Кригинг - Kriging

В статистика, первоначально в геостатистика, кригинг или Регрессия гауссовского процесса это метод интерполяция для которого интерполированные значения моделируются Гауссовский процесс регулируется предыдущими ковариации. При подходящих предположениях относительно априорных значений кригинг дает лучший линейный несмещенный прогноз промежуточных значений. Методы интерполяции, основанные на других критериях, таких как гладкость (например., сглаживающий сплайн ) может не дать наиболее вероятных промежуточных значений. Метод широко используется в области пространственный анализ и компьютерные эксперименты. Этот метод также известен как Прогноз Винера – Колмогорова., после Норберт Винер и Андрей Колмогоров.

Пример интерполяции одномерных данных методом кригинга с доверительными интервалами. Квадратики указывают расположение данных. Интерполяция кригинга, показанная красным, выполняется по средним значениям нормально распределенных доверительных интервалов, показанных серым. Пунктирная кривая показывает плавный сплайн, который значительно отличается от ожидаемых промежуточных значений, полученных с помощью этих средств.

Теоретические основы метода были разработаны французским математиком. Жорж Матерон в 1960 г. на основе кандидатской диссертации Дэни Г. Криг, новаторский плоттер средневзвешенного содержания золота на Витватерсранд рифовый комплекс в Южная Африка. Криг стремился оценить наиболее вероятное распределение золота по образцам из нескольких скважин. Английский глагол к криге и самое нарицательное существительное кригинг; оба часто произносятся с жесткий "г", после английского произношения имени «Криг». Слово иногда пишется с большой буквы как Кригинг в литературе.

Хотя в своей основной формулировке кригинг требует больших вычислительных ресурсов, его можно масштабировать для решения более крупных задач, используя различные методы аппроксимации.

Основные принципы

Связанные термины и методы

Основная идея кригинга состоит в том, чтобы предсказать значение функции в заданной точке путем вычисления средневзвешенного значения известных значений функции в окрестности точки. Этот метод математически тесно связан с регрессивный анализ. Обе теории выводят лучшая линейная несмещенная оценка, исходя из предположений о ковариации, использовать Теорема Гаусса – Маркова чтобы доказать независимость оценки от погрешности и использовать очень похожие формулы. Тем не менее, они полезны в разных структурах: кригинг используется для оценки одной реализации случайного поля, а регрессионные модели основаны на множественных наблюдениях за многомерным набором данных.

Оценку кригинга также можно рассматривать как сплайн в воспроизводящее ядро гильбертова пространства, с воспроизводящим ядром, заданным ковариационной функцией.^[1] Отличие от классического подхода кригинга заключается в интерпретации: в то время как сплайн мотивируется интерполяцией минимальной нормы на основе структуры гильбертова пространства, кригинг мотивируется ожидаемой квадратичной ошибкой предсказания на основе стохастической модели.

Кригинг с полиномиальные поверхности тренда математически идентичен обобщенный метод наименьших квадратов многочлен подгонка кривой.

Кригинг также можно понимать как форму Байесовский вывод.^[2] Кригинг начинается с прежний распространение над функции. Этот априор принимает форму гауссовского процесса: ${ displaystyle N}$ образцы из функции будут нормально распределенный, где ковариация между любыми двумя выборками - ковариационная функция (или ядро ) гауссовского процесса, вычисленного в пространственном расположении двух точек. А набор значений затем наблюдается, каждое значение связано с пространственным положением. Теперь новое значение можно предсказать в любом новом пространственном местоположении, комбинируя гауссовский априор с гауссовым. функция правдоподобия для каждого из наблюдаемых значений. Результирующий задний распределение также является гауссовым, со средним значением и ковариацией, которые можно просто вычислить из наблюдаемых значений, их дисперсии и матрицы ядра, полученной из априорных значений.

Геостатистическая оценка

В геостатистических моделях выборочные данные интерпретируются как результат случайного процесса. Тот факт, что эти модели включают в себя неопределенность в их концептуализации, не означает, что явление - лес, водоносный горизонт, месторождение полезных ископаемых - возникло в результате случайного процесса, а, скорее, позволяет создать методологическую основу для пространственного вывода количества в ненаблюдаемых местах, а также для количественной оценки неопределенности, связанной с оценкой.

А случайный процесс в контексте этой модели - это просто способ приблизиться к набору данных, собранных из выборок. Первым шагом в геостатистической модуляции является создание случайного процесса, который наилучшим образом описывает набор наблюдаемых данных.

Стоимость от местоположения ${ displaystyle x_ {1}}$ (общее обозначение набора географические координаты ) интерпретируется как реализация ${ displaystyle z (x_ {1})}$ из случайная переменная ${ Displaystyle Z (x_ {1})}$ . В пространстве ${ displaystyle A}$ , где набор образцов рассредоточен, имеются ${ displaystyle N}$ реализации случайных величин ${ Displaystyle Z (x_ {1}), Z (x_ {2}), ldots, Z (x_ {N})}$ , соотносятся между собой.

Набор случайных величин представляет собой случайную функцию, из которой известна только одна реализация. ${ Displaystyle г (х_ {я})}$ - набор наблюдаемых данных. Имея только одну реализацию каждой случайной величины, теоретически невозможно определить какую-либо статистический параметр отдельных переменных или функции. Предлагаемое решение в геостатистическом формализме состоит в предполагая различные степени стационарность в случайной функции, чтобы сделать возможным вывод некоторых статистических значений.

Например, если предположить, что на основании однородности образцов по площади ${ displaystyle A}$ где переменная распределена, гипотеза о том, что первый момент является стационарным (т. е. все случайные величины имеют одно и то же среднее значение), то предполагается, что среднее значение можно оценить как среднее арифметическое значений выборки.

Гипотеза стационарности, связанная с второй момент определяется следующим образом: корреляция между двумя случайными величинами зависит исключительно от пространственного расстояния между ними и не зависит от их местоположения. Таким образом, если ${ displaystyle mathbf {h} = x_ {2} -x_ {1}}$ и ${ displaystyle | mathbf {h} | = h}$ тогда:

{ Displaystyle C (Z (x_ {1}), Z (x_ {2})) = C (Z (x_ {i}), Z (x_ {i} + mathbf {h})) = C (h )}

{ Displaystyle гамма (Z (x_ {1}), Z (x_ {2})) = gamma (Z (x_ {i}), Z (x_ {i} + mathbf {h})) = гамма (ч)}

и для простоты определим ${ Displaystyle C (x_ {i}, x_ {j}) = C (Z (x_ {i}), Z (x_ {j}))}$ и ${ Displaystyle gamma (x_ {i}, x_ {j}) = gamma (Z (x_ {i}), Z (x_ {j}))}$ .

Эта гипотеза позволяет вывести эти две меры - вариограмма и ковариограмма:

{ displaystyle gamma (h) = { frac {1} {2 | N (h) |}} sum _ {(i, j) in N (h)} left (Z (x_ {i}) ) -Z (x_ {j}) right) ^ {2}}

{ displaystyle C (h) = { frac {1} {| N (h) |}} sum _ {(i, j) in N (h)} left (Z (x_ {i}) - m (h) right) left (Z (x_ {j}) - m (h) right)}

куда:

${ displaystyle m (h) = { frac {1} {2 | N (h) |}} sum _ {(i, j) in N (h)} Z (x_ {i}) + Z ( x_ {j})}$ ;
${ displaystyle N (h)}$ обозначает набор пар наблюдений ${ displaystyle i, ; j}$ такой, что ${ displaystyle | x_ {i} -x_ {j} | = h}$ , и ${ displaystyle | N (h) |}$ - количество пар в наборе. В этом наборе ${ Displaystyle (я, ; j)}$ и ${ Displaystyle (J, ; я)}$ обозначают один и тот же элемент. Обычно "приблизительное расстояние" ${ displaystyle h}$ используется, реализуется с использованием определенного допуска.

Линейная оценка

Пространственный вывод или оценка количества ${ Displaystyle Z двоеточие mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ , в ненаблюдаемом месте ${ displaystyle x_ {0}}$ , вычисляется из линейной комбинации наблюдаемых значений ${ displaystyle z_ {i} = Z (x_ {i})}$ и веса ${ Displaystyle ш_ {я} (х_ {0}), ; я = 1, ldots, N}$ :

{ displaystyle { hat {Z}} (x_ {0}) = { begin {bmatrix} w_ {1} & w_ {2} & cdots & w_ {N} end {bmatrix}} cdot { begin { bmatrix} z_ {1} z_ {2} vdots z_ {N} end {bmatrix}} = sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (x_ {0} ) times Z (x_ {i})}

Веса ${ displaystyle w_ {i}}$ предназначены для обобщения двух чрезвычайно важных процедур в процессе пространственного вывода:

отражают структурную «близость» образцов к месту оценки, ${ displaystyle x_ {0}}$
в то же время, они должны иметь эффект десегрегации, чтобы избежать систематической ошибки, вызванной возможной выборкой кластеры

При расчете весов ${ displaystyle w_ {i}}$ , в геостатистическом формализме есть две цели: непредвзятый и минимальная дисперсия оценки.

Если облако реальных ценностей ${ displaystyle Z (x_ {0})}$ наносится на график относительно расчетных значений ${ displaystyle { hat {Z}} (x_ {0})}$ , критерий глобальной непредвзятости, внутренняя стационарность или стационарность в широком смысле поля, означает, что среднее значение оценок должно быть равно среднему значению реальных значений.

Второй критерий говорит о том, что среднее квадратов отклонений ${ Displaystyle ({ шляпа {Z}} (х) -Z (х))}$ должен быть минимальным, что означает, что когда облако оценочных значений против реальные значения облака более разбросаны, оценка более неточна.

Методы

В зависимости от стохастических свойств случайного поля и различных предполагаемых степеней стационарности могут быть выведены различные методы расчета весов, т.е. применяются разные типы кригинга. К классическим методам относятся:

Обычный кригинг предполагает постоянное неизвестное среднее только по поисковой окрестности ${ displaystyle x_ {0}}$ .
Простой кригинг предполагает стационарность первый момент по всему домену с известным средним: ${ Displaystyle E {Z (x) } = E {Z (x_ {0}) } = m}$ , куда ${ displaystyle m}$ это известное среднее.
Универсальный кригинг предполагает общую полиномиальную модель тренда, такую как линейная модель тренда ${ Displaystyle E {Z (x) } = sum _ {k = 0} ^ {p} beta _ {k} f_ {k} (x)}$ .
IRFk-кригинг предполагает ${ Displaystyle Е {Z (х) }}$ быть неизвестным многочлен в ${ displaystyle x}$ .
Индикатор кригинга использует индикаторные функции вместо самого процесса, чтобы оценить вероятности перехода.
- Многоиндикаторный кригинг вариант индикаторного кригинга, работающий с семейством индикаторов. Первоначально MIK представлял большие перспективы как новый метод, позволяющий более точно оценивать общие концентрации или содержания минеральных ресурсов в мире. Однако эти преимущества перевешиваются другими проблемами, присущими практическому моделированию, из-за изначально используемых больших размеров блоков, а также из-за отсутствия разрешения масштаба добычи. В этом случае условное моделирование быстро становится общепринятой заменой.^{[нужна цитата ]}
Дизъюнктивный кригинг является нелинейным обобщением кригинга.
Логнормальный кригинг интерполирует положительные данные с помощью логарифмы.

Обычный кригинг

Неизвестное значение ${ displaystyle Z (x_ {0})}$ интерпретируется как случайная величина, находящаяся в ${ displaystyle x_ {0}}$ , а также значения выборок соседей ${ Displaystyle Z (x_ {i}), я = 1, ldots, N}$ . Оценщик ${ displaystyle { hat {Z}} (x_ {0})}$ также интерпретируется как случайная величина, расположенная в ${ displaystyle x_ {0}}$ , результат линейной комбинации переменных.

Чтобы вывести систему кригинга для допущений модели, при оценке допущена следующая ошибка: ${ Displaystyle Z (х)}$ в ${ displaystyle x_ {0}}$ объявляется:

{ displaystyle epsilon (x_ {0}) = { hat {Z}} (x_ {0}) - Z (x_ {0}) = { begin {bmatrix} W ^ {T} & - 1 end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} Z (x_ {1}) & cdots & Z (x_ {N}) & Z (x_ {0}) end {bmatrix}} ^ {T} = sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {0}) times Z (x_ {i}) - Z (x_ {0})}

Два критерия качества, упомянутые ранее, теперь могут быть выражены в терминах среднего и дисперсии новой случайной величины. ${ displaystyle epsilon (x_ {0})}$ :

Отсутствие предвзятости:

Поскольку случайная функция стационарна, ${ Displaystyle E (Z (x_ {i})) = E (Z (x_ {0})) = m}$ , соблюдается следующее ограничение:

{ displaystyle E left ( epsilon (x_ {0}) right) = 0 Leftrightarrow sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {0}) times E (Z ( x_ {i})) - E (Z (x_ {0})) = 0 Leftrightarrow}

{ displaystyle Leftrightarrow m sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {0}) - m = 0 Leftrightarrow sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {0}) = 1 Leftrightarrow mathbf {1} ^ {T} cdot W = 1}

Чтобы гарантировать беспристрастность модели, веса должны быть равны единице.

Минимальная дисперсия:

Два оценщика могут иметь ${ displaystyle E left [ epsilon (x_ {0}) right] = 0}$ , но разброс их среднего значения определяет разницу в качестве оценок. Чтобы найти оценку с минимальной дисперсией, нам нужно минимизировать ${ displaystyle E left ( epsilon (x_ {0}) ^ {2} right)}$ .

{ displaystyle { begin {array} {rl} operatorname {Var} ( epsilon (x_ {0})) & = operatorname {Var} left ({ begin {bmatrix} W ^ {T} & - 1 end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} Z (x_ {1}) & cdots & Z (x_ {N}) & Z (x_ {0}) end {bmatrix}} ^ {T} right) = & { overset {*} {=}} { begin {bmatrix} W ^ {T} & - 1 end {bmatrix}} cdot operatorname {Var} left ({ begin { bmatrix} Z (x_ {1}) & cdots & Z (x_ {N}) & Z (x_ {0}) end {bmatrix}} ^ {T} right) cdot { begin {bmatrix} W -1 end {bmatrix}} end {array}}}

* видеть ковариационная матрица для подробного объяснения

{ displaystyle operatorname {Var} ( epsilon (x_ {0})) { overset {*} {=}} { begin {bmatrix} W ^ {T} & - 1 end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} operatorname {Var} _ {x_ {i}} & operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ { 0}} ^ {T} & operatorname {Var} _ {x_ {0}} end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} W - 1 end {bmatrix}}}

* где литералы ${ displaystyle left { operatorname {Var} _ {x_ {i}}, operatorname {Var} _ {x_ {0}}, operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} верно}}$ стоять за ${ displaystyle left { operatorname {Var} left ({ begin {bmatrix} Z (x_ {1}) & cdots & Z (x_ {N}) end {bmatrix}} ^ {T} right) ), operatorname {Var} (Z (x_ {0})), operatorname {Cov} left ({ begin {bmatrix} Z (x_ {1}) & cdots & Z (x_ {N}) end {bmatrix}} ^ {T}, Z (x_ {0}) right) right }}$ .

После определения ковариационной модели или вариограмма, ${ Displaystyle С ( mathbf {ч})}$ или ${ displaystyle gamma ( mathbf {h})}$ , актуально во всех областях анализа ${ Displaystyle Z (х)}$ , то мы можем написать выражение для дисперсии оценки любого оценщика в функции ковариации между выборками и ковариаций между выборками и точкой для оценки:

{ displaystyle left {{ begin {array} {l} operatorname {Var} ( epsilon (x_ {0})) = W ^ {T} cdot operatorname {Var} _ {x_ {i} } cdot W- operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} ^ {T} cdot WW ^ {T} cdot operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} + operatorname {Var} _ {x_ {0}} operatorname {Var} ( epsilon (x_ {0})) = operatorname {Cov} (0) + sum _ {i} sum _ { j} w_ {i} w_ {j} operatorname {Cov} (x_ {i}, x_ {j}) - 2 sum _ {i} w_ {i} C (x_ {i}, x_ {0}) end {array}} right.}

Из этого выражения можно сделать некоторые выводы. Дисперсия оценки:

не поддается количественному измерению для какой-либо линейной оценки, если предполагается стационарность среднего и пространственных ковариаций или вариограмм.
растет, когда ковариация между выборками и точкой для оценки уменьшается. Это означает, что, когда образцы находятся дальше от ${ displaystyle x_ {0}}$ , оценка становится хуже.
растет с априори отклонение ${ displaystyle C (0)}$ переменной ${ Displaystyle Z (х)}$ . Когда переменная менее дисперсна, дисперсия меньше в любой точке области. ${ displaystyle A}$ .
не зависит от значений образцов. Это означает, что одна и та же пространственная конфигурация (с одинаковыми геометрическими соотношениями между выборками и точкой для оценки) всегда воспроизводит одну и ту же дисперсию оценки в любой части области. ${ displaystyle A}$ . Таким образом, дисперсия не измеряет неопределенность оценки, производимую локальной переменной.

Система уравнений: ${ displaystyle { begin {align} & { underset {W} { text {minim}}} && W ^ {T} cdot operatorname {Var} _ {x_ {i}} cdot W- operatorname { Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} ^ {T} cdot WW ^ {T} cdot operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} + operatorname {Var} _ { x_ {0}} & { text {при условии}} && mathbf {1} ^ {T} cdot W = 1 end {выровнено}}}$

Решение этой задачи оптимизации (см. Множители Лагранжа ) приводит к система кригинга:

{ displaystyle { begin {bmatrix} { hat {W}} mu end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} operatorname {Var} _ {x_ {i}} & mathbf {1 } mathbf {1} ^ {T} & 0 end {bmatrix}} ^ {- 1} cdot { begin {bmatrix} operatorname {Cov} _ {x_ {i} x_ {0}} 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} gamma (x_ {1}, x_ {1}) & cdots & gamma (x_ {1}, x_ {n}) & 1 vdots & ddots & vdots & vdots gamma (x_ {n}, x_ {1}) & cdots & gamma (x_ {n}, x_ {n}) & 1 1 & cdots & 1 & 0 end { bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} gamma (x_ {1}, x ^ {*}) vdots gamma (x_ {n}, x ^ {*}) 1 end {bmatrix}}}

дополнительный параметр ${ displaystyle mu}$ это Множитель Лагранжа используется для минимизации ошибки кригинга ${ Displaystyle sigma _ {к} ^ {2} (х)}$ соблюдать условие беспристрастности.

Простой кригинг

Простой кригинг можно рассматривать как среднее и огибающую броуновских случайных блужданий, проходящих через точки данных.

Простой кригинг математически самый простой, но наименее общий.^[3] Предполагается, что ожидание из случайное поле быть известным, и полагается на ковариационная функция. Однако в большинстве приложений заранее неизвестны ни математическое ожидание, ни ковариация.

Практические предположения по применению простой кригинг находятся:

стационарность в широком смысле поля (стационарная дисперсия).
Ожидание везде ноль: ${ Displaystyle му (х) = 0}$ .
Известен ковариационная функция ${ displaystyle c (x, y) = operatorname {Cov} (Z (x), Z (y))}$

Система уравнений

В весы для кригинга из простой кригинг не имеют условия беспристрастности и даются простая система уравнений кригинга:

{ displaystyle { begin {pmatrix} w_ {1} vdots w_ {n} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {1}) & cdots & c (x_ {1}, x_ {n}) vdots & ddots & vdots c (x_ {n}, x_ {1}) & cdots & c (x_ {n}, x_ {n }) end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {0}) vdots c (x_ {n}, x_ {0}) конец {pmatrix}}}

Это аналогично линейной регрессии ${ displaystyle Z (x_ {0})}$ с другой ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {n}}$ .

Предварительный расчет

Интерполяция с помощью простого кригинга определяется следующим образом:

{ displaystyle { hat {Z}} (x_ {0}) = { begin {pmatrix} z_ {1} vdots z_ {n} end {pmatrix}} '{ begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {1}) & cdots & c (x_ {1}, x_ {n}) vdots & ddots & vdots c (x_ {n}, x_ {1} ) & cdots & c (x_ {n}, x_ {n}) end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {0}) vdots c (x_ {n}, x_ {0}) end {pmatrix}}}

Ошибка кригинга определяется по формуле:

{ displaystyle operatorname {Var} left ({ hat {Z}} (x_ {0}) - Z (x_ {0}) right) = underbrace {c (x_ {0}, x_ {0}) )} _ { operatorname {Var} (Z (x_ {0}))} - underbrace {{ begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {0}) vdots c (x_ {n}, x_ {0}) end {pmatrix}} '{ begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {1}) & cdots & c (x_ {1}, x_ {n}) vdots & ddots & vdots c (x_ {n}, x_ {1}) & cdots & c (x_ {n}, x_ {n}) end {pmatrix}} ^ {- 1} { begin {pmatrix} c (x_ {1}, x_ {0}) vdots c (x_ {n}, x_ {0}) end {pmatrix}}} _ { operatorname {Var} ( { hat {Z}} (x_ {0}))}}

что приводит к обобщенной версии метода наименьших квадратов Теорема Гаусса – Маркова (Chiles & Delfiner 1999, стр. 159):

{ displaystyle operatorname {Var} (Z (x_ {0})) = operatorname {Var} ({ hat {Z}} (x_ {0})) + operatorname {Var} left ({ hat {Z}} (x_ {0}) - Z (x_ {0}) right).}

Характеристики

(Cressie 1993, Chiles & Delfiner 1999, Wackernagel 1995)

Оценка кригинга объективна: ${ Displaystyle Е [{ шляпа {Z}} (x_ {i})] = E [Z (x_ {i})]}$
Оценка кригинга учитывает фактически наблюдаемое значение: ${ Displaystyle { шляпа {Z}} (x_ {i}) = Z (x_ {i})}$ (при условии отсутствия ошибок измерения)
Оценка кригинга ${ Displaystyle { шляпа {Z}} (х)}$ $hat {Z} (х)$ это лучшая линейная несмещенная оценка из ${ Displaystyle Z (х)}$ $Z (х)$ если предположения верны. Однако (например, Cressie 1993):
- Как и в случае с любым другим методом: если предположения не верны, кригинг может оказаться плохим.
- Могут быть лучшие нелинейные и / или предвзятые методы.
- При использовании неправильной вариограммы никаких свойств не гарантируется. Однако обычно все же достигается «хорошая» интерполяция.
- Лучшее не обязательно хорошо: например, В случае отсутствия пространственной зависимости интерполяция кригинга хороша ровно настолько, насколько хороша средняя арифметическая.
Кригинг обеспечивает ${ Displaystyle sigma _ {к} ^ {2}}$ как мера точности. Однако эта мера зависит от правильности вариограммы.

Приложения

Хотя кригинг изначально был разработан для приложений в геостатистике, это общий метод статистической интерполяции, который может применяться в любой дисциплине к выборочным данным из случайных полей, удовлетворяющих соответствующим математическим допущениям. Его можно использовать там, где были собраны пространственно связанные данные (в 2-D или 3-D) и требуются оценки «заполняющих» данных в местах (пространственных промежутках) между фактическими измерениями.

На сегодняшний день кригинг используется в различных дисциплинах, включая следующие:

Дизайн и анализ компьютерных экспериментов

Еще одна очень важная и быстрорастущая область применения: инженерное дело, является интерполяцией данных, получаемых как переменные отклика детерминированного компьютерного моделирования,^[20] например метод конечных элементов (FEM) моделирования. В этом случае кригинг используется как метамоделирование инструмент, то есть модель черного ящика, построенная на спроектированном наборе компьютерные эксперименты. Во многих практических инженерных задачах, таких как проектирование обработки металлов давлением В процессе однократного моделирования методом конечных элементов может длиться несколько часов или даже несколько дней. Поэтому более эффективно спроектировать и запустить ограниченное количество компьютерных симуляций, а затем использовать интерполятор кригинга для быстрого прогнозирования отклика в любой другой проектной точке. Поэтому кригинг очень часто используется как так называемый суррогатная модель, реализованный внутри оптимизация рутины.^[21]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Исторические ссылки

Чилес, Жан-Поль; Десассис, Николас (2018). «Пятьдесят лет кригинга». Справочник по математическим наукам о Земле. Чам: Издательство Springer International. Дои:10.1007/978-3-319-78999-6_29. ISBN 978-3-319-78998-9.
Агтерберг, Ф П, Геоматематика, основы математики и геологические приложения, Elsevier Scientific Publishing Company, Амстердам, 1974 г.
Кресси, Н.А.С., Истоки кригинга, математическая геология, v. 22, pp. 239–252, 1990 г.
Криг, Д.Г., Статистический подход к оценке некоторых рудников и смежным проблемам на Витватерсранде, Магистерская диссертация Университета Витватерсранда, 1951 г.
Линк, Р. Ф. и Кох, Г. С, Экспериментальные планы и анализ поверхности трендов, геостатистика, Коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970
Матерон, Г., "Основы геостатистики", Экономическая геология, 58, pp 1246–1266, 1963
Матерон, Г., "Внутренние случайные функции и их приложения", Adv. Appl. Вероятно., 5, с. 439–468, 1973
Мерриам, Д. Ф., редактор, Геостатистика, коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970

Книги

Абрамовиц М., Стегун И. (1972), Справочник по математическим функциям, Dover Publications, Нью-Йорк.
Банерджи, С., Карлин, Б.П. и Гельфанд А.Е. (2004). Иерархическое моделирование и анализ пространственных данных. Чепмен и Холл / CRC Press, Taylor and Francis Group.
Чили, Ж.-П. и П. Дельфинер (1999). Геостатистика, моделирование пространственной неопределенности, Серия Wiley по теории вероятностей и статистике.
Кларк, И., и Харпер, В.В., (2000) Практическая геостатистика 2000, Ecosse North America, США
Кресси, N (1993) Статистика для пространственных данных, Вили, Нью-Йорк
Дэвид, М. (1988) Справочник по прикладной расширенной геостатистической оценке запасов руды, Elsevier Scientific Publishing
Дойч К.В. и Журнель А.Г. (1992), GSLIB - Библиотека геостатистического программного обеспечения и руководство пользователя, Oxford University Press, Нью-Йорк, 338 стр.
Гувертс, П. (1997) Геостатистика для оценки природных ресурсов, Oxford University Press, Нью-Йорк ISBN 0-19-511538-4
Исаакс, Э. Х., и Шривастава, Р. М. (1989), Введение в прикладную геостатистику, Oxford University Press, Нью-Йорк, 561 стр.
Журнель, А. Г. и К. Дж. Хейбрегтс (1978) Горная геостатистика, Academic Press, Лондон
Журнел, А. Г. (1989), Основы геостатистики в пяти уроках, Американский геофизический союз, Вашингтон, округ Колумбия.
Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 3.7.4. Интерполяция с помощью кригинга», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88068-8. Также, «Раздел 15.9. Регрессия гауссовского процесса».
Штейн, М. Л. (1999), Статистическая интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга, Спрингер, Нью-Йорк.
Вакернагель, Х. (1995) Многомерная геостатистика - введение в приложения, Springer Berlin

[1] Вахба, Грейс (1990). Сплайновые модели для данных наблюдений. 59. СИАМ. Дои:10.1137/1.9781611970128. ISBN 978-0-89871-244-5.

[2] Уильямс, К. К. И. (1998). «Прогнозирование с помощью гауссовских процессов: от линейной регрессии к линейному предсказанию и не только». Обучение в графических моделях. С. 599–621. Дои:10.1007/978-94-011-5014-9_23. ISBN 978-94-010-6104-9.

[3] Олеа, Рикардо А. (1999). Геостатистика для инженеров и геологов. Kluwer Academic. ISBN 978-1-4615-5001-3.

[4] Байрактар, Ханефи; Сезер, Туралиоглу (2005). «Подход на основе кригинга для определения места отбора проб - при оценке качества воздуха». SERRA. 19 (4): 301–305. Дои:10.1007 / s00477-005-0234-8. S2CID 122643497.

[Chiles-5] Чили, Ж.-П. и П. Дельфинер (1999). Геостатистика, моделирование пространственной неопределенности, Серия Wiley по теории вероятностей и статистике.

[6] Циммерман, Д. А .; Де Марсили, G .; Готуэй, К.А.; Marietta, M. G .; Axness, C. L .; Beauheim, R. L .; Bras, R. L .; Carrera, J .; Даган, Г .; Дэвис, П. Б .; Гальегос, Д. П .; Галли, А .; Gómez-Hernández, J .; Grindrod, P .; Gutjahr, A. L .; Kitanidis, P.K .; Lavenue, A. M .; McLaughlin, D .; Neuman, S.P .; Ramarao, B.S .; Ravenne, C .; Рубин, Ю. (1998). «Сравнение семи геостатистических обратных подходов к оценке проницаемости для моделирования адвективного переноса потоком подземных вод» (PDF). Исследование водных ресурсов. 34 (6): 1373–1413. Bibcode:1998WRR .... 34.1373Z. Дои:10.1029 / 98WR00003.

[7] Тонкин, М. Дж .; Ларсон, С. П. (2002). «Кригинговые уровни воды с регионально-линейным и точечно-логарифмическим дрейфом». Грунтовые воды. 40 (2): 185–193. Дои:10.1111 / j.1745-6584.2002.tb02503.x. PMID 11916123.

[Journel-8] Журнель, А.Г. и К.Дж. Хейбрегтс (1978) Горная геостатистика, Academic Press, Лондон

[9] Ричмонд, А. (2003). «Финансово эффективный отбор руды с учетом неопределенности содержания». Математическая геология. 35 (2): 195–215. Дои:10.1023 / А: 1023239606028. S2CID 116703619.

[multiple-10] Goovaerts (1997) Геостатистика для оценки природных ресурсов, ОУП. ISBN 0-19-511538-4

[11] Эмери, X. (2005). «Простой и обычный мультигауссовский кригинг для оценки извлекаемых запасов». Математическая геология. 37 (3): 295–319. Дои:10.1007 / s11004-005-1560-6. S2CID 92993524.

[12] Papritz, A .; Штейн, А. (2002). «Пространственное предсказание линейным кригингом». Пространственная статистика для дистанционного зондирования. Дистанционное зондирование и цифровая обработка изображений. 1. п. 83. Дои:10.1007/0-306-47647-9_6. ISBN 0-7923-5978-X.

[13] Баррис, Дж. (2008) Экспертная система оценки методом сравнения. Кандидатская диссертация, UPC, Барселона

[14] Баррис, Дж. И Гарсия Альмиралл, П. (2010) Плотностная функция оценочной стоимости, UPC, Барселона

[15] Огенекархо Окобиах, Сараджу Моханти, и Элиас Кугианос (2013) Геостатистическая быстрая оптимизация компоновки термодатчика Nano-CMOS В архиве 2014-07-14 в Wayback Machine, IET Circuits, Devices and Systems (CDS), Vol. 7, No. 5, сентябрь 2013 г., стр. 253-262.

[16] Козель, Славомир (2011). «Точное моделирование микроволновых устройств с использованием суррогатов космического картографирования с поправкой на кригинг». Международный журнал численного моделирования: электронные сети, устройства и поля. 25: 1–14. Дои:10.1002 / jnm.803.

[17] Пасторелло, Никола (2014). «Обзор SLUGGS: исследование градиентов металличности близких галактик ранних типов до больших радиусов». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 442 (2): 1003–1039. arXiv:1405.2338. Дои:10.1093 / mnras / stu937. S2CID 119221897.

[18] Фостер, Кэролайн; Пасторелло, Никола; Рёдигер, Джоэл; Броди, Жан; Форбс, Дункан; Картха, Шриджа; Пота, Винченцо; Романовский, Аарон; Спитлер, Ли; Strader, Джей; Ашер, Кристофер; Арнольд, Джейкоб (2016). «Обзор SLUGGS: звездная кинематика, кинеметрия и тренды на больших радиусах в 25 галактиках ранних типов». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 457: 147–171. arXiv:1512.06130. Дои:10.1093 / mnras / stv2947. S2CID 53472235.

[19] Белльштедт, Сабина; Форбс, Дункан; Фостер, Кэролайн; Романовский, Аарон; Броди, Жан; Пасторелло, Никола; Алаби, Адебусола; Виллом, Алекса (2017). «Обзор SLUGGS: использование расширенной звездной кинематики для определения историй образования маломассивных S) галактик». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 467 (4): 4540–4557. arXiv:1702.05099. Дои:10.1093 / мнрас / stx418. S2CID 54521046.

[20] Sacks, J .; Welch, W.J .; Mitchell, T.J .; Винн, Г. (1989). «Дизайн и анализ компьютерных экспериментов». Статистическая наука. 4 (4): 409–435. Дои:10.1214 / сс / 1177012413. JSTOR 2245858.

[sheetforming-21] Страна, М. (март 2008 г.). «Методика оптимизации МКЭ при ограничении надежности переменных процесса при формовании листового металла». Международный журнал материаловедения. 1 (1): 13–20. Дои:10.1007 / s12289-008-0001-8. S2CID 136682565.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]