Формула Танакаса - Википедия - Tanakas formula

в стохастическое исчисление, Формула Танаки утверждает, что

${ displaystyle | B_ {t} | = int _ {0} ^ {t} operatorname {sgn} (B_ {s}) , dB_ {s} + L_ {t}}$

куда B_т это стандарт Броуновское движение, sgn обозначает функция знака

${ displaystyle operatorname {sgn} (x) = { begin {cases} + 1, & x> 0; 0, & x = 0 - 1, & x <0. end {cases}}}$

и L_т это его местное время на 0 (местное время, потраченное B в 0 раньше времени т) данный L²-предел

${ displaystyle L_ {t} = lim _ { varepsilon downarrow 0} { frac {1} {2 varepsilon}} | {s in [0, t] | B_ {s} in (- varepsilon, + varepsilon) } |.}$

Характеристики

Формула Танаки является явным Разложение Дуба – Мейера субмартингейла |B_т| в мартингейл часть ( интеграл справа) и непрерывно возрастающий процесс (местное время). Также его можно рассматривать как аналог Лемма Ито для (негладкой) функции абсолютного значения ${ Displaystyle f (x) = | x |}$, с ${ displaystyle f '(x) = operatorname {sgn} (x)}$ и ${ Displaystyle F '' (х) = 2 дельта (х)}$; видеть местное время для формального объяснения термина Ито.

Схема доказательства

В функция |Икс| не является C² в Икс в Икс = 0, поэтому мы не можем применить Формула Ито напрямую. Но если мы приблизим его к нулю (т.е. в [-ε, ε]) к параболы

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {2 | varepsilon |}} + { frac {| varepsilon |} {2}}.}$

И используя Формула Ито тогда мы можем взять предел в качестве ε → 0, что приводит к формуле Танаки.

Рекомендации

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Пример 5.3.2)
• Ширяев, Альберт Н.; пер. Н. Кружилин (1999). Основы стохастических финансов: факты, модели, теория. Расширенная серия по статистической науке и прикладной теории вероятностей № 3. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN  981-02-3605-0.