Вариограмма

В пространственная статистика теоретический вариограмма ${ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2})}$ - функция, описывающая степень пространственной зависимости пространственного случайное поле или же случайный процесс ${ Displaystyle Z ( mathbf {s})}$ .

В случае конкретного примера из области золотодобыча, вариограмма покажет, насколько две пробы, взятые в районе добычи, будут различаться в процентном содержании золота в зависимости от расстояния между этими пробами. Образцы, взятые далеко друг от друга, будут отличаться больше, чем образцы, взятые близко друг к другу.

Пять типов кривых вариограмм. Слева кривые вариограммы в зависимости от расстояния между двумя точками; справа соответствующие моделируемые поля в пространстве, ограниченные этими вариограммами.

Определение

В вариограмма ${ displaystyle gamma (h)}$ был впервые определен Матероном (Matheron, 1963) как половина средней квадратичной разницы между точками ( ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {s} _ {2}}$ ) разделены на расстоянии ${ displaystyle h}$ .^[1]^[2] Формально

{ displaystyle gamma (h) = { frac {1} {2V}} iiint _ {V} left [f (M + h) -f (M) right] ^ {2} dV,}

куда ${ displaystyle M}$ это точка в геометрическом поле ${ displaystyle V}$ , и ${ displaystyle f (M)}$ это значение в этой точке. Например, предположим, что нас интересует содержание железа в образцах почвы в каком-то регионе или поле. ${ displaystyle V}$ . ${ displaystyle f (M)}$ будет содержание (например, в мг железа на кг почвы) железа в некотором месте ${ displaystyle M}$ , куда ${ displaystyle M}$ имеет координаты широты, долготы и высоты. Тройной интеграл имеет более трех измерений. ${ displaystyle h}$ представляет собой интересующее расстояние разноса (например, в м или км). Чтобы получить вариограмму для заданного ${ displaystyle gamma (h)}$ , будут выбраны все пары точек на этом точном расстоянии. На практике отобрать пробу везде невозможно, поэтому эмпирическая вариограмма вместо этого используется.

Вариограмма

Вариограмма определяется как отклонение разницы между значениями полей в двух местах ( ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {s} _ {2}}$ , обратите внимание на изменение обозначений с ${ displaystyle M}$ к ${ displaystyle mathbf {s}}$ и ${ displaystyle f}$ к ${ displaystyle Z}$ ) между реализациями поля (Cressie 1993):

{ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = { text {var}} left (Z ( mathbf {s} _ {1}) -Z ( mathbf {s} _ {2}) right) = E left [((Z ( mathbf {s} _ {1}) - mu ( mathbf {s} _ {1})) - (Z ( mathbf {s} _ {2}) - mu ( mathbf {s} _ {2}))) ^ {2} right].}

или, другими словами, это в два раза больше вариограммы. Если пространственное случайное поле имеет постоянное среднее значение ${ displaystyle mu}$ , это эквивалентно ожидаемому квадрату приращения значений между местоположениями ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ и ${ displaystyle s_ {2}}$ (Wackernagel 2003) (где ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {s} _ {2}}$ точки в пространстве и, возможно, во времени):

{ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = E left [ left (Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) right) ^ {2} right].}

В случае стационарный процесс вариограмму и вариограмму можно представить как функцию ${ Displaystyle гамма _ {s} (ч) = гамма (0,0 + ч)}$ разницы ${ displaystyle h = mathbf {s} _ {2} - mathbf {s} _ {1}}$ только между местоположениями, следующим соотношением (Cressie 1993):

{ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = gamma _ {s} ( mathbf {s} _ {2} - mathbf {s} _ {1}).}

Если процесс, кроме того, изотропный, то вариограмму и вариограмму можно представить функцией ${ Displaystyle гамма _ {я} (ч): = гамма _ {s} (он_ {1})}$ расстояния ${ displaystyle h = | mathbf {s} _ {2} - mathbf {s} _ {1} |}$ только (Cressie 1993):

{ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = gamma _ {i} (h).}

Индексы ${ displaystyle i}$ или же ${ displaystyle s}$ обычно не пишутся. Эти термины используются для всех трех форм функции. Более того, термин «вариограмма» иногда используется для обозначения вариограммы, а символ ${ displaystyle gamma}$ иногда используется для вариограммы, что вносит некоторую путаницу.

Характеристики

Согласно (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) теоретическая вариограмма имеет следующие свойства:

Вариограмма неотрицательная ${ Displaystyle гамма ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) geq 0}$ , так как это ожидание квадрата.
Вариограмма ${ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {1}) = gamma _ {i} (0) = E left ((Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {1})) ^ {2} right) = 0}$ на расстоянии 0 всегда 0, так как ${ Displaystyle Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {1}) = 0}$ .
Функция является вариограммой тогда и только тогда, когда она является условно отрицательно определенной функцией, т.е.для всех весов ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {N}}$ при условии ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {N} ш_ {я} = 0}$ и локации ${ Displaystyle s_ {1}, ldots, s_ {N}}$ он содержит:
${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} w_ {i} gamma ( mathbf {s} _ {i}, mathbf {s} _ {j}) w_ {j} leq 0}$
что соответствует тому, что дисперсия ${ displaystyle var (X)}$ из ${ Displaystyle X = сумма _ {я = 1} ^ {N} w_ {я} Z (x_ {i})}$ дается отрицанием этой двойной суммы и должен быть неотрицательным.^{[нужна цитата ]}
Как следствие, вариограмма может быть прерывистой только в начале координат. Высота прыжка в начале координат иногда обозначается как самородок или эффект самородка.
Если ковариационная функция стационарного процесса существует, он связан с вариограммой соотношением
${ Displaystyle 2 гамма ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {1}) + C ( mathbf {s} _ {2}, mathbf {s} _ {2}) - 2C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2})}$
Для нестационарного процесса необходимо добавить квадрат разницы между ожидаемыми значениями в обеих точках:
${ Displaystyle 2 гамма ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {1}) + C ( mathbf {s} _ {2}, mathbf {s} _ {2}) - 2C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) + (E слева [Z ( mathbf {s} _ {1}) right] -E left [Z ( mathbf {s} _ {2}) right]) ^ {2}}$
Если стационарное случайное поле не имеет пространственной зависимости (т.е. ${ displaystyle C (h) = 0}$ если ${ displaystyle h not = 0}$ ) вариограмма - это постоянная ${ displaystyle var (Z ( mathbf {s}))}$ везде, кроме начала координат, где он равен нулю.
${ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = E left [| Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf { s} _ {2}) | ^ {2} right] = gamma ( mathbf {s} _ {2}, mathbf {s} _ {1})}$ является симметричной функцией.
Как следствие, ${ displaystyle gamma _ {s} (h) = gamma _ {s} (- h)}$ является даже функция.
Если случайное поле стационарный и эргодический, то ${ displaystyle lim _ {h to infty} gamma _ {s} (h) = var (Z ( mathbf {s}))}$ соответствует дисперсии поля. Предел вариограммы также называется ее подоконник.

Эмпирическая вариограмма и применение

Как правило, необходима эмпирическая вариограмма, поскольку информация о выборке ${ displaystyle Z}$ доступен не для всех мест. Информация об образце, например, может быть концентрацией железа в образцах почвы или интенсивностью пикселей на камере. Каждый фрагмент информации об образце имеет координаты ${ Displaystyle mathbf {s} = (х, у)}$ для 2D образца пространства, где ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ являются географическими координатами. В случае железа в почве пространство для образца может быть трехмерным. Если есть и временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то ${ displaystyle mathbf {s}}$ может быть четырехмерным вектором ${ Displaystyle (х, у, г, т)}$ . Для случая, когда размеры имеют разные единицы (например, расстояние и время), тогда коэффициент масштабирования ${ displaystyle B}$ может применяться к каждому, чтобы получить модифицированное евклидово расстояние.^[3]

Выборочные наблюдения обозначены ${ Displaystyle Z ( mathbf {s} _ {я}) = Z_ {я}}$ . Образцы можно взять в ${ displaystyle k}$ всего разные локации. Это предоставит как набор образцов ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {k}}$ в местах ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}, ldots, mathbf {s} _ {k}}$ . Обычно графики показывают значения вариограммы как функцию разделения точек выборки. ${ displaystyle h}$ . В случае эмпирической вариограммы интервалы разделительных расстояний ${ displaystyle h pm delta}$ используются, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (т.е. ${ displaystyle gamma}$ это только функция ${ displaystyle h}$ и не зависит от других переменных, таких как центральное положение). Тогда эмпирическая вариограмма ${ displaystyle { hat { gamma}} (ч pm delta)}$ можно рассчитать для каждого бункера:

${ displaystyle { hat { gamma}} (h pm delta): = { frac {1} {2 | N (h pm delta) |}} sum _ {(i, j) в N (h pm delta)} | z_ {i} -z_ {j} | ^ {2}}$

Или, другими словами, каждая пара точек, разделенных ${ displaystyle h}$ (плюс или минус некоторый диапазон допуска ширины бункера ${ displaystyle delta}$ ) найдены. Они образуют набор точек ${ Displaystyle N (час pm delta) Equiv {( mathbf {s} _ {i}, mathbf {s} _ {j}): | mathbf {s} _ {i}, mathbf {s} _ {j} | = h pm delta; i, j = 1, ldots, N }}$ . Количество этих точек в этой корзине равно ${ displaystyle | N (час pm delta) |}$ . Тогда для каждой пары точек ${ displaystyle i, j}$ , вычисляется квадрат разницы в наблюдении (например, содержания образца почвы или интенсивности пикселей) ( ${ displaystyle | z_ {i} -z_ {j} | ^ {2}}$ ). Эти квадраты разностей складываются и нормализуются натуральным числом. ${ displaystyle | N (час pm delta) |}$ . По определению результат делится на 2 для вариограммы на этом разделении.

Для скорости вычислений нужны только уникальные пары точек. Например, для 2 пар наблюдений [ ${ displaystyle (z_ {a}, z_ {b}), (z_ {c}, z_ {d})}$ ] взяты из локаций с разделением ${ displaystyle h pm delta}$ Только [ ${ displaystyle (z_ {a}, z_ {b}), (z_ {c}, z_ {d})}$ ] необходимо рассматривать, поскольку пары [ ${ displaystyle (z_ {b}, z_ {a}), (z_ {d}, z_ {c})}$ ] не предоставляют никакой дополнительной информации.

В эмпирическая вариограмма используется в геостатистика в качестве первой оценки (теоретической) вариограммы, необходимой для пространственной интерполяции с помощью кригинг.

Согласно (Cressie 1993), для наблюдений ${ Displaystyle Z_ {я} = Z ( mathbf {s} _ {я})}$ из стационарный случайное поле ${ Displaystyle Z ( mathbf {s})}$ , эмпирическая вариограмма с допуском запаздывания 0 является объективный оценщик теоретической вариограммы из-за:

${ displaystyle E left [{ hat { gamma}} (h) right] = { frac {1} {2 | N (h) |}} sum _ {(i, j) in N (h)} E left [| Z (s_ {i}) - Z (s_ {j}) | ^ {2} right] = { frac {1} {2 | N (h) |}} сумма _ {(i, j) in N (h)} 2 gamma (s_ {j} -s_ {i}) = { frac {2 | N (h) |} {2 | N (h) | }} gamma (h)}$

Параметры вариограммы

Для описания вариограмм часто используются следующие параметры:

самородок ${ displaystyle n}$ : Высота скачка вариограммы на разрыве в начале координат.
подоконник ${ displaystyle s}$ : Предел вариограммы, стремящийся к бесконечному расстоянию запаздывания.
классифицировать ${ displaystyle r}$ : Расстояние, на котором разница между вариограммой и порогом становится незначительной. В моделях с фиксированным порогом это расстояние, на котором он достигается в первую очередь; для моделей с асимптотическим порогом обычно принимается расстояние, когда полувариантность впервые достигает 95% порога.

Модели вариограмм

Эмпирическая вариограмма не может быть рассчитана на каждом расстоянии запаздывания. ${ displaystyle h}$ и из-за различий в оценке не гарантируется, что это действительная вариограмма, как определено выше. Однако некоторые Геостатистический такие методы как кригинг нужны действительные вариограммы. Таким образом, в прикладной геостатистике эмпирические вариограммы часто аппроксимируются функцией модели, обеспечивающей достоверность (Chiles & Delfiner 1999). Вот некоторые важные модели (Chiles & Delfiner 1999, Cressie 1993):

Модель экспоненциальной вариограммы

{ Displaystyle гамма (час) = (s-n) (1- ехр (-h / (ra))) + n1 _ {(0, infty)} (h)}

Модель сферической вариограммы

{ displaystyle gamma (h) = (sn) left ( left ({ frac {3h} {2r}} - { frac {h ^ {3}} {2r ^ {3}}} right)) 1 _ {(0, r)} (h) +1 _ {[r, infty)} (h) right) + n1 _ {(0, infty)} (h)}

Модель гауссовой вариограммы

{ displaystyle gamma (h) = (sn) left (1- exp left (- { frac {h ^ {2}} {r ^ {2} a}} right) right) + n1_ {(0, infty)} (h)}

Параметр ${ displaystyle a}$ имеет разные значения в разных справочниках из-за неоднозначности определения диапазона. Например. ${ displaystyle a = 1/3}$ - значение, используемое в (Chiles & Delfiner 1999). В ${ displaystyle 1_ {A} (h)}$ функция равна 1, если ${ displaystyle h in A}$ и 0 в противном случае.

Обсуждение

Три функции используются в геостатистика для описания пространственной или временной корреляции наблюдений: это коррелограмма, то ковариация и вариограмма. Последний также проще назвать вариограмма. В вариограмма выборки в отличие от вариограммы и вариограммы, показывает, где значительная степень пространственной зависимости в пространстве выборки или единице выборки растворяется в случайности, когда условия дисперсии временного или на месте упорядоченный набор нанесен на график в зависимости от дисперсии набора и нижних пределов его доверительных интервалов 99% и 95%.

Вариограмма - ключевая функция в геостатистика поскольку он будет использоваться для соответствия модели временного /пространственная корреляция наблюдаемого явления. Таким образом, проводится различие между экспериментальная вариограмма это визуализация возможной пространственной / временной корреляции и модель вариограммы который в дальнейшем используется для определения весов кригинг функция. Обратите внимание, что экспериментальная вариограмма представляет собой эмпирическую оценку ковариация из Гауссовский процесс. Таким образом, это может не быть положительно определенный и, следовательно, не может использоваться напрямую в кригинг, без ограничений и дальнейшей обработки. Это объясняет, почему используется только ограниченное количество моделей вариограмм: чаще всего это линейная, сферическая, гауссова и экспоненциальная модели.

Связанные понятия

Квадрат в вариограмме, например ${ Displaystyle (Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2})) ^ {2}}$ , можно заменить на разные степени: A мадограмма определяется с помощью абсолютная разница, ${ Displaystyle | Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) |}$ , а родограмма определяется с помощью квадратный корень абсолютной разницы, ${ Displaystyle | Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) | ^ {0.5}}$ . Оценщики на основе этих более низких степеней считается более стойкий к выбросы. Их можно обобщить как «вариограмму порядка. α",

{ Displaystyle 2 гамма ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = E left [ left | Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) right | ^ { alpha} right]}

,

в котором вариограмма 2-го порядка, мадограмма - вариограмма 1-го порядка, а родограмма - вариограмма 0,5-го порядка.^[4]

Когда вариограмма используется для описания корреляции различных переменных, она называется кросс-вариограмма. Кросс-вариограммы используются в ко-кригинг.Если переменная является двоичной или представляет классы значений, тогда говорят о индикаторные вариограммы. Индикаторная вариограмма используется в индикатор кригинга.

Примеры исследований

Эмпирические вариограммы для пространственно-временной изменчивости усредненных по столбцам углекислый газ был использован для определения критериев совпадения спутниковых и наземных измерений.^[3]
Эмпирические вариограммы рассчитывались для плотности неоднородного материала (гильсоуглерода).^[5]
Эмпирические вариограммы рассчитываются по наблюдениям сильное движение грунта из землетрясения.^[6] Эти модели используются для сейсмический риск и оценки потерь пространственно распределенной инфраструктуры.^[7]

Смотрите также

внешняя ссылка

[Matheron1963-1] Матерон, Жорж (1963). «Принципы геостатистики». Экономическая геология. 58 (8): 1246–1266. Дои:10.2113 / gsecongeo.58.8.1246. ISSN 1554-0774.

[2] Форд, Дэвид. «Эмпирическая вариограмма» (PDF). faculty.washington.edu/edford. Получено 31 октября 2017.

[Nguyen2014-3] а ^б Nguyen, H .; Остерман, G .; Wunch, D .; О'Делл, С .; Mandrake, L .; Wennberg, P .; Фишер, Б .; Кастано, Р. (2014). "Способ определения спутникового Икс_CO₂ данные в наземные данные и их применение в ACOS-GOSAT и TCCON ». Методы атмосферных измерений. 7 (8): 2631–2644. Bibcode:2014АМТ ..... 7.2631Н. Дои:10.5194 / amt-7-2631-2014. ISSN 1867-8548.

[4] Олеа, Рикардо А. (1991). Геостатистический глоссарий и многоязычный словарь. Издательство Оксфордского университета. С. 47, 67, 81. ISBN 9780195066890.

[arregui18-5] Arregui Mena, J.D .; и другие. (2018). «Характеристика пространственной изменчивости свойств материалов Gilsocarbon и NBG-18 с использованием случайных полей». Журнал ядерных материалов. 511: 91–108. Bibcode:2018JNuM..511 ... 91A. Дои:10.1016 / j.jnucmat.2018.09.008.

[6] Скьяппапьетра, Эрика; Дуглас, Джон (апрель 2020 г.). «Моделирование пространственной корреляции движения грунта при землетрясении: выводы из литературы, данные последовательности землетрясений в Центральной Италии 2016–2017 годов и моделирование движения грунта». Обзоры наук о Земле. 203: 103139. Bibcode:2020ESRv..20303139S. Дои:10.1016 / j.earscirev.2020.103139.

[7] Соколов Владимир; Венцель, Фридеманн (25.07.2011). «Влияние пространственной корреляции сильных колебаний грунта на неопределенность оценки потерь от землетрясений». Землетрясение и структурная динамика. 40 (9): 993–1009. Дои:10.1002 / eqe.1074.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Вариограмма - Variogram

Содержание

Определение

Вариограмма

Вариограмма

Характеристики

Эмпирическая вариограмма и применение

Параметры вариограммы

Модели вариограмм

Обсуждение

Связанные понятия

Примеры исследований

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка