Гамма-процесс - Википедия - Gamma process

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Ноябрь 2008 г.) Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Март 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А гамма-процесс это случайный процесс с независимый гамма распределенная приращения. Часто пишется как ${ Displaystyle Гамма (т; гамма, лямбда)}$, это чистый прыжок увеличение Леви процесс с мерой интенсивности ${ Displaystyle ню (х) = гамма х ^ {- 1} ехр (- лямбда х),}$ для положительного ${ displaystyle x}$. Таким образом, скачки, размер которых лежит в интервале ${ Displaystyle [х, х + dx)}$ происходит как Пуассоновский процесс с интенсивностью ${ displaystyle nu (x) dx.}$ Параметр ${ displaystyle gamma}$ контролирует скорость появления прыжков и параметр масштабирования ${ displaystyle lambda}$ обратно пропорционально контролирует размер прыжка. Предполагается, что процесс начинается со значения 0 при т=0.

Гамма-процесс иногда также параметризуется с помощью среднего (${ displaystyle mu}$) и дисперсия (${ displaystyle v}$) увеличения в единицу времени, что эквивалентно ${ displaystyle gamma = mu ^ {2} / v}$ и ${ displaystyle lambda = mu / v}$.

Характеристики

Поскольку мы используем Гамма-функция в этих свойствах мы можем написать процесс во время ${ displaystyle t}$ в качестве ${ Displaystyle X_ {т} эквив гамма (т; гамма, лямбда)}$ чтобы устранить двусмысленность.

Некоторые основные свойства гамма-процесса:^{[нужна цитата ]}

Маржинальное распределение

В предельное распределение гамма-процесса во времени ${ displaystyle t}$ это гамма-распределение со средним ${ displaystyle gamma t / lambda}$ и дисперсия ${ displaystyle gamma t / lambda ^ {2}.}$

То есть его плотность ${ displaystyle f}$ дан кем-то

$${ Displaystyle е (х; т, гамма, лямбда) = { гидроразрыва { лямбда ^ { гамма т}} { гамма ( гамма т)}} х ^ { гамма т , - , 1} e ^ {- lambda x}.}$$

Масштабирование

Умножение гамма-процесса на скалярную константу ${ displaystyle alpha}$ это снова гамма-процесс с другой средней скоростью увеличения.

${ Displaystyle альфа Гамма (т; гамма, лямбда) simeq Гамма (т; гамма, лямбда / альфа)}$

Добавление независимых процессов

Сумма двух независимых гамма-процессов снова является гамма-процессом.

${ Displaystyle Gamma (t; gamma _ {1}, lambda) + Gamma (t; gamma _ {2}, lambda) simeq Gamma (t; gamma _ {1} + gamma _ {2}, lambda)}$

Моменты

${ Displaystyle mathbb {E} (X_ {t} ^ {n}) = lambda ^ {- n} Gamma ( gamma t + n) / Gamma ( gamma t), quad n geq 0,}$ куда ${ Displaystyle Gamma (г)}$ это Гамма-функция.

Функция создания момента

${ Displaystyle mathbb {E} { Big (} exp ( theta X_ {t}) { Big)} = (1- theta / lambda) ^ {- gamma t}, quad тета < лямбда}$

Корреляция

${ displaystyle operatorname {Corr} (X_ {s}, X_ {t}) = { sqrt {s / t}}, s$, для любого гамма-процесса ${ Displaystyle X (t).}$

Гамма-процесс используется как распределение случайного изменения времени в дисперсия гамма-процесса.

Рекомендации

• Процессы Леви и стохастическое исчисление Дэвид Эпплбаум, CUP 2004, ISBN  0-521-83263-2.

Этот вероятность -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.