Местное время (математика) - Википедия - Local time (mathematics)

Примерный путь процесса Itō вместе с его поверхностью местного времени.

в математический теория случайные процессы, местное время случайный процесс, связанный с семимартингал такие процессы как Броуновское движение, который характеризует количество времени, которое частица провела на заданном уровне. Местное время отображается в различных стохастическая интеграция формулы, такие как Формула Танаки, если подынтегральное выражение недостаточно гладкое. Это также изучается в статистической механике в контексте случайные поля.

Формальное определение

Для непрерывного вещественного семимартингала ${ displaystyle (B_ {s}) _ {s geq 0}}$ , местное время ${ displaystyle B}$ в момент ${ displaystyle x}$ - случайный процесс, который неформально определяется

{ displaystyle L ^ {x} (t) = int _ {0} ^ {t} delta (x-B_ {s}) , d [B] _ {s},}

куда ${ displaystyle delta}$ это Дельта-функция Дирака и ${ displaystyle [B]}$ это квадратичная вариация. Это понятие изобретено Поль Леви. Основная идея заключается в том, что ${ Displaystyle L ^ {х} (т)}$ является (соответствующим образом масштабируемым и параметризованным по времени) показателем того, сколько времени ${ displaystyle B_ {s}}$ провел в ${ displaystyle x}$ до времени ${ displaystyle t}$ . Более строго, это можно записать как почти верный предел

{ displaystyle L ^ {x} (t) = lim _ { varepsilon downarrow 0} { frac {1} {2 varepsilon}} int _ {0} ^ {t} 1 _ { {x- varepsilon

которые всегда можно показать. Обратите внимание, что в частном случае броуновского движения (или, в более общем смысле, действительного значения распространение формы ${ Displaystyle дБ = b (t, B) dt + dW}$ куда ${ displaystyle W}$ - броуновское движение), член ${ displaystyle d [B] _ {s}}$ просто сводится к ${ displaystyle ds}$ , что объясняет, почему оно называется местным временем ${ displaystyle B}$ в ${ displaystyle x}$ . Для дискретного процесса в пространстве состояний ${ displaystyle (X_ {s}) _ {s geq 0}}$ , местное время можно выразить проще как^[1]

{ displaystyle L ^ {x} (t) = int _ {0} ^ {t} 1 _ { {x }} (X_ {s}) , ds.}

Формула Танаки

Формула Танаки также дает определение местного времени для произвольного непрерывного семимартингала. ${ displaystyle (X_ {s}) _ {s geq 0}}$ на ${ displaystyle mathbb {R}:}$ ^[2]

{ displaystyle L ^ {x} (t) = | X_ {t} -x | - | X_ {0} -x | - int _ {0} ^ {t} left (1 _ {(0, infty )} (X_ {s} -x) -1 _ {(- infty, 0]} (X_ {s} -x) right) , dX_ {s}, qquad t geq 0.}

Более общая форма была независимо доказана Мейером.^[3] и Ванга;^[4] формула расширяет лемму Ито для дважды дифференцируемых функций на более общий класс функций. Если ${ Displaystyle F: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ абсолютно непрерывна с производной ${ displaystyle F ',}$ имеющего ограниченную вариацию, то

{ Displaystyle F (X_ {t}) = F (X_ {0}) + int _ {0} ^ {t} F '_ {-} (X_ {s}) , dX_ {s} + { frac {1} {2}} int _ {- infty} ^ { infty} L ^ {x} (t) , dF '' (x),}

куда ${ displaystyle F '_ {-}}$ - левая производная.

Если ${ displaystyle X}$ является броуновским движением, то для любого ${ Displaystyle альфа в (0,1 / 2)}$ поле местного времени ${ displaystyle L = (L ^ {x} (t)) _ {x in mathbb {R}, t geq 0}}$ имеет модификацию a.s. Гёльдера непрерывно в ${ displaystyle x}$ с показателем ${ displaystyle alpha}$ , равномерно для ограниченного ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle t}$ .^[5] В целом, ${ displaystyle L}$ имеет модификацию a.s. непрерывно в ${ displaystyle t}$ и càdlàg в ${ displaystyle x}$ .

Формула Танаки дает явное Разложение Дуба – Мейера для одномерного отражающего броуновского движения ${ displaystyle (| B_ {s} |) _ {s geq 0}}$ .

Теоремы Рэя – Найта

Поле местного времени ${ displaystyle L_ {t} = (L_ {t} ^ {x}) _ {x in E}}$ связанный со случайным процессом в пространстве ${ displaystyle E}$ - хорошо изученная тема в области случайных полей. Теоремы типа Рэя – Найта связывают поле L_т ассоциированному Гауссовский процесс.

В общем случае теоремы типа Рэя – Найта первого рода рассматривают поле L_т во время достижения основного процесса, в то время как теоремы второго типа выражаются в терминах времени остановки, при котором поле местного времени сначала превышает заданное значение.

Первая теорема Рэя – Найта.

Позволять (B_т)_{т ≥ 0} - одномерное броуновское движение, начавшееся с B₀ = а > 0 и (W_т)_т≥0 - стандартное двумерное броуновское движение W₀ = 0 ∈ р². Определите время остановки, в которое B сначала попадает в начало, ${ displaystyle T = inf {t geq 0 двоеточие B_ {t} = 0 }}$ . Рэй^[6] и рыцарь^[7] (независимо) показали, что

{ displaystyle left {L ^ {x} (T) двоеточие x in [0, a] right } { stackrel { mathcal {D}} {=}} left {| W_ { x} | ^ {2} двоеточие x in [0, a] right } ,}

(1)

куда (L_т)_{т ≥ 0} - поле местного времени (B_т)_{т ≥ 0}, а равенство находится в распределении на C[0, а]. Процесс |W_Икс|² известен как квадрат Бесселевский процесс.

Вторая теорема Рэя – Найта.

Позволять (B_т)_{т ≥ 0} - стандартное одномерное броуновское движение B₀ = 0 ∈ р, и разреши (L_т)_{т ≥ 0} быть связанным полем местного времени. Позволять Т_а быть первым, когда местное время в ноль превышает а > 0

{ displaystyle T_ {a} = inf {t geq 0 двоеточие L_ {t} ^ {0}> a }.}

Позволять (W_т)_{т ≥ 0} - независимое одномерное броуновское движение, начавшееся с W₀ = 0, то^[8]

{ displaystyle left {L_ {T_ {a}} ^ {x} + W_ {x} ^ {2} двоеточие x geq 0 right } { stackrel { mathcal {D}} {=} } left {(W_ {x} + { sqrt {a}}) ^ {2} двоеточие x geq 0 right }. ,}

(2)

Эквивалентно процесс ${ displaystyle (L_ {T_ {a}} ^ {x}) _ {x geq 0}}$ (который является процессом в пространственной переменной ${ displaystyle x}$ ) равна по распределению квадрату 0-мерного Бесселевский процесс, и как таковой является марковским.

Обобщенные теоремы Рэя – Найта.

Результаты типа Рэя – Найта для более общих случайных процессов интенсивно изучаются, и аналогичные утверждения обоих (1) и (2) известны для сильно симметричных марковских процессов.

Смотрите также

Примечания

^ Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer.
^ Калленберг (1997). Основы современной вероятности. Нью-Йорк: Спрингер. стр.428 –449. ISBN 0387949577.
^ Мейер, Поль-Андре (2002) [1976]. "Un Cours Sur les intégrales stochastiques". Seminaire de probabilités 1967–1980. Lect. Заметки по математике. 1771. С. 174–329. Дои:10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN 978-3-540-42813-8.
^ Ван (1977). «Обобщенная формула Ито и аддитивные функционалы броуновского движения». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 41 (2): 153–159. Дои:10.1007 / bf00538419. S2CID 123101077.
^ Калленберг (1997). Основы современной вероятности. Нью-Йорк: Спрингер. стр.370. ISBN 0387949577.
^ Рэй, Д. (1963). «Время пребывания диффузионного процесса». Иллинойсский журнал математики. 7 (4): 615–630. Дои:10.1215 / ijm / 1255645099. МИСТЕР 0156383. Zbl 0118.13403.
^ Найт, Ф. Б. (1963). «Случайные блуждания и процесс плотности пребывания броуновского движения». Труды Американского математического общества. 109 (1): 56–86. Дои:10.2307/1993647. JSTOR 1993647.
^ Маркус; Розен (2006). Марковские процессы, гауссовские процессы и локальные времена. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.53 –56. ISBN 0521863007.

Стохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стиранием петли Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Обе	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы (Блюменталь, Борель – Кантелли, Энгельберт-Шмидт, Хьюитт-Сэвидж, Колмогоров, Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Карунен – Loève_theorem Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Скороход космос Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чипе дизайн Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория