыжками ${ Displaystyle N (т)}$ и по ${ Displaystyle пси ( тау)}$ его распространение. В Преобразование Лапласа из ${ Displaystyle пси ( тау)}$ определяется

${ displaystyle { tilde { psi}} (s) = int _ {0} ^ { infty} d tau , e ^ {- tau s} psi ( tau).}$

Точно так же характеристическая функция распределения скачка ${ Displaystyle f ( Delta X)}$ дается его преобразование Фурье:

${ displaystyle { hat {f}} (k) = int _ { Omega} d ( Delta X) , e ^ {ik Delta X} f ( Delta X).}$

Можно показать, что преобразование Лапласа-Фурье вероятности ${ Displaystyle P (X, t)}$ дан кем-то

${ displaystyle { hat { tilde {P}}} (k, s) = { frac {1 - { tilde { psi}} (s)} {s}} { frac {1} {1 - { tilde { psi}} (s) { hat {f}} (k)}}.}$

Вышеуказанное называется Montroll -Weiss формула.

Примеры

В однородный точечный процесс Пуассона представляет собой случайное блуждание в непрерывном времени с экспоненциальным временем удержания и с каждым приращением, детерминированно равным 1.

Рекомендации