Абстрактное винеровское пространство - Abstract Wiener space

Концепция абстрактное винеровское пространство математическая конструкция, разработанная Леонард Гросс понять структуру Гауссовские меры на бесконечномерных пространствах. Конструкция подчеркивает фундаментальную роль, которую играет Пространство Камерона – Мартина. В классическое винеровское пространство это прототипный пример.

В структурная теорема для гауссовских мер утверждает, что все Гауссовские меры можно представить с помощью абстрактной конструкции винеровского пространства.

Мотивация

Позволять ${displaystyle H}$ быть настоящим Гильбертово пространство, предполагается бесконечномерным и отделяемый. В физической литературе часто встречаются интегралы вида

${displaystyle {frac {1} {Z}} int _ {H} f (v) e ^ {- {frac {1} {2}} Vert vVert ^ {2}} Dv,}$

куда ${displaystyle Z}$ предполагается константа нормализации и где ${displaystyle Dv}$ должен быть несуществующая мера Лебега на ${displaystyle H}$. Такие интегралы возникают, в частности, в контексте Формулировка евклидова интеграла по путям квантовой теории поля. На математическом уровне такой интеграл нельзя интерпретировать как интегрирование по мера на исходном гильбертовом пространстве ${displaystyle H}$. С другой стороны, предположим ${displaystyle B}$ является банаховым пространством, содержащим ${displaystyle H}$ как плотное подпространство. Если ${displaystyle B}$ "достаточно больше", чем ${displaystyle H}$, то указанный выше интеграл можно интерпретировать как интегрирование по хорошо определенной (гауссовской) мере на ${displaystyle B}$. В этом случае пара ${displaystyle (H, B)}$ называется абстрактным винеровским пространством.

Прототипным примером является классическое винеровское пространство, в котором ${displaystyle H}$ гильбертово пространство действительных функций ${displaystyle b}$ на интервале ${displaystyle [0, T]}$ имеющий одну производную в ${displaystyle L ^ {2}}$ и удовлетворение ${displaystyle b (0) = 0}$, с нормой

${displaystyle leftVert bightVert ^ {2} = int _ {0} ^ {T} b '(t) ^ {2}, dt.}$

В таком случае, ${displaystyle B}$ можно принять за банахово пространство непрерывных функций на ${displaystyle [0, T]}$ с верхняя норма. В этом случае мера на ${displaystyle B}$ это Мера Винера описание Броуновское движение начиная с начала координат. Исходное подпространство ${displaystyle Hsubset B}$ называется Пространство Камерона – Мартина, который образует множество меры нуль относительно меры Винера.

Предыдущий пример означает, что у нас есть формальный выражение для меры Винера:

${displaystyle dmu (b) = {frac {1} {Z}} exp left {- {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} b '(t) ^ {2}, dtight} , Db.}$

Хотя это формальное выражение предлагает что мера Винера должна жить на пространстве путей, для которых ${displaystyle int _ {0} ^ {T} b '(t) ^ {2}, dt$, на самом деле это не так. (Броуновские пути, как известно, нигде не дифференцируются с вероятностью единица.)

Абстрактная конструкция винеровского пространства Гросса абстрагирует ситуацию для классического винеровского пространства и обеспечивает необходимое и достаточное (иногда трудно проверить) условие существования гауссовой меры на ${displaystyle B}$. Хотя гауссова мера ${displaystyle mu}$ Живет на ${displaystyle B}$ скорее, чем ${displaystyle H}$, это геометрия ${displaystyle H}$ скорее, чем ${displaystyle B}$ который контролирует свойства ${displaystyle mu}$. Как говорит сам Гросс^[1] (адаптировано к нашим обозначениям), «Однако только в работе И.Е. Сигала, посвященной нормальному распределению в реальном гильбертовом пространстве, стало очевидно, что роль гильбертова пространства ${displaystyle H}$ был действительно центральным, и это в том, что касается анализа ${displaystyle B}$ обеспокоен, роль ${displaystyle B}$ сам по себе был вспомогательным для многих теорем Кэмерона и Мартина, а в некоторых случаях даже ненужным ». Одна из привлекательных особенностей построения абстрактного винеровского пространства Гросса заключается в том, что оно требует ${displaystyle H}$ в качестве отправной точки и рассматривает ${displaystyle B}$ как вспомогательный объект.

Хотя формальные выражения для ${displaystyle mu}$ Появившиеся ранее в этом разделе являются чисто формальными выражениями в стиле физики, они очень полезны для понимания свойств ${displaystyle mu}$. Примечательно, что с помощью этих выражений можно легко вывести (правильную!) Формулу для плотности перенесенной меры ${displaystyle dmu (b + h)}$ относительно ${displaystyle dmu (b)}$, за ${displaystyle hin H}$. (См. Теорема Камерона – Мартина.)

Математическое описание

Размер набора цилиндров включен ${displaystyle H}$

Позволять ${displaystyle H}$ - гильбертово пространство, определенное над действительными числами, которое предполагается бесконечномерным и сепарабельным. А набор цилиндров в ${displaystyle H}$ - множество, определенное в терминах значений конечного набора линейных функционалов на ${displaystyle H}$. В частности, предположим ${displaystyle phi _ {1}, ldots, phi _ {n}}$ - линейные непрерывные функционалы на ${displaystyle H}$ и ${displaystyle E}$ это Набор Бореля в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Тогда мы можем рассматривать множество

${displaystyle C = left {vin H | (phi _ {1} (v), ldots, phi _ {n} (v)) в восьмерке}.}$

Любой набор этого типа называется набором цилиндров. Совокупность всех цилиндрических множеств образует алгебру множеств в ${displaystyle H}$ но это не ${displaystyle sigma}$-алгебра.

Существует следующий естественный способ определения «меры» на множествах цилиндров. По теореме Рисса линейные функционалы ${displaystyle phi _ {1}, ldots phi _ {n}}$ даны как внутренний продукт с векторами ${displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n}}$ в ${displaystyle H}$. В свете процедуры Грама – Шмидта безвредно предположить, что ${displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n}}$ ортонормированы. В этом случае мы можем сопоставить определенному выше набору цилиндров ${displaystyle C}$ мера ${displaystyle E}$ относительно стандартной гауссовской меры на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. То есть мы определяем

${displaystyle mu (C) = (2pi) ^ {- n / 2} int _ {Esubset mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- Vert xVert ^ {2} / 2}, dx,}$

куда ${displaystyle dx}$ стандартная мера Лебега на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Из-за структуры продукта стандартной гауссовской меры на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, нетрудно показать, что ${displaystyle mu}$ хорошо определено. То есть хотя тот же набор ${displaystyle C}$ может быть представлен как набор цилиндров более чем одним способом, значение ${displaystyle mu (C)}$ всегда одно и то же.

Отсутствие меры на ${displaystyle H}$

Набор функционал ${displaystyle mu}$ называется стандартным гауссовским измерение набора цилиндров на ${displaystyle H}$. Предполагая (как и мы), что ${displaystyle H}$ бесконечномерно, ${displaystyle mu}$ не до счетно-аддитивной меры на ${displaystyle sigma}$-алгебра, порожденная набором цилиндров в ${displaystyle H}$. Можно понять сложность, рассмотрев поведение стандартной гауссовской меры на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ данный

${displaystyle (2pi) ^ {- n / 2} e ^ {- Vert xVert ^ {2} / 2}, dx.}$

Значение математического ожидания квадрата нормы относительно этой меры вычисляется как элементарная Гауссов интеграл в качестве

${displaystyle (2pi) ^ {- n / 2} int _ {mathbb {R} ^ {n}} Vert xVert ^ {2} e ^ {- Vert xVert ^ {2} / 2}, dx = sum _ {i = 1} ^ {n} int _ {mathbb {R}} x_ {i} ^ {2} e ^ {- x_ {i} ^ {2} / 2}, dx_ {i} = n.}$

То есть типичное расстояние от начала координат вектора, выбранного случайным образом в соответствии со стандартной гауссовой мерой на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ является ${displaystyle {sqrt {n}}.}$ В качестве ${displaystyle n}$ стремится к бесконечности, это типичное расстояние стремится к бесконечности, что указывает на отсутствие четко определенной «стандартной гауссовской» меры на ${displaystyle H}$. (Типичное расстояние от начала координат будет бесконечным, так что мера фактически не будет жить в пространстве ${displaystyle H}$.)

Наличие меры на ${displaystyle B}$

Теперь предположим, что ${displaystyle B}$ является сепарабельным банаховым пространством и что ${displaystyle i: Hightarrow B}$ является инъективный непрерывная линейная карта чей образ плотен в ${displaystyle B}$. Тогда безвредно (и удобно) идентифицировать ${displaystyle H}$ с изображением внутри ${displaystyle B}$ и таким образом рассматривать ${displaystyle H}$ как плотное подмножество ${displaystyle B}$. Затем мы можем построить меру множества цилиндров на ${displaystyle B}$ путем определения размера набора цилиндров ${displaystyle Csubset B}$ быть ранее определенной мерой набора цилиндров ${displaystyle Ccap H}$, представляющий собой цилиндр, установленный в ${displaystyle H}$.

Идея построения абстрактного винеровского пространства состоит в том, что если ${displaystyle B}$ достаточно больше, чем ${displaystyle H}$, то цилиндрический набор измеряется на ${displaystyle B}$, в отличие от цилиндра, установленного на ${displaystyle H}$, будет продолжаться до счетно аддитивной меры на сгенерированном ${displaystyle sigma}$-алгебра. Оригинальная статья Гросса^[2] дает необходимое и достаточное условие на ${displaystyle B}$ чтобы это было так. Мера на ${displaystyle B}$ называется Гауссова мера и подпространство ${displaystyle Hsubset B}$ называется Пространство Камерона – Мартина. Важно подчеркнуть, что ${displaystyle H}$ образует множество нулевой меры внутри ${displaystyle B}$, подчеркивая, что гауссова мера живет только на ${displaystyle B}$ а не на ${displaystyle H}$.

Результатом всего этого обсуждения является то, что гауссовские интегралы типа, описанного в разделе мотивации, действительно имеют строгую математическую интерпретацию, но они не живут в пространстве, норма которого встречается в экспоненте формального выражения. Скорее, они живут на более просторном пространстве.

Универсальность конструкции

Построение абстрактного винеровского пространства - это не просто один из методов построения гауссовских мер. Скорее, каждый Таким образом возникает гауссовская мера на бесконечномерном банаховом пространстве. (См. структурная теорема для гауссовских мер.) То есть, учитывая гауссову меру ${displaystyle mu}$ на бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве (над ${displaystyle mathbb {R}}$) можно выделить Подпространство Камерона – Мартина ${displaystyle Hsubset B}$, после чего пара ${displaystyle (H, B)}$ становится абстрактным винеровским пространством и ${displaystyle mu}$ - ассоциированная гауссова мера.

Характеристики

• ${displaystyle mu}$ это Мера Бореля: определяется на Борелевская σ-алгебра генерируется открытые подмножества из B.
• ${displaystyle mu}$ это Гауссова мера в том смысле, что ж_∗(${displaystyle mu}$) - гауссова мера на р для каждого линейный функционал ж ∈ B^∗, ж ≠ 0.
• Следовательно, ${displaystyle mu}$ строго положительно и локально конечно.
• Поведение ${displaystyle mu}$ под перевод описывается Теорема Камерона – Мартина.
• Учитывая два абстрактных винеровских пространства я₁ : ЧАС₁ → B₁ и я₂ : ЧАС₂ → B₂, можно показать, что ${displaystyle gamma _ {12} = gamma _ {1} otimes gamma _ {2}}$. В полном объеме:

${displaystyle (i_ {1} imes i_ {2}) _ {*} (mu ^ {H_ {1} imes H_ {2}}) = (i_ {1}) _ {*} left (mu ^ {H_ { 1}} ight) otimes (i_ {2}) _ {*} left (mu ^ {H_ {2}} ight),}$

т.е. абстрактная мера Винера ${displaystyle mu _ {12}}$ на Декартово произведение B₁ × B₂ является продуктом абстрактных мер Винера по двум факторам B₁ и B₂.

• Если ЧАС (и B) бесконечномерны, то образ ЧАС имеет измерять ноль. Этот факт является следствием Закон нуля или единицы Колмогорова.

Пример: классическое винеровское пространство

Прототипическим примером абстрактного винеровского пространства является пространство непрерывных пути, и известен как классическое винеровское пространство. Это абстрактное винеровское пространство, в котором ${displaystyle H}$ дан кем-то

${displaystyle H: = L_ {0} ^ {2,1} ([0, T]; mathbb {R} ^ {n}): = {{ext {пути, начинающиеся с 0, с интегрируемой с квадратом первой производной}}} }$

с внутренний продукт данный

${displaystyle langle sigma _ {1}, sigma _ {2} angle _ {L_ {0} ^ {2,1}}: = int _ {0} ^ {T} langle {dot {sigma}} _ {1} (t), {точка {сигма}} _ {2} (t) угол _ {mathbb {R} ^ {n}}, mathrm {d} t,}$

и ${displaystyle B}$ есть пространство непрерывных отображений ${displaystyle [0, T]}$ в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ начиная с 0, с единая норма. В этом случае гауссова мера ${displaystyle mu}$ это Мера Винера, который описывает Броуновское движение в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, начиная с начала координат.

Общий результат, что ${displaystyle H}$ образует множество нулевой меры относительно ${displaystyle mu}$ в этом случае отражает неровность типичного броуновского пути, который, как известно, нигде не дифференцируемый. Это контрастирует с предполагаемой дифференцируемостью путей в ${displaystyle H}$.

Смотрите также

• Структурная теорема для гауссовских мер
• Не существует бесконечномерной меры Лебега.

Рекомендации

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявэна. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. х + 113. ISBN  0-486-44994-7. МИСТЕР  2250060. (См. Раздел 1.1)
• Гросс, Леонард (1967). «Абстрактные винеровские пространства». Proc. Пятый симпозиум в Беркли. Математика. Статист. and Probability (Беркли, Калифорния, 1965/66), Vol. II: Вклад в теорию вероятностей, часть 1. Беркли, Калифорния: Univ. California Press. С. 31–42. МИСТЕР  0212152.
• Куо, Хуэй Сюн (1975). Гауссовские меры в банаховых пространствах. Берлин – Нью-Йорк: Springer. п. 232. ISBN  978-1419645808.