Автоковариация - Autocovariance

В теория вероятности и статистика, учитывая случайный процесс, то автоковариация это функция, которая дает ковариация процесса с самим собой в пары временных точек. Автоковариация тесно связана с автокорреляция рассматриваемого процесса.

Автоковариантность случайных процессов

Определение

С обычными обозначениями для ожидание оператор, если случайный процесс имеет иметь в виду функция , то автоковариация определяется выражением[1]:п. 162

 

 

 

 

(Уравнение 2)

куда и два момента во времени.

Определение слабо стационарного процесса

Если это слабо стационарный (WSS) процесс, то верно следующее:[1]:п. 163

для всех

и

для всех

и

куда - время задержки или время, на которое сигнал был сдвинут.

Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом:[2]:п. 517

 

 

 

 

(Уравнение 3)

что эквивалентно

.

Нормализация

Это обычная практика в некоторых дисциплинах (например, статистика и анализ временных рядов ), чтобы нормализовать функцию автоковариации, чтобы получить зависящую от времени Коэффициент корреляции Пирсона. Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.

Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:

.

Если функция четко определено, его значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляция.

Для процесса WSS это определение

.

куда

.

Характеристики

Свойство симметрии

[3]:стр.169

соответственно для процесса WSS:

[3]:стр.173

Линейная фильтрация

Автоковариантность линейно фильтрованного процесса

является

Расчет турбулентной диффузии

Автоковариацию можно использовать для расчета бурный диффузность.[4] Турбулентность потока может вызвать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний.[нужна цитата ].

Разложение Рейнольдса используется для определения пульсаций скорости (предположим, что сейчас мы работаем с одномерной задачей и скорость по направление):

куда - истинная скорость, а это ожидаемое значение скорости. Если мы выберем правильный , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в . Чтобы определить , требуется набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или повторных экспериментов.

Если принять турбулентный поток (, и c - член концентрации) может быть вызвано случайным блужданием, мы можем использовать Законы диффузии Фика чтобы выразить член турбулентного потока:

Автоковариация скорости определяется как

или же

куда время задержки, и это расстояние запаздывания.

Турбулентная диффузия можно рассчитать с помощью следующих 3 методов:

  1. Если у нас есть данные о скорости вдоль Лагранжева траектория:
  2. Если у нас есть данные о скорости на одном фиксированном (Эйлеров ) место расположения[нужна цитата ]:
  3. Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках[нужна цитата ]:
    куда - это расстояние, разделенное этими двумя фиксированными точками.

Автоковариация случайных векторов

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Хсу, Хвей (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-030644-8.
  2. ^ Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19395-5.
  3. ^ а б Кун Иль Парк, Основы вероятностных и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
  4. ^ Тейлор, Г. И. (1922-01-01). «Распространение непрерывным движением» (PDF). Труды Лондонского математического общества. s2-20 (1): 196–212. Дои:10.1112 / плмс / с2-20.1.196. ISSN  1460–244X.