Ковариационная функция - Covariance function

В теория вероятности и статистика, ковариация является мерой того, насколько две переменные изменяются вместе, а ковариационная функция, или же ядро, описывает пространственную или временную ковариацию процесса или поля случайной величины. Для случайное поле или же случайный процесс Z(Икс) в домене D, ковариационная функция C(Икс, у) дает ковариацию значений случайного поля в двух местах Икс и у:

${displaystyle C (x, y): = operatorname {cov} (Z (x), Z (y)) = mathbb {E} left [{Z (x) -mathbb {E} [Z (x)]} cdot {Z (y) -mathbb {E} [Z (y)]} ight].,}$

Такой же C(Икс, у) называется автоковариация функция в двух экземплярах: в Временные ряды (для обозначения того же самого понятия, за исключением того, что Икс и у относятся к местоположениям во времени, а не в пространстве), и в многомерных случайных полях (для обозначения ковариации переменной с самой собой, в отличие от перекрестная ковариация между двумя разными переменными в разных местах, Cov (Z(Икс₁), Y(Икс₂))).^[1]

Допустимость

Для локаций Икс₁, Икс₂, …, Икс_N ∈ D дисперсия каждой линейной комбинации

${displaystyle X = sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} Z (x_ {i})}$

можно вычислить как

${displaystyle operatorname {var} (X) = sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} w_ {i} C (x_ {i}, x_ {j}) w_ { j}.}$

Функция является допустимой ковариационной функцией тогда и только тогда, когда^[2] эта дисперсия неотрицательна для всех возможных вариантов выбора N и веса ш₁, …, ш_N. Функция с этим свойством называется положительно определенный.

Упрощения со стационарностью

В случае слабой стационарный случайное поле, куда

${displaystyle C (x_ {i}, x_ {j}) = C (x_ {i} + h, x_ {j} + h),}$

при любом отставании час, ковариационная функция может быть представлена ​​однопараметрической функцией

${displaystyle C_ {s} (h) = C (0, h) = C (x, x + h),}$

который называется ковариограмма а также ковариационная функция. Неявно C(Икс_я, Икс_j) можно вычислить из C_s(час) к:

${displaystyle C (x, y) = C_ {s} (y-x).,}$

В положительная определенность этой версии ковариационной функции с одним аргументом можно проверить с помощью Теорема Бохнера.^[2]

Параметрические семейства ковариационных функций

Простая стационарная параметрическая ковариационная функция - это «экспоненциальная ковариационная функция».

${displaystyle C (d) = exp (-d / V)}$

куда V - параметр масштабирования, а d = d(Икс,у) - расстояние между двумя точками. Примеры путей Гауссовский процесс с экспоненциальной ковариационной функцией не являются гладкими. "Квадрат экспоненциальной ковариационной функции"

${displaystyle C (d) = exp (- (d / V) ^ {2})}$

- стационарная ковариационная функция с гладкими траекториями выборки.

В Ковариационная функция Матерна и рациональная квадратичная ковариационная функция - два параметрических семейства стационарных ковариационных функций. Семейство Матернов включает экспоненциальную и экспоненциальную ковариационные функции в квадрате как частные случаи.

Смотрите также

• Вариограмма
• Случайное поле
• Стохастический процесс
• Кригинг
• Автокорреляционная функция
• Корреляционная функция
• Положительно определенное ядро

Рекомендации