Падуя очки - Padua points

В полиномиальная интерполяция из две переменные, то Падуя очки являются первым известным примером (и до сих пор единственным) нерастворимый набор точек (то есть интерполирующий полином единственен) с минимальный рост от их Постоянная Лебега, оказалось O (log² п).^[1]Их название связано с Университет Падуи, где они были первоначально обнаружены.^[2]

Точки определены в домен ${displaystyle scriptstyle [-1,1] imes [-1,1] подмножество mathbb {R} ^ {2}}$ . Можно использовать точки с четырьмя ориентациями, полученные с последующими поворотами на 90 градусов: таким образом мы получаем четыре разных семейства точек Падуи.

Четыре семьи

Падуанские точки первого семейства и степени 5, построенные с их образующей кривой.

Падуанские точки первого семейства и шестой степени, построенные с их образующей.

Мы можем рассматривать точку Падуи как "отбор проб "из параметрическая кривая, называется производящая кривая, который немного отличается для каждого из четырех семейств, так что точки для степени интерполяции ${displaystyle n}$ и семья ${displaystyle s}$ можно определить как

{displaystyle {ext {Pad}} _ {n} ^ {s} = lbrace mathbf {xi} = (xi _ {1}, xi _ {2}) скобка = leftlbrace gamma _ {s} left ({frac {kpi } {n (n + 1)}} ight), k = 0, ldots, n (n + 1) ightbrace.}

Собственно, точки Падуи лежат именно на самопересечениях кривой, а на пересечениях кривой с границами квадрата. ${displaystyle [-1,1] ^ {2}}$ . В мощность из набора ${displaystyle scriptstyle {ext {Pad}} _ {n} ^ {s}}$ является ${displaystyle scriptstyle | {ext {Pad}} _ {n} ^ {s} | = N = {frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}$ . Более того, для каждого семейства точек Падуи две точки лежат в последовательных вершинах квадрата ${displaystyle [-1,1] ^ {2}}$ , ${displaystyle 2n-1}$ точки лежат на краях квадрата, а остальные точки лежат на самопересечениях образующей кривой внутри квадрата.^[3]^[4]

Четыре образующие кривые: закрыто параметрические кривые в интервале ${displaystyle [0,2pi]}$ , и являются частным случаем Кривые Лиссажу.

Первая семья

Производящая кривая точек Падуи первого семейства имеет вид

{displaystyle gamma _ {1} (t) = [- cos ((n + 1) t), - cos (nt)], quad олово [0, pi].}

Если взять образец, как написано выше, мы получим:

{displaystyle {ext {Pad}} _ {n} ^ {1} = lbrace mathbf {xi} = (mu _ {j}, eta _ {k}), 0leq jleq n; 1leq kleq lfloor {frac {n} { 2}} этаж + 1 + дельта _ {j} скобка,}

куда ${displaystyle delta _ {j} = 0}$ когда ${displaystyle n}$ четное или нечетное, но ${displaystyle j}$ даже, ${displaystyle delta _ {j} = 1}$ если ${displaystyle n}$ и ${displaystyle k}$ оба странные

с

{displaystyle mu _ {j} = cos left ({frac {jpi} {n}} ight), eta _ {k} = {egin {cases} cos left ({frac {(2k-2) pi} {n + 1}} ight) & j {mbox {odd}} cos left ({frac {(2k-1) pi} {n + 1}} ight) & j {mbox {even.}} End {cases}}}

Из этого следует, что точки Падуи первого семейства будут иметь две вершины внизу, если ${displaystyle n}$ четное, или слева, если ${displaystyle n}$ странно.

Вторая семья

Производящая кривая точек Падуи второго семейства имеет вид

{displaystyle gamma _ {2} (t) = [- cos (nt), - cos ((n + 1) t)], четырехъядерный олово [0, pi],}

что приводит к появлению вершин слева, если ${displaystyle n}$ четный и внизу, если ${displaystyle n}$ странно.

Третья семья

Производящая кривая точек Падуи третьего семейства имеет вид

{displaystyle gamma _ {3} (t) = [cos ((n + 1) t), cos (nt)], четырехъядерный олово [0, pi],}

что приводит к вершинам наверху, если ${displaystyle n}$ четное и правое, если ${displaystyle n}$ странно.

Четвертая семья

Производящая кривая точек Падуи четвертого семейства имеет вид

{displaystyle gamma _ {4} (t) = [cos (nt), cos ((n + 1) t)], четырехъядерный олово [0, pi],}

что приводит к тому, что вершины находятся справа, если ${displaystyle n}$ четное и наверху, если ${displaystyle n}$ странно.

Формула интерполяции

Явное представление их основных Полином Лагранжа основан на воспроизводящее ядро ${displaystyle scriptstyle K_ {n} (mathbf {x}, mathbf {y})}$ , ${displaystyle scriptstyle mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2})}$ и ${displaystyle scriptstyle mathbf {y} = (y_ {1}, y_ {2})}$ , из Космос ${displaystyle scriptstyle Pi _ {n} ^ {2} ([- 1,1] ^ {2})}$ оснащен внутренний продукт

{displaystyle langle f, gangle = {frac {1} {pi ^ {2}}} int _ {[- 1,1] ^ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) g (x_ { 1}, x_ {2}) {frac {dx_ {1}} {sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}}} {frac {dx_ {2}} {sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}}}}

определяется

{displaystyle K_ {n} (mathbf {x}, mathbf {y}) = sum _ {k = 0} ^ {n} sum _ {j = 0} ^ {k} {hat {T}} _ {j} (x_ {1}) {hat {T}} _ {kj} (x_ {2}) {hat {T}} _ {j} (y_ {1}) {hat {T}} _ {kj} (y_ {2})}

с ${displaystyle scriptstyle {hat {T}} _ {j}}$ представляющий нормализованный Полином Чебышева степени ${displaystyle j}$ (то есть, ${displaystyle scriptstyle {hat {T}} _ {0} = T_ {0}}$ , ${displaystyle scriptstyle {hat {T}} _ {p} = {sqrt {2}} T_ {p}}$ куда ${displaystyle scriptstyle T_ {p} (cdot) = cos (parccos (cdot))}$ классический многочлен Чебышева первого рода степени ${displaystyle p}$ ).^[3] Для четырех семейств точек Падуи, которые мы можем обозначить ${displaystyle scriptstyle {ext {Pad}} _ {n} ^ {s} = lbrace mathbf {xi} = (xi _ {1}, xi _ {2}) скобка}$ , ${displaystyle s = lbrace 1,2,3,4brace}$ , интерполяционная формула порядка ${displaystyle n}$ функции ${displaystyle scriptstyle fcolon [-1,1] ^ {2} o mathbb {R} ^ {2}}$ на общей целевой точке ${displaystyle scriptstyle mathbf {x} в [-1,1] ^ {2}}$ затем