Точечный процесс - Point process

В статистика и теория вероятности, а точечный процесс или же точечное поле представляет собой набор математических точек, случайно расположенных в некотором базовом математическом пространстве, таком как вещественная линия, декартова плоскость или более абстрактные пространства. Точечные процессы могут использоваться как математические модели явлений или объектов, представленных как точки в некотором типе пространства.

Существуют различные математические интерпретации точечного процесса, такие как случайный счетчик или случайный набор.^[1][2] Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и случайный процесс как два разных объекта, так что точечный процесс - это случайный объект, который возникает из стохастического процесса или связан с ним,^[3][4] хотя было отмечено, что разница между точечными процессами и случайными процессами не ясна.^[4] Другие рассматривают точечный процесс как случайный процесс, в котором процесс индексируется наборами базового пространства.^[а] на котором он определен, например, действительная линия или ${ displaystyle n}$-мерное евклидово пространство.^[7][8] Другие случайные процессы, такие как процессы обновления и счета, изучаются в теории точечных процессов.^[9][10] Иногда термин «точечный процесс» не является предпочтительным, поскольку исторически слово «процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называется случайным точечным полем.^[11]

Точечные процессы - хорошо изученные объекты в теория вероятности^[12][13] и предметом мощных инструментов в статистика для моделирования и анализа пространственные данные,^[14][15] который представляет интерес в таких разнообразных дисциплинах, как лесное хозяйство, экология растений, эпидемиология, география, сейсмология, материаловедение, астрономия, телекоммуникации, вычислительная нейробиология,^[16] экономика^[17] и другие.

Точечные процессы на реальной прямой образуют важный частный случай, который особенно удобен для изучения.^[18] потому что точки упорядочены естественным образом, и весь процесс точки может быть полностью описан (случайными) интервалами между точками. Эти точечные процессы часто используются в качестве моделей случайных событий во времени, таких как поступление заявок в очередь (теория массового обслуживания ), импульсов в нейроне (вычислительная нейробиология ), частицы в счетчик Гейгера, расположение радиостанций в телекоммуникационная сеть^[19] или поисков на Всемирная паутина.

Общая теория точечных процессов

В математике точечный процесс - это случайный элемент чьи значения являются "точечными шаблонами" на набор S. Хотя в точном математическом определении точечный образец определяется как локально конечный счетная мера, для более прикладных целей достаточно рассматривать точечный узор как счетный подмножество S у которого нет предельные точки.^{[требуется разъяснение ]}

Определение

Чтобы определить общие точечные процессы, мы начнем с вероятностного пространства ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$, и измеримое пространство ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$ куда ${ displaystyle S}$ это локально компактныйвторой счетный Пространство Хаусдорфа и ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ это егоБорелевская σ-алгебра. Рассмотрим теперь целочисленное локально конечное ядро ${ Displaystyle xi}$из ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ в ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$, то есть отображение${ Displaystyle Omega times { mathcal {S}} mapsto mathbb {Z} _ {+}}$ такой, что:

1. Для каждого ${ displaystyle omega in Omega}$, ${ Displaystyle хи ( омега, cdot)}$ является локально конечной мерой на ${ displaystyle S}$.^{[требуется разъяснение ]}
2. Для каждого ${ displaystyle B in { mathcal {S}}}$, ${ Displaystyle xi ( cdot, B): Omega mapsto mathbb {Z} _ {+}}$ случайная величина над ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {+}}$.

Это ядро ​​определяет случайная мера следующим образом. Мы хотели бы думать о ${ Displaystyle xi}$как определение отображения, которое отображает ${ displaystyle omega in Omega}$ в меру ${ displaystyle xi _ { omega} in { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$(а именно, ${ Displaystyle Omega mapsto { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$),куда ${ Displaystyle { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$ - множество всех локально конечных мер на ${ displaystyle S}$.Теперь, чтобы сделать это отображение измеримым, нам нужно определить ${ displaystyle sigma}$-поле над ${ Displaystyle { mathcal {M}} ({ mathcal {S}})}$.Этот ${ displaystyle sigma}$-поле строится как минимальная алгебра, так что все оценочные карты вида${ Displaystyle pi _ {B}: mu mapsto mu (B)}$, куда ${ displaystyle B in { mathcal {S}}}$ является относительно компактный, измеримы. Оборудован этим ${ displaystyle sigma}$-поле, тогда ${ Displaystyle xi}$ случайный элемент, где для каждого${ displaystyle omega in Omega}$, ${ displaystyle xi _ { omega}}$ является локально конечной мерой над ${ displaystyle S}$.

Теперь по точечный процесс на ${ displaystyle S}$ мы просто имеем в виду целочисленная случайная мера (или, что то же самое, целочисленное ядро) ${ Displaystyle xi}$ построено, как указано выше. Наиболее распространенный пример для пространства состояний S евклидово пространство р^п или их подмножество, где особенно интересный частный случай представлен действительной полупрямой [0, ∞). Однако точечные процессы не ограничиваются этими примерами и могут, среди прочего, также использоваться, если точки сами являются компактными подмножествами р^п, в таком случае ξ обычно называют процесс частиц.

Было отмечено^{[нужна цитата ]} что термин точечный процесс не очень хорошо, если S не является подмножеством реальной прямой, так как это может указывать на то, что ξ случайный процесс. Однако этот термин хорошо известен и неоспорим даже в общем случае.

Представление

Каждый экземпляр (или событие) точечного процесса ξ можно представить как

${ displaystyle xi = sum _ {i = 1} ^ {n} delta _ {X_ {i}},}$

куда ${ displaystyle delta}$ обозначает Мера Дирака, п является целочисленной случайной величиной и ${ displaystyle X_ {i}}$ случайные элементы S. Если ${ displaystyle X_ {i}}$есть почти наверняка различные (или, что то же самое, почти наверняка ${ Displaystyle хи (х) leq 1}$ для всех ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {d}}$), то точечный процесс известен как просто.

Еще одно отличное, но полезное представление события (событие в пространстве событий, то есть серия точек) - это нотация счета, где каждый экземпляр представлен как ${ Displaystyle N (т)}$ function, непрерывная функция, которая принимает целые значения: ${ Displaystyle N: { mathbb {R}} rightarrow { mathbb {Z} ^ {+}}}$:

${ Displaystyle N (t_ {1}, t_ {2}) = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} xi (t) dt}$

что является количеством событий в интервале наблюдения ${ Displaystyle (т_ {1}, т_ {2}]}$. Иногда его обозначают как ${ displaystyle N_ {t_ {1}, t_ {2}}}$, и ${ displaystyle N_ {T}}$ или же ${ Displaystyle N (T)}$ иметь в виду ${ displaystyle N_ {0, T}}$.

Мера ожидания

В мера ожидания Eξ (также известен как средняя мера) точечного процесса ξ является мерой на S который присваивает каждому борелевскому подмножеству B из S ожидаемое количество баллов ξ в B. То есть,

${ Displaystyle E xi (B): = E { bigl (} xi (B) { bigr)} quad { text {для каждого}} B in { mathcal {B}}.}$

Функционал Лапласа

В Функционал Лапласа ${ Displaystyle Psi _ {N} (е)}$ точечного процесса N есть карта из множества всех положительнозначных функций ж на пространстве состояний N, к ${ displaystyle [0, infty)}$ определяется следующим образом:

${ Displaystyle Psi _ {N} (е) = Е [ ехр (-N (е))]}$

Они играют ту же роль, что и характеристические функции за случайная переменная. Одна важная теорема гласит: два точечных процесса имеют одинаковый закон, если их функционалы Лапласа равны.

Момент измерения

В ${ displaystyle n}$-я степень точечного процесса, ${ displaystyle xi ^ {n},}$ определяется в пространстве продукта ${ Displaystyle S ^ {п}}$ следующее :

${ Displaystyle xi ^ {n} (A_ {1} times cdots times A_ {n}) = prod _ {i = 1} ^ {n} xi (A_ {i})}$

К теорема о монотонном классе, это однозначно определяет меру продукта на ${ displaystyle (S ^ {n}, B (S ^ {n})).}$ Ожидание ${ Displaystyle Е хи ^ {п} ( cdot)}$ называется ${ displaystyle n}$ th момент измерения. Мера первого момента - это средняя мера.

Позволять ${ Displaystyle S = mathbb {R} ^ {d}}$ . В совместная интенсивность точечного процесса ${ Displaystyle xi}$ w.r.t. в Мера Лебега функции ${ Displaystyle rho ^ {(к)}: ( mathbb {R} ^ {d}) ^ {k} to [0, infty)}$ такое, что для любых непересекающихся ограниченных борелевских подмножеств ${ Displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {k}}$

${ displaystyle E left ( prod _ {i} xi (B_ {i}) right) = int _ {B_ {1} times cdots times B_ {k}} rho ^ {(k )} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) , dx_ {1} cdots dx_ {k}.}$

Совместные интенсивности не всегда существуют для точечных процессов. При условии моменты из случайная переменная Для определения случайной величины во многих случаях аналогичный результат следует ожидать для совместной интенсивности. Действительно, это было показано во многих случаях.^[13]

Стационарность

Точечный процесс ${ Displaystyle xi подмножество mathbb {R} ^ {d}}$ как говорят стационарный если ${ displaystyle xi + x: = sum _ {i = 1} ^ {N} delta _ {X_ {i} + x}}$ имеет то же распределение, что и ${ Displaystyle xi}$ для всех ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {d}.}$ Для стационарного точечного процесса средняя мера ${ Displaystyle Е хи ( cdot) = лямбда | cdot |}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle lambda geq 0}$ и где ${ displaystyle | cdot |}$ обозначает меру Лебега. Этот ${ displaystyle lambda}$ называется интенсивность точечного процесса. Стационарный точечный процесс на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ почти наверняка имеет либо 0, либо бесконечное количество очков. Дополнительные сведения о стационарных точечных процессах и случайной мере см. В главе 12 книги Daley & Vere-Jones.^[13] Стационарность была определена и изучена для точечных процессов в более общих пространствах, чем ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$.

Примеры точечных процессов

Мы увидим несколько примеров точечных процессов в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}.}$

Точечный процесс Пуассона

Самый простой и распространенный пример точечного процесса - это Точечный процесс Пуассона, который является пространственным обобщением Пуассоновский процесс. Пуассоновский (счетный) процесс на прямой может характеризоваться двумя свойствами: количество точек (или событий) в непересекающихся интервалах независимы и имеют распределение Пуассона. Точечный процесс Пуассона также можно определить с помощью этих двух свойств. А именно мы говорим, что точечный процесс ${ Displaystyle xi}$ является точечным процессом Пуассона, если выполняются следующие два условия

1) ${ Displaystyle xi (B_ {1}), ldots, xi (B_ {n})}$ независимы для непересекающихся подмножеств${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {n}.}$

2) Для любого ограниченного подмножества ${ displaystyle B}$, ${ Displaystyle xi (B)}$ имеет распределение Пуассона с параметром ${ Displaystyle лямбда | В |,}$ куда${ displaystyle | cdot |}$ обозначает Мера Лебега.

Эти два условия можно объединить вместе и записать следующим образом: для любых непересекающихся ограниченных подмножеств ${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {n}}$ и неотрицательные целые числа ${ displaystyle k_ {1}, ldots, k_ {n}}$ у нас есть это

${ displaystyle Pr [ xi (B_ {i}) = k_ {i}, 1 leq i leq n] = prod _ {i} e ^ {- lambda | B_ {i} |} { frac {( lambda | B_ {i} |) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}.}.$

Постоянная ${ displaystyle lambda}$ называется интенсивностью точечного процесса Пуассона. Отметим, что точечный процесс Пуассона характеризуется одним параметром ${ displaystyle lambda.}$ Это простой стационарный точечный процесс, точнее говоря, вышеупомянутый точечный процесс называется однородным точечным процессом Пуассона. An неоднородный пуассоновский процесс определяется, как указано выше, но путем замены ${ Displaystyle лямбда | В |}$ с ${ Displaystyle { stackrel {} {}} int _ {B} lambda (x) , dx}$ куда ${ displaystyle lambda}$ неотрицательная функция на ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}.}$

Процесс точки Кокса

А Процесс Кокса (названный в честь Сэр Дэвид Кокс ) является обобщением точечного процесса Пуассона в том смысле, что мы используем случайные меры на месте ${ Displaystyle лямбда | В |}$. Более формально, пусть ${ displaystyle Lambda}$ быть случайная мера. Процесс точки Кокса, управляемый случайная мера ${ displaystyle Lambda}$ это точечный процесс ${ Displaystyle xi}$ со следующими двумя свойствами:

1. Данный ${ Displaystyle Lambda ( cdot)}$, ${ Displaystyle xi (B)}$ распределено Пуассона с параметром ${ displaystyle Lambda (B)}$ для любого ограниченного подмножества ${ displaystyle B.}$
2. Для любого конечного набора непересекающихся подмножеств ${ displaystyle B_ {1}, ldots, B_ {n}}$ и при условии ${ Displaystyle Lambda (B_ {1}), ldots, Lambda (B_ {n}),}$ у нас есть это ${ Displaystyle xi (B_ {1}), ldots, xi (B_ {n})}$ независимы.

Легко видеть, что точечные процессы Пуассона (однородные и неоднородные) следуют как частные случаи точечных процессов Кокса. Средняя мера точечного процесса Кокса равна ${ Displaystyle Е Икс ( cdot) = Е Лямбда ( cdot)}$ и, таким образом, в частном случае точечного процесса Пуассона он равен ${ Displaystyle лямбда | CDOT |.}$

Для точечного процесса Кокса ${ Displaystyle Lambda ( cdot)}$ называется мера интенсивности. Далее, если ${ Displaystyle Lambda ( cdot)}$ имеет (случайную) плотность (Производная Радона – Никодима ) ${ Displaystyle лямбда ( cdot)}$ т.е.

${ displaystyle Lambda (B) { stackrel { text {a.s.}} {=}} int _ {B} lambda (x) , dx,}$

тогда ${ Displaystyle лямбда ( cdot)}$ называется поле напряженности процесса точки Кокса. Стационарность мер интенсивности или полей интенсивности подразумевает стационарность соответствующих точечных процессов Кокса.

Было много конкретных классов точечных процессов Кокса, которые были подробно изучены, например:

• Логгауссовские точечные процессы Кокса:^[20] ${ Displaystyle лямбда (у) = ехр (Х (у))}$ для Гауссовское случайное поле ${ Displaystyle X (.)}$
• Дробовой шум Процессы точки Кокса:,^[21] ${ displaystyle lambda (y) = sum _ {X in Phi} h (X, y)}$ для точечного процесса Пуассона ${ Displaystyle Фи ( cdot)}$ и ядро ${ Displaystyle ч ( cdot, cdot)}$
• Обобщенный дробовой шум точечные процессы Кокса:^[22] ${ displaystyle lambda (y) = sum _ {X in Phi} h (X, y)}$ для точечного процесса ${ Displaystyle Фи ( cdot)}$ и ядро ${ Displaystyle ч (.,.)}$
• Точечные процессы Кокса на основе Леви:^[23] ${ displaystyle lambda (y) = int h (x, y) L (dx)}$ для базиса Леви ${ Displaystyle L ( cdot)}$ и ядро ${ Displaystyle ч (.,.)}$, и
• Перманентальные точечные процессы Кокса:^[24] ${ displaystyle lambda (y) = X_ {1} ^ {2} (y) + cdots + X_ {k} ^ {2} (y)}$ за k независимые гауссовские случайные поля ${ Displaystyle X_ {я} ( cdot)}$с
• Сигмоидальные гауссовские точечные процессы Кокса:^[25] ${ displaystyle lambda (y) = lambda ^ { star} / (1+ exp (-X (y)))}$ для гауссовского случайного поля ${ Displaystyle Х ( cdot)}$ и случайный ${ displaystyle lambda ^ { star}> 0}$

По неравенству Йенсена можно проверить, что точечные процессы Кокса удовлетворяют следующему неравенству: для всех ограниченных борелевских подмножеств ${ displaystyle B}$,

${ displaystyle operatorname {Var} ( xi (B)) geq operatorname {Var} ( xi _ { alpha} (B)),}$

куда ${ displaystyle xi _ { alpha}}$ обозначает точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности ${ Displaystyle альфа ( cdot): = E xi ( cdot) = E Lambda ( cdot).}$ Таким образом, точки распределяются с большей вариативностью в точечном процессе Кокса по сравнению с точечным процессом Пуассона. Иногда это называют кластеризация или же привлекательная недвижимость процесса точки Кокса.

Детерминантные точечные процессы

Важный класс точечных процессов с приложениями для физика, теория случайных матриц, и комбинаторика, это из детерминантные точечные процессы.^[26]

Процессы Хокса (самовозбуждение)

Процесс Хокса ${ displaystyle N_ {t}}$, также известный как самовозбуждающийся процесс счета, представляет собой простой точечный процесс, условную интенсивность которого можно выразить как

${ displaystyle { begin {array} {ll} lambda (t) & = mu (t) + int _ {- infty} ^ {t} nu (ts) dN_ {s} & = mu (t) + sum _ {T_ {k}$

куда ${ Displaystyle Nu: mathbb {R} ^ {+} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$ это функция ядра, которая выражает положительное влияние прошлых событий ${ displaystyle T_ {i}}$ от текущего значения интенсивности процесса ${ displaystyle lambda (t)}$, ${ Displaystyle му (т)}$ - возможно нестационарная функция, представляющая ожидаемую, предсказуемую или детерминированную часть интенсивности, и ${ displaystyle {T_ {i}: T_ {i}$ - время наступления i-го события процесса.^{[нужна цитата ]}

Геометрические процессы

Учитывая последовательность неотрицательных случайных величин:${ Displaystyle {X_ {k}, k = 1,2, точки }}$, если они независимы и cdf ${ displaystyle X_ {k}}$ дан кем-то ${ Displaystyle F (а ^ {к-1} х)}$ за ${ Displaystyle к = 1,2, точки}$, куда ${ displaystyle a}$ положительная константа, то ${ displaystyle {X_ {k}, k = 1,2, ldots }}$ называется геометрическим процессом (ГП) ^[27].

Геометрический процесс имеет несколько расширений, включая процесс серии α^[28] и дважды геометрический процесс ^[29].

Точечные процессы на реальной полуоси

Исторически первые точечные процессы, которые были изучены, имели действительную половинную линию р₊ = [0, ∞) как их пространство состояний, которое в этом контексте обычно интерпретируется как время. Эти исследования были мотивированы желанием моделировать телекоммуникационные системы,^[30] в которых точки представляют события во времени, такие как звонки на телефонную станцию.

Точечные процессы на р₊ обычно описываются последовательностью их (случайных) периодов времени между событиями (Т₁, Т₂, ...), из которой фактическая последовательность (Икс₁, Икс₂, ...) времен событий можно получить как

${ displaystyle X_ {k} = sum _ {j = 1} ^ {k} T_ {j} quad { text {for}} k geq 1.}$

Если времена между событиями независимы и одинаково распределены, полученный точечный процесс называется процесс обновления.

Интенсивность точечного процесса

В интенсивность λ(т | ЧАС_т) точечного процесса на действительной полупрямой относительно фильтрации ЧАС_т определяется как

${ displaystyle lambda (t mid H_ {t}) = lim _ { Delta t to 0} { frac {1} { Delta t}} Pr ({ text {Одно событие происходит в временной интервал}} , [t, t + Delta t] mid H_ {t}),}$

ЧАС_т может обозначать историю моментов событий, предшествующих времени т но также может соответствовать другим фильтрам (например, в случае процесса Кокса).

в ${ Displaystyle N (т)}$Обозначение, это можно записать более компактно:${ displaystyle lambda (t mid H_ {t}) = lim _ { Delta t to 0} { frac {1} { Delta t}} Pr (N (t + Delta t) -N (t) = 1 mid H_ {t})}$.

В компенсатор точечного процесса, также известного как двойная предсказуемая проекция, - интегрированная функция условной интенсивности, определяемая формулой

${ displaystyle Lambda ^ {} (s _ {}, u) = int _ {s} ^ {u} lambda ^ {} (t | H_ {t}) mathrm {d} t}$

Связанные функции

Функция интенсивности Папангелу

В Функция интенсивности Папангелу точечного процесса ${ displaystyle N}$ в ${ displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$определяется как

${ displaystyle lambda _ {p} (x) = lim _ { delta to 0} { frac {1} {| B _ { delta} (x) |}} {P} {{ text {Одно событие происходит в}} , B _ { delta} (x) mid sigma [N ( mathbb {R} ^ {n} setminus B _ { delta} (x))] },}$

куда ${ Displaystyle B _ { delta} (х)}$ центр шара в ${ displaystyle x}$ радиуса ${ displaystyle delta}$, и ${ displaystyle sigma [N ( mathbb {R} ^ {n} setminus B _ { delta} (x))]}$ обозначает информацию точечного процесса ${ displaystyle N}$за пределами ${ Displaystyle B _ { delta} (х)}$.

Функция правдоподобия

Логарифмическая вероятность параметризованного простого точечного процесса, обусловленного некоторыми наблюдаемыми данными, записывается как

${ displaystyle ln { mathcal {L}} (N (t) _ {t in [0, T]}) = int _ {0} ^ {T} (1- lambda (s)) ds + int _ {0} ^ {T} ln lambda (s) dN_ {s}}$^[31]

Точечные процессы в пространственной статистике

Анализ данных точечных шаблонов в компактном подмножестве S из р^п является основным объектом изучения в пространственная статистика. Такие данные появляются в широком диапазоне дисциплин,^[32] среди которых есть

• лесное хозяйство и экология растений (положение деревьев или растений в целом)
• эпидемиология (места проживания инфицированных пациентов)
• зоология (норы или гнезда животных)
• география (расположение населенных пунктов, поселков или городов)
• сейсмология (эпицентры землетрясений)
• материаловедение (позиции дефектов промышленных материалов)
• астрономия (расположение звезд или галактик)
• вычислительная нейробиология (спайки нейронов).

Необходимость использования точечных процессов для моделирования данных такого рода обусловлена ​​их внутренней пространственной структурой. Соответственно, часто первый вопрос, представляющий интерес, заключается в том, демонстрируют ли данные данные полная пространственная случайность (т.е. являются реализацией пространственного Пуассоновский процесс ) в отличие от проявления либо пространственной агрегации, либо пространственного торможения.

Напротив, многие наборы данных, рассматриваемые в классической многомерная статистика состоят из независимо сгенерированных точек данных, которыми могут управлять одна или несколько ковариат (обычно непространственных).

Помимо приложений в пространственной статистике, точечные процессы являются одним из фундаментальных объектов в стохастическая геометрия. Исследования также были сосредоточены на различных моделях, построенных на точечных процессах, таких как мозаика Вороного, случайные геометрические графы, логическая модель и т. Д.

Смотрите также

• Эмпирическая мера
• Случайная мера
• Обозначение точечного процесса
• Точечный процесс операции
• Пуассоновский процесс
• Теория обновления
• Инвариантная мера
• Оператор трансфера
• Оператор Купмана
• Оператор сдвига

Примечания

Рекомендации