Детерминантный точечный процесс - Determinantal point process

В математика, а детерминантный точечный процесс это стохастический точечный процесс, то распределение вероятностей из которых характеризуется как детерминант какой-то функции. Такие процессы возникают как важные инструменты в случайная матрица теория комбинаторика, физика,^[1] и моделирование беспроводной сети.^[2][3][4]

Определение

Позволять ${ displaystyle Lambda}$ быть локально компактный Польское пространство и ${ displaystyle mu}$ быть Радоновая мера на ${ displaystyle Lambda}$. Также рассмотрите измеримая функция K: Λ² → ℂ.

Мы говорим что ${ displaystyle X}$ это детерминантный точечный процесс на ${ displaystyle Lambda}$ с ядром ${ displaystyle K}$ если это простой точечный процесс на ${ displaystyle Lambda}$ с совместная интенсивность или же корреляционная функция (что является плотностью его факторная мера момента ) предоставлено

${ displaystyle rho _ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = det [K (x_ {i}, x_ {j})] _ {1 leq i, j leq n}}$

для каждого п ≥ 1 и Икс₁, . . . , Икс_п ∈ Λ.^[5]

Характеристики

Существование

Следующие два условия необходимы и достаточны для существования детерминантного случайного точечного процесса с интенсивностями ρ_k.

• Симметрия: ρ_k инвариантен под действием симметричная группа S_k. Таким образом:

${ Displaystyle rho _ {k} (x _ { sigma (1)}, ldots, x _ { sigma (k)}) = rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k }) quad forall sigma in S_ {k}, k}$

• Позитивность: Для любого N, и любой набор измеримых ограниченных функций φ_k:Λ^k → ℝ, k = 1,. . . ,N с компактная опора:

Если

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} sum _ {i_ {1} neq cdots neq i_ {k}} varphi _ {k} ( x_ {i_ {1}} ldots x_ {i_ {k}}) geq 0 { text {для всех}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$

потом

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} int _ { Lambda ^ {k}} varphi _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k } geq 0 { text {для всех}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$ ^[6]

Уникальность

Достаточное условие единственности детерминантного случайного процесса с совместной интенсивностью ρ_k является

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {k!}} int _ {A ^ {k}} rho _ {k} (x_ {1 }, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k} right) ^ {- { frac {1} {k }}} = infty}$

для каждого ограниченного Бореля А ⊆ Λ.^[6]

Примеры

Гауссовский унитарный ансамбль

Собственные значения случайного м × м Эрмитова матрица, полученная из Гауссовский унитарный ансамбль (GUE) образуют детерминантный точечный процесс на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ с ядром

${ displaystyle K_ {m} (x, y) = sum _ {k = 0} ^ {m-1} psi _ {k} (x) psi _ {k} (y)}$

куда ${ Displaystyle psi _ {к} (х)}$ это ${ displaystyle k}$волновая функция осциллятора определяется как

${ displaystyle psi _ {k} (x) = { frac {1} { sqrt {{ sqrt {2n}} n!}}} H_ {k} (x) e ^ {- x ^ {2 } / 4}}$

и ${ displaystyle H_ {k} (x)}$ это ${ displaystyle k}$th Многочлен Эрмита.^[7]

Пуассонизированная мера Планшереля

Пуассонизированная мера Планшереля на перегородки целых чисел (и, следовательно, на Диаграммы Юнга ) играет важную роль в изучении самая длинная возрастающая подпоследовательность случайной перестановки. Точечный процесс, соответствующий случайной диаграмме Юнга, выраженной в модифицированных координатах Фробениуса, является детерминантным точечным процессом на^{[требуется разъяснение ]} + ​¹⁄₂ с дискретным ядром Бесселя, задаваемым:

${ Displaystyle К (х, y) = { begin {case} { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {+} (| x |, | y |)} {| x | - | y |}} & { text {if}} xy> 0, [12pt] { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {-} (| x |, | y |)} { xy}} & { text {if}} xy <0, end {case}}}$

куда

${ Displaystyle к _ {+} (х, у) = J_ {х - { гидроразрыва {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2 }}} (2 { sqrt { theta}}) - J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}),}$

${ displaystyle k _ {-} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} { 2}}} (2 { sqrt { theta}}) + J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}})}$

За J то Функция Бесселя первого рода, а θ - среднее значение, используемое при пуассонизации.^[8]

Это служит примером четко определенного детерминантного точечного процесса с не-Эрмитский ядро (хотя его ограничение на положительную и отрицательную полуоси эрмитово).^[6]

Равномерные остовные деревья

Пусть G - конечная неориентированная связная график, с набором кромок E. Определять я^е:E → ℓ²(E) следующим образом: сначала выберите произвольный набор ориентаций для ребер E, и для каждого полученного ориентированного ребра е, определять я^е быть проекцией единичного потока вдоль е на подпространство ℓ²(E) охваченный звездными потоками.^[9] Тогда равномерно случайный остовное дерево группы G - детерминантный точечный процесс на E, с ядром

${ displaystyle K (e, f) = langle I ^ {e}, I ^ {f} rangle, quad e, f in E}$.^[5]

Рекомендации