Моментная мера - Википедия - Moment measure

В вероятность и статистика, а момент измерения это математический количество, функция или, точнее, мера что определено в отношении математические объекты известный как точечные процессы, которые являются типами случайные процессы часто используется как математические модели физических явлений, представимых как случайно расположен точки в время, Космос или оба. Моментные меры обобщают идею (сырого) моменты из случайные переменные, поэтому часто возникают при изучении точечных процессов и связанных с ними полей.^[1]

Примером меры момента является мера первого момента точечного процесса, часто называемого средняя мера или же мера интенсивности, что дает ожидал или среднее количество точек точечного процесса, находящихся в некоторой области пространства.^[2] Другими словами, если количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства, является случайной величиной, то мера первого момента соответствует первому моменту этой случайной величины.^[3]

Моментные меры занимают видное место при изучении точечных процессов.^[1]^[4]^[5] а также связанные области стохастическая геометрия^[3] и пространственная статистика^[5]^[6] чьи приложения можно найти во многих научный и инженерное дело дисциплины, такие как биология, геология, физика, и телекоммуникации.^[3]^[4]^[7]

Обозначение точечного процесса

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены на некоторых базовых математическое пространство. Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайно разбросанных в физическом пространстве, времени или и том, и другом, базовое пространство обычно d-размерный Евклидово пространство обозначается здесь как ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ , но их можно определить подробнее Абстрактные математические пространства.^[1]

Точечные процессы имеют множество интерпретаций, что отражается в различных типах обозначение точечного процесса.^[3]^[7] Например, если точка ${ displaystyle textstyle x}$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного ${ displaystyle textstyle {N}}$ , то это можно записать как:^[3]

{ displaystyle textstyle x in {N},}

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор. В качестве альтернативы, количество точек ${ displaystyle textstyle {N}}$ расположен в некоторых Набор Бореля ${ displaystyle textstyle B}$ часто записывается как:^[2]^[3]^[6]

{ displaystyle textstyle {N} (B),}

что отражает случайная мера интерпретация точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.^[2]^[3]^[6]

Определения

п-я степень точечного процесса

Для некоторых целое число ${ Displaystyle textstyle п = 1,2, точки}$ , то ${ displaystyle textstyle n}$ -я степень точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ определяется как:^[2]

{ displaystyle {N} ^ {n} (B_ {1} times cdots times B_ {n}) = prod _ {i = 1} ^ {n} {N} (B_ {i})}

куда ${ displaystyle textstyle B_ {1}, ..., B_ {n}}$ является набором необязательно непересекающихся борелевских множеств (в ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ ), которые образуют ${ displaystyle textstyle n}$ -складывать Декартово произведение множеств, обозначенных ${ Displaystyle В_ {1} раз cdots раз В_ {п}}$ . Символ ${ displaystyle textstyle Pi}$ обозначает стандартный умножение.

Обозначение ${ displaystyle textstyle {N} (B_ {i})}$ отражает интерпретацию точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ как случайная мера.^[3]

В ${ displaystyle textstyle n}$ -я степень точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ может быть эквивалентно определено как:^[3]

{ displaystyle {N} ^ {n} (B_ {1} times cdots times B_ {n}) = sum _ {(x_ {1}, dots, x_ {n}) in {N} } prod _ {i = 1} ^ {n} mathbf {1} _ {B_ {i}} (x_ {i})}

куда суммирование выполняется по всем ${ displaystyle textstyle n}$ -кортежи из (возможно повторяющихся) точек, и ${ displaystyle textstyle mathbf {1}}$ обозначает индикаторная функция такой, что ${ displaystyle textstyle mathbf {1} _ {B_ {1}}}$ это Мера Дирака. Это определение можно противопоставить определению п-факторная мощность точечного процесса для чего каждый п-кортежи состоит из п точки.

пмера момента

В ${ displaystyle textstyle n}$ мера момента определяется как:

{ Displaystyle M ^ {n} (B_ {1} times ldots times B_ {n}) = E [{N} ^ {n} (B_ {1} times ldots times B_ {n}) ],}

где E обозначает ожидание (оператор ) точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ . Другими словами, п-го момента мера - это ожидание п-я степень некоторого точечного процесса.

В ${ Displaystyle textstyle п ,}$ -й момент измерения точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ эквивалентно определено^[3] в качестве:

{ displaystyle int _ { textbf {R}} ^ {nd}} f (x_ {1}, dots, x_ {n}) M ^ {n} (dx_ {1}, dots, dx_ { n}) = E left [ sum _ {(x_ {1}, dots, x_ {n}) in {N}} f (x_ {1}, dots, x_ {n}) right] ,}

куда ${ displaystyle textstyle f}$ есть ли неотрицательный измеримая функция на ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {nd}}$ и сумма окончена ${ displaystyle textstyle n}$ -кортежи баллов, для которых разрешено повторение.

Измерение первого момента

Для некоторого набора Бореля B, первый момент точечного процесса N является:

{ Displaystyle M ^ {1} (B) = E [{N} (B)],}

куда ${ displaystyle textstyle M ^ {1}}$ известен, среди прочего, как мера интенсивности^[3] или же средняя мера,^[8] и интерпретируется как ожидаемое или среднее количество баллов ${ displaystyle textstyle {N}}$ найдено или находится в наборе ${ displaystyle textstyle B}$ .

Второй момент измерения

Вторая мера момента для двух борелевских множеств ${ displaystyle textstyle A}$ и ${ displaystyle textstyle B}$ является:

{ displaystyle M ^ {2} (A times B) = E [{N} (A) {N} (B)],}

что для одного набора Бореля ${ displaystyle textstyle B}$ становится

{ displaystyle M ^ {2} (B times B) = (E [{N} (B)]) ^ {2} + { text {Var}} [{N} (B)],}

куда ${ displaystyle textstyle { text {Var}} [{N} (B)]}$ обозначает отклонение случайной величины ${ displaystyle textstyle {N} (B)}$ .

Предыдущий термин дисперсии намекает на то, как меры моментов, такие как моменты случайных величин, могут использоваться для вычисления таких величин, как дисперсия точечных процессов. Еще один пример - ковариация точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ для двух борелевских наборов ${ displaystyle textstyle A}$ и ${ displaystyle textstyle B}$ , который определяется как:^[2]

{ displaystyle { text {Cov}} [{N} (A), {N} (B)] = M ^ {2} (A times B) -M ^ {1} (A) M ^ {1 } (B)}

Пример: точечный процесс Пуассона

Для генерала Точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности ${ displaystyle textstyle Lambda}$ мера первого момента:^[2]

{ Displaystyle M ^ {1} (B) = Lambda (B),}

который для однородный точечный процесс Пуассона с постоянный интенсивность ${ displaystyle textstyle lambda}$ средства:

{ Displaystyle M ^ {1} (B) = lambda | B |,}

куда ${ displaystyle textstyle | B |}$ длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, Мера Лебега ) из ${ displaystyle textstyle B}$ .

Для случая Пуассона с мерой ${ displaystyle textstyle Lambda}$ вторая мера момента, определенная на множестве продуктов ${ Displaystyle (В раз В)}$ является:^[5]

{ Displaystyle M ^ {2} (B times B) = Lambda (B) + Lambda (B) ^ {2}.}

которое в однородном случае сводится к

{ displaystyle M ^ {2} (B times B) = lambda | B | + ( lambda | B |) ^ {2}.}