Местный мартингейл - Local martingale

В математика, а местный мартингейл это тип случайный процесс, удовлетворяя локализованный версия мартингейл свойство. Каждый мартингейл - это местный мартингейл; каждый ограниченный местный мартингейл является мартингалом; в частности, каждый локальный мартингал, ограниченный снизу, является супермартингалом, а каждый локальный мартингал, ограниченный сверху, является субмартингалом; однако в целом локальный мартингейл не является мартингалом, поскольку его ожидания могут быть искажены большими значениями с малой вероятностью. В частности, Бездрейфовый процесс диффузии это местный мартингейл, но не обязательно мартингейл.

Местные мартингалы необходимы в стохастический анализ, видеть It исчисление, семимартингал, Теорема Гирсанова.

Определение

Позволять ${displaystyle (Omega, F, P)}$ быть вероятностное пространство; позволять ${displaystyle F _ {*} = {F_ {t} mid tgeq 0}}$ быть фильтрация из ${displaystyle F}$; позволять ${displaystyle X: [0, infty) imes Omega ightarrow S}$ быть ${displaystyle F _ {*}}$-адаптированный случайный процесс на съемочной площадке ${displaystyle S}$. потом ${displaystyle X}$ называется ${displaystyle F _ {*}}$-местный мартингейл если существует последовательность ${displaystyle F _ {*}}$-время остановки ${displaystyle au _ {k}: Omega ightarrow [0, infty)}$ такой, что

• то ${displaystyle au _ {k}}$ находятся почти наверняка увеличение: ${displaystyle P {au _ {k}$;
• то ${displaystyle au _ {k}}$ расходятся почти наверняка: ${displaystyle P {lim _ {kightarrow infty} au _ {k} = infty} = 1}$;
• то остановленный процесс

${displaystyle X_ {t} ^ {au _ {k}}: = X_ {min {t, au _ {k}}}}$

является ${displaystyle F _ {*}}$-мартингейл на каждый ${displaystyle k}$.

Примеры

Пример 1

Позволять W_т быть Винеровский процесс и Т = min {т : W_т = −1} время первого попадания -1. В остановленный процесс W_{min {т, Т }} мартингейл; его ожидание всегда равно 0, тем не менее его предел (как т → ∞) почти наверное равно −1 (своего рода разорение игрока ). Изменение времени приводит к процессу

${displaystyle displaystyle X_ {t} = {egin {case} W_ {min left ({frac {t} {1-t}}, Tight)} & {ext {for}} 0leq t <1, - 1 & {ext {for}} 1leq t$

Процесс ${displaystyle X_ {t}}$ непрерывна почти наверняка; тем не менее, его ожидание прерывисто,

${displaystyle displaystyle operatorname {E} X_ {t} = {egin {cases} 0 & {ext {for}} 0leq t <1, - 1 & {ext {for}} 1leq t$

Этот процесс не мартингейл. Однако это местный мартингейл. Последовательность локализации может быть выбрана как ${displaystyle au _ {k} = min {t: X_ {t} = k}}$ если есть такой т, иначе τ_k = k. Эта последовательность расходится почти наверняка, так как τ_k = k для всех k достаточно большой (а именно для всех k которые превышают максимальное значение процесса Икс). Процесс остановился на τ_k это мартингал.^{[подробнее 1]}

Пример 2

Позволять W_т быть Винеровский процесс и ƒ измеримая функция такая, что ${displaystyle operatorname {E} | f (W_ {1}) |$ Тогда мартингейлом является следующий процесс:

${displaystyle X_ {t} = operatorname {E} (f (W_ {1}) mid F_ {t}) = {egin {cases} f_ {1-t} (W_ {t}) & {ext {for}} 0leq t <1, f (W_ {1}) & {ext {for}} 1leq t$

здесь

${displaystyle f_ {s} (x) = operatorname {E} f (x + W_ {s}) = int f (x + y) {frac {1} {sqrt {2pi s}}} mathrm {e} ^ { -y ^ {2} / (2s)}, dy.}$

В Дельта-функция Дирака ${displaystyle delta}$ (строго говоря, не функция), который используется вместо ${displaystyle f,}$ приводит к процессу, неформально определяемому как ${displaystyle Y_ {t} = operatorname {E} (delta (W_ {1}) mid F_ {t})}$ и формально как

${displaystyle Y_ {t} = {egin {cases} delta _ {1-t} (W_ {t}) & {ext {for}} 0leq t <1, 0 & {ext {for}} 1leq t$

куда

${displaystyle delta _ {s} (x) = {frac {1} {sqrt {2pi s}}} mathrm {e} ^ {- x ^ {2} / (2s)}.}$

Процесс ${displaystyle Y_ {t}}$ непрерывно почти наверное (так как ${displaystyle W_ {1} экв 0}$ почти наверняка), тем не менее, его ожидание прерывисто,

${displaystyle operatorname {E} Y_ {t} = {egin {cases} 1 / {sqrt {2pi}} & {ext {for}} 0leq t <1, 0 & {ext {for}} 1leq t$

Этот процесс не мартингейл. Однако это местный мартингейл. Последовательность локализации может быть выбрана как ${displaystyle au _ {k} = min {t: Y_ {t} = k}.}$

Пример 3

Позволять ${displaystyle Z_ {t}}$ быть комплексный винеровский процесс, и

${displaystyle X_ {t} = ln | Z_ {t} -1 | ,.}$

Процесс ${displaystyle X_ {t}}$ непрерывно почти наверное (так как ${displaystyle Z_ {t}}$ почти наверняка не достигает 1) и является локальным мартингалом, поскольку функция ${displaystyle umapsto ln | u-1 |}$ является гармонический (на комплексной плоскости без точки 1). Последовательность локализации может быть выбрана как ${displaystyle au _ {k} = min {t: X_ {t} = - k}.}$ Тем не менее, ожидание этого процесса непостоянно; более того,

${displaystyle operatorname {E} X_ {t} o infty}$ в качестве ${displaystyle to infty,}$

что можно вывести из того факта, что среднее значение ${displaystyle ln | u-1 |}$ по кругу ${displaystyle | u | = r}$ стремится к бесконечности как ${displaystyle r o infty}$. (Фактически, это равно ${displaystyle ln r}$ за р ≥ 1, но до 0 для р ≤ 1).

Мартингейлы через местные мартингалы

Позволять ${displaystyle M_ {t}}$ быть местным мартингалом. Чтобы доказать, что это мартингал, достаточно доказать, что ${displaystyle M_ {t} ^ {au _ {k}} o M_ {t}}$ в L¹ (в качестве ${displaystyle k o infty}$) для каждого т, то есть, ${displaystyle operatorname {E} | M_ {t} ^ {au _ {k}} - M_ {t} | o 0;}$ здесь ${displaystyle M_ {t} ^ {au _ {k}} = M_ {twedge au _ {k}}}$ это остановленный процесс. Данное отношение ${displaystyle au _ {k} o infty}$ подразумевает, что ${displaystyle M_ {t} ^ {au _ {k}} o M_ {t}}$ почти наверняка. В теорема о доминируемой сходимости обеспечивает сходимость в L¹ при условии, что

${displaystyle extstyle (*) имя оператора quad {E} sup _ {k} | M_ {t} ^ {au _ {k}} |$ для каждого т.

Таким образом, условия (*) достаточно для локального мартингала ${displaystyle M_ {t}}$ быть мартингалом. Более сильное состояние

${displaystyle extstyle (**) имя оператора quad {E} sup _ {sin [0, t]} | M_ {s} |$ для каждого т

тоже достаточно.

Осторожность. Более слабое состояние

${displaystyle extstyle sup _ {sin [0, t]} имя оператора {E} | M_ {s} |$ для каждого т

не достаточно. Кроме того, условие

${displaystyle extstyle sup _ {tin [0, infty)} имя оператора {E} mathrm {e} ^ {| M_ {t} |}$

все еще недостаточно; контрпример см. Пример 3 выше.

Особый случай:

${displaystyle extstyle M_ {t} = f (t, W_ {t}),}$

куда ${displaystyle W_ {t}}$ это Винеровский процесс, и ${displaystyle f: [0, infty) imes mathbb {R} или mathbb {R}}$ является дважды непрерывно дифференцируемый. Процесс ${displaystyle M_ {t}}$ является локальным мартингейлом тогда и только тогда, когда ж удовлетворяет PDE

${displaystyle {Big (} {frac {partial} {partial t}} + {frac {1} {2}} {frac {partial ^ {2}} {partial x ^ {2}}} {Big)} f ( t, x) = 0.}$

Однако сам по себе этот PDE не гарантирует, что ${displaystyle M_ {t}}$ это мартингал. Чтобы применить (**) следующее условие на ж достаточно: для каждого ${displaystyle varepsilon> 0}$ и т Существует ${displaystyle C = C (varepsilon, t)}$ такой, что

${displaystyle extstyle | f (s, x) | leq Cmathrm {e} ^ {varepsilon x ^ {2}}}$

для всех ${displaystyle sin [0, t]}$ и ${displaystyle xin mathbb {R}.}$

Технические детали

Рекомендации

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1.