Кросс-ковариация - Cross-covariance

В вероятность и статистика, учитывая два случайные процессы ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ и ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$ , то кросс-ковариация это функция, которая дает ковариация одного процесса с другим в пары моментов времени. С обычными обозначениями ${ displaystyle operatorname {E}}$ ; для ожидание оператор, если процессы имеют иметь в виду функции ${ displaystyle mu _ {X} (t) = operatorname { operatorname {E}} [X_ {t}]}$ и ${ displaystyle mu _ {Y} (t) = operatorname {E} [Y_ {t}]}$ , то кросс-ковариация определяется выражением

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {cov} (X_ {t_ {1}}, Y_ {t_ {2}}) = operatorname { E} [(X_ {t_ {1}} - mu _ {X} (t_ {1})) (Y_ {t_ {2}} - mu _ {Y} (t_ {2}))] = имя оператора {E} [X_ {t_ {1}} Y_ {t_ {2}}] - mu _ {X} (t_ {1}) mu _ {Y} (t_ {2}). ,}

Кросс-ковариация связана с наиболее часто используемыми взаимная корреляция рассматриваемых процессов.

В случае двух случайных векторов ${ Displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {p}) ^ { rm {T}}}$ и ${ Displaystyle mathbf {Y} = (Y_ {1}, Y_ {2}, ldots, Y_ {q}) ^ { rm {T}}}$ , кросс-ковариация будет ${ displaystyle p times q}$ матрица ${ displaystyle operatorname {K} _ {XY}}$ (часто обозначается ${ displaystyle operatorname {cov} (X, Y)}$ ) с записями ${ displaystyle operatorname {K} _ {XY} (j, k) = operatorname {cov} (X_ {j}, Y_ {k}). ,}$ Таким образом, термин кросс-ковариация используется для того, чтобы отличить это понятие от ковариации случайного вектора ${ displaystyle mathbf {X}}$ , что понимается как матрица ковариаций между скалярными компонентами ${ displaystyle mathbf {X}}$ сам.

В обработка сигналов, кросс-ковариацию часто называют взаимная корреляция и является мера сходства из двух сигналы, обычно используется для поиска функций в неизвестном сигнале путем сравнения его с известным. Это функция относительного время между сигналами, иногда называют скольжение скалярное произведение, и имеет приложения в распознавание образов и криптоанализ.

Кросс-ковариация случайных векторов

Кросс-ковариантность случайных процессов

Определение кросс-ковариации случайного вектора можно обобщить на случайные процессы следующее:

Определение

Позволять ${ Displaystyle {Х (т) }}$ и ${ Displaystyle {Y (т) }}$ обозначают случайные процессы. Тогда кросс-ковариационная функция процессов ${ displaystyle K_ {XY}}$ определяется:^[1]^:стр.172

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} operatorname {cov} (X_ {t_ {1} }, Y_ {t_ {2}}) = operatorname {E} left [ left (X (t_ {1}) - mu _ {X} (t_ {1}) right) left (Y ( t_ {2}) - mu _ {Y} (t_ {2}) right) right]}

(Уравнение 2)

куда ${ displaystyle mu _ {X} (t) = operatorname {E} left [X (t) right]}$ и ${ displaystyle mu _ {Y} (t) = operatorname {E} left [Y (t) right]}$ .

Если процессы являются сложными случайными процессами, второй фактор должен быть комплексно сопряженным.

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} operatorname {cov} (X_ {t_ {1} }, Y_ {t_ {2}}) = operatorname {E} left [ left (X (t_ {1}) - mu _ {X} (t_ {1}) right) { overline { left (Y (t_ {2}) - mu _ {Y} (t_ {2}) right)}} right]}

Определение совместных процессов WSS

Если ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ и ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$ площадь совместно в широком смысле стационарный, то верно следующее:

{ Displaystyle му _ {X} (т_ {1}) = му _ {X} (т_ {2}) треугольник му _ {X}}

для всех

{ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

,

{ Displaystyle му _ {Y} (т_ {1}) = му _ {Y} (т_ {2}) треугольник му _ {Y}}

для всех

{ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

и

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {K} _ {XY} (t_ {2} -t_ {1}, 0)}

для всех

{ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

Установив ${ displaystyle tau = t_ {2} -t_ {1}}$ (временная задержка или количество времени, на которое сигнал был сдвинут), мы можем определить

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} ( tau) = operatorname {K} _ {XY} (t_ {2} -t_ {1}) треугольникq operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2})}

.

Таким образом, кросс-ковариационная функция двух совместных процессов WSS определяется следующим образом:

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} ( tau) = operatorname {cov} (X_ {t}, Y_ {t- tau}) = operatorname {E} [(X_ {t} - mu _ {X}) (Y_ {t- tau} - mu _ {Y})] = operatorname {E} [X_ {t} Y_ {t- tau}] - mu _ {X} mu _ {Y}}

(Уравнение 3)

что эквивалентно

{ displaystyle operatorname {K} _ {XY} ( tau) = operatorname {cov} (X_ {t + tau}, Y_ {t}) = operatorname {E} [(X_ {t + tau} - mu _ {X}) (Y_ {t} - mu _ {Y})] = operatorname {E} [X_ {t + tau} Y_ {t}] - mu _ {X} mu _ { Y}}

.

Некоррелированность

Два случайных процесса ${ displaystyle left {X_ {t} right }}$ и ${ displaystyle left {Y_ {t} right }}$ называются некоррелированный если их ковариация ${ displaystyle operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2})}$ всегда равен нулю.^[1]^:стр.142 Формально:

{ displaystyle left {X_ {t} right }, left {Y_ {t} right } { text {uncorrelated}} quad iff quad operatorname {K} _ { mathbf {X} mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 quad forall t_ {1}, t_ {2}}

.

Кросс-ковариация детерминированных сигналов

Кросс-ковариация также актуальна в обработка сигналов где кросс-ковариация между двумя стационарный в широком смысле случайные процессы можно оценить путем усреднения произведения образцов, измеренных в одном процессе, и образцов, измеренных в другом (и его временных сдвигов). Выборки, включенные в среднее значение, могут быть произвольным подмножеством всех выборок в сигнале (например, выборки в пределах конечного временного окна или подвыборка одного из сигналов). Для большого количества выборок среднее сходится к истинной ковариации.

Кросс-ковариация может также относиться к «детерминированная» кросс-ковариация между двумя сигналами. Это состоит из суммирования все индексы времени. Например, для сигналов с дискретным временем ${ displaystyle f [k]}$ и ${ displaystyle g [k]}$ кросс-ковариация определяется как

{ Displaystyle (е звезда г) [п] { stackrel { mathrm {def}} {=}} сумма _ {к in mathbb {Z}} { overline {f [k]} } g [n + k] = sum _ {k in mathbb {Z}} { overline {f [kn]}} g [k]}

где линия указывает, что комплексно сопряженный берется, когда сигналы комплексный.

Для непрерывных функций ${ displaystyle f (x)}$ и ${ displaystyle g (x)}$ (детерминированная) кросс-ковариация определяется как

{ Displaystyle (е звезда г) (х) { stackrel { mathrm {def}} {=}} int { overline {f (t)}} г (х + т) , dt = int { overline {f (tx)}} g (t) , dt}

.

Характеристики

(Детерминированная) кросс-ковариация двух непрерывных сигналов связана с свертка к

{ Displaystyle (е звезда г) (т) = ({ overline {е (- тау)}} * г ( тау)) (т)}

и (детерминированная) кросс-ковариация двух сигналов дискретного времени связана с дискретная свертка к

{ Displaystyle (е звезда г) [п] = ({ overline {е [-k]}} * г [к]) [п]}

.

Смотрите также

внешняя ссылка

[KunIlPark-1] а ^б Кун Иль Парк, Основы вероятностных и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

[1]

Кросс-ковариация - Cross-covariance

Содержание

Кросс-ковариация случайных векторов

Кросс-ковариантность случайных процессов

Определение

Определение совместных процессов WSS

Некоррелированность

Кросс-ковариация детерминированных сигналов

Характеристики

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Корреляция и ковариация
Часть серии по Статистика

Корреляция и ковариация случайных векторов Матрица автокорреляции Матрица взаимной корреляции Матрица автоковариации Матрица кросс-ковариации
Корреляция и ковариация случайных процессов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
Корреляция и ковариация детерминированных сигналов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция