Многомерная интерполяция - Multivariate interpolation

В числовой анализ, многомерная интерполяция или же пространственная интерполяция является интерполяция на функциях более чем одной переменной.

Функция, которую нужно интерполировать, известна в заданных точках ${displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}, точки)}$ а задача интерполяции состоит в получении значений в произвольных точках ${displaystyle (x, y, z, точки)}$ .

Многомерная интерполяция особенно важна в геостатистика, где он используется для создания цифровая модель рельефа из набора точек на поверхности Земли (например, высоты пятен в топографическая съемка или глубины в гидрографическая съемка ).

Обычная сетка

Сравнение некоторых 1- и 2-мерных интерполяций. Черные и красные / желтые / зеленые / синие точки соответствуют интерполированной точке и соседним отсчетам соответственно. Их высота над землей соответствует их значениям.

Для значений функции, известных на регулярная сетка (с заранее определенным, не обязательно равномерным интервалом) доступны следующие методы.

Любое измерение

2 измерения

Передискретизация растрового изображения представляет собой применение многомерной 2D интерполяции в обработка изображений.

Три метода, примененные к одному набору данных, из 25 значений, расположенных в черных точках. Цвета представляют собой интерполированные значения.

Ближайший сосед
Билинейный
Бикубический

Смотрите также Падуя очки, за полиномиальная интерполяция в двух переменных.

3 измерения

Сплайны тензорного произведения для N размеры

Шлицы Катмулла-Рома можно легко обобщить на любое количество измерений. кубический шлиц Эрмита статья напомнит вам, что ${displaystyle mathrm {CINT} _ {x} (f _ {- 1}, f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}) = mathbf {b} (x) cdot left (f _ {- 1} f_ { 0} f_ {1} f_ {2} ight)}$ для некоторого 4-вектора ${displaystyle mathbf {b} (x)}$ который является функцией Икс один, где ${displaystyle f_ {j}}$ это значение в ${displaystyle j}$ функции, которую нужно интерполировать. Перепишем это приближение как

{displaystyle mathrm {CR} (x) substteq sum _ {i = -1} ^ {2} f_ {i} b_ {i} (x)}

Эту формулу можно напрямую обобщить на N измерений:^[1]

{displaystyle mathrm {CR} (x_ {1}, dots, x_ {N}) в сумме _ {i_ {1}, dots, i_ {N} = - 1} ^ {2} f_ {i_ {1} dots i_ {N}} сумма _ {j = 1} ^ {N} b_ {i_ {j}} (x_ {j})}

Обратите внимание, что аналогичные обобщения могут быть сделаны для других типов интерполяции сплайнами, включая сплайны Эрмита. Что касается эффективности, общая формула может фактически быть вычислена как композиция последовательных ${displaystyle mathrm {CINT}}$ -типа для любого типа сплайнов тензорного произведения, как описано в трикубическая интерполяция статья. Однако факт остается фактом: если есть ${displaystyle n}$ слагаемые в одномерном ${displaystyle mathrm {CR}}$ -подобное суммирование, то будет ${displaystyle n ^ {N}}$ условия в ${displaystyle N}$ -мерное суммирование.

Нерегулярная сетка (разрозненные данные)

Схемы, определенные для разрозненных данных на нерегулярная сетка все должны работать на регулярной сетке, обычно сводясь к другому известному методу.

Интерполяция ближайшего соседа
Триангулированная нерегулярная сеть -основан естественный сосед
Триангулированная нерегулярная сеть -основан линейная интерполяция (тип кусочно-линейная функция )
Взвешивание обратных расстояний
Кригинг
Кригинг с усилением градиента (GEK)
Тонкая шлицевая пластина
Полигармонический сплайн (тонкая пластина-шлиц является частным случаем полигармонического сплайна)
Радиальная базисная функция (Полигармонические сплайны являются частным случаем радиальных базисных функций с полиномиальными членами низкой степени)
Наименьших квадратов сплайн
Интерполяция естественного соседа

Примечания

^ Две иерархии сплайн-интерполяции. Практические алгоритмы многомерных сплайнов высшего порядка

внешняя ссылка

[1] Две иерархии сплайн-интерполяции. Практические алгоритмы многомерных сплайнов высшего порядка

[1]