Случайное поле - Википедия - Random field

В физика и математика, а случайное поле является случайной функцией в произвольной области (обычно многомерном пространстве, таком как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ ). То есть это функция ${ displaystyle f (x)}$ который принимает случайное значение в каждой точке ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ (или какой-нибудь другой домен). Его также иногда считают синонимом случайный процесс с некоторым ограничением на его набор индексов.^[1] То есть по современным определениям случайное поле является обобщением случайный процесс где базовый параметр больше не должен быть настоящий или же целое число ценится "время", но вместо этого может принимать значения, которые являются многомерными векторов или указывает на некоторые многообразие.^[2]

Формальное определение

Учитывая вероятностное пространство ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ , Икс-значное случайное поле представляет собой набор Икс-значен случайные переменные индексируется элементами в топологическое пространство Т. То есть случайное поле F это коллекция

{ displaystyle {F_ {t}: t in T }}

где каждый ${ displaystyle F_ {t}}$ является Икс-значная случайная величина.

Примеры

В своей дискретной версии случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых идентифицируются с дискретным набором точек в пространстве (например, n-размерный Евклидово пространство ). В более общем смысле, значения могут быть определены в непрерывной области, а случайное поле может рассматриваться как случайная величина с «оценкой функции», как описано выше. В квантовая теория поля понятие даже обобщается на случайный функциональный, который принимает случайное значение на пространство функций (видеть Интеграл Фейнмана ). Существует несколько видов случайных полей, среди которых Марковское случайное поле (MRF), Случайное поле Гиббса, условное случайное поле (CRF) и Гауссовское случайное поле. MRF демонстрирует Марковская собственность

{ Displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} = x_ {j}, i neq j) = P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} = x_ { j}, j in partial _ {i}), ,}

для каждого выбора значений ${ displaystyle (x_ {j}) _ {j}}$ . И каждый ${ displaystyle partial _ {я}}$ это множество соседей ${ displaystyle i}$ . Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение, зависит от ее ближайших соседних случайных величин. Вероятность случайной величины в MRF определяется выражением

{ Displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | partial _ {i}) = { frac {P (X_ {i} = x_ {i}, partial _ {i})} { sum _ {k} P (X_ {i} = k, partial _ {i})}},}

где сумма (может быть интегралом) берется по возможным значениям k. Иногда бывает сложно точно вычислить эту величину. В 1974 г. Юлиан Бесаг предложили метод аппроксимации, основанный на связи между MRF и RF Гиббса.^{[нужна цитата ]}

Приложения

При использовании в естественные науки, значения в случайном поле часто пространственно коррелированы. Например, соседние значения (то есть значения со смежными индексами) не различаются так сильно, как значения, которые находятся дальше друг от друга. Это пример ковариация структура, многие различные типы которой могут быть смоделированы в случайном поле. Одним из примеров является Модель Изинга где иногда взаимодействия ближайших соседей включаются только в качестве упрощения, чтобы лучше понять модель.

Обычно случайные поля используются при создании компьютерной графики, особенно тех, которые имитируют естественные поверхности, такие как воды и земной шар.

В нейробиология, особенно в функциональная визуализация мозга, связанная с заданием исследования с использованием ДОМАШНИЙ ПИТОМЕЦ или же фМРТ, статистический анализ случайных полей - одна из распространенных альтернатив поправка на множественные сравнения найти регионы с действительно значительная активация.^[3]

Они также используются в машинное обучение приложения (см. графические модели ).

Тензорные случайные поля

Случайные поля очень полезны при изучении природных процессов Метод Монте-Карло в котором случайные поля соответствуют естественно меняющимся свойствам в пространстве. Это приводит к тензорным случайным полям, в которых ключевую роль играет Статистический Объемный Элемент (SVE); когда SVE становится достаточно большим, его свойства становятся детерминированными и восстанавливается представительный элемент объема (RVE) детерминированной физики континуума. Второй тип случайных полей, которые появляются в теориях континуума, - это поля зависимых величин (температура, смещение, скорость, деформация, вращение, телесные и поверхностные силы, напряжение и т. Д.).^[4]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Адлер, Р. Дж. И Тейлор, Джонатан (2007). Случайные поля и геометрия. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
Бесаг, Дж. Э. (1974). «Пространственное взаимодействие и статистический анализ решетчатых систем». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б. 36 (2): 192–236. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1974.tb00999.x.
Гриффит, Дэвид (1976). «Случайные поля». В Кемени, Джон Г.; Снелл, Лори; Кнапп, Энтони В. (ред.). Счетные цепи Маркова (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
Хошневисан (2002). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer. ISBN 0-387-95459-7.

[1] «Случайные поля» (PDF).

[2] Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез. Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-9812563538.

[3] Уорсли, К. Дж .; Evans, A.C .; Marrett, S .; Нилин, П. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ исследований активации CBF в мозге человека». Журнал церебрального кровотока и метаболизма. 12 (6): 900–918. Дои:10.1038 / jcbfm.1992.127. ISSN 0271-678X. PMID 1400644.

[4] Маляренко Анатолий; Остоя-Старжевский, Мартин (2019). Тензорные случайные поля для физики сплошных сред. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781108429856.

[1]

[2]

[3]

[4]

Стохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стиранием петли Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Обе	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодичный Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы (Блюменталь, Борель – Кантелли, Энгельберт-Шмидт, Хьюитт-Сэвидж, Колмогоров, Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Карунен – Loève_theorem Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Скороход космос Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чипе дизайн Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория