Теория разорения - Ruin theory

В актуарная наука и прикладная вероятность теория разорения (иногда теория риска^[1] или же теория коллективного риска) использует математические модели для описания уязвимости страховщика перед банкротством / банкротством. В таких моделях ключевыми величинами, представляющими интерес, являются вероятность разорения, распределение излишка непосредственно перед разорением и дефицит во время разорения.

Классическая модель

Примерный путь процесса сложного пуассоновского риска

Теоретическая основа теории разорения, известная как модель Крамера – Лундберга (или классическая модель комбинированного пуассоновского риска, классический процесс риска^[2] или процесс риска Пуассона) был введен в 1903 году шведским актуарием Филип Лундберг.^[3] Работа Лундберга была переиздана в 1930-х гг. Харальд Крамер.^[4]

Модель описывает страховую компанию, которая испытывает два противоположных денежных потока: входящие денежные премии и исходящие претензии. Премии поступают с постоянной скоростью c > 0 от клиентов и претензии поступают в соответствии с Пуассоновский процесс ${displaystyle N_ {t}}$ с интенсивностью λ и есть независимые и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины ${displaystyle xi _ {i}}$ с распределением F и значит μ (они образуют составной процесс Пуассона ). Итак, для страховщика, который начинает с первоначального профицита Икс, совокупные активы ${displaystyle X_ {t}}$ даны:^[5]

${displaystyle X_ {t} = x + ct-sum _ {i = 1} ^ {N_ {t}} xi _ {i} quad {ext {for t}} geq 0.}$

Центральная цель модели - исследовать вероятность того, что уровень профицита страховщика в конечном итоге упадет ниже нуля (что сделает фирму банкротом). Эта величина, называемая вероятностью окончательного разорения, определяется как

${displaystyle psi (x) = mathbb {P} ^ {x} {au$

где время разорения ${displaystyle au = inf {t> 0,:, X (t) <0}}$ с условием, что ${displaystyle inf varnothing = infty}$. Это можно точно вычислить, используя Формула Поллачека – Хинчина в качестве^[6] (функция разорения здесь эквивалентна хвостовой функции стационарного распределения времени ожидания в Очередь M / G / 1^[7])

${displaystyle psi (x) = left (1- {frac {lambda mu} {c}} ight) sum _ {n = 0} ^ {infty} left ({frac {lambda mu} {c}} ight) ^ { n} (1-F_ {l} ^ {ast n} (x))}$

куда ${displaystyle F_ {l}}$ является преобразованием хвостового распределения ${displaystyle F}$,

${displaystyle F_ {l} (x) = {frac {1} {mu}} int _ {0} ^ {x} left (1-F (u) ight) {ext {d}} u}$

и ${displaystyle cdot ^ {ast n}}$ обозначает ${displaystyle n}$-складывать свертка.В случае, когда размеры требований распределены экспоненциально, это упрощается до^[7]

${displaystyle psi (x) = {frac {lambda mu} {c}} e ^ {- left ({frac {1} {mu}} - {frac {lambda} {c}} ight) x}.}$

Модель Спарре Андерсена

Э. Спарре Андерсен расширил классическую модель в 1957 г.^[8] позволяя заявленным временам между поступлениями иметь произвольные функции распределения.^[9]

${displaystyle X_ {t} = x + ct-sum _ {i = 1} ^ {N_ {t}} xi _ {i} quad {ext {for}} tgeq 0,}$

где процесс номера претензии ${displaystyle (N_ {t}) _ {tgeq 0}}$ это процесс обновления и ${displaystyle (xi _ {i}) _ {iin mathbb {N}}}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Кроме того, модель предполагает, что ${displaystyle xi _ {i}> 0}$ почти наверняка и это ${displaystyle (N_ {t}) _ {tgeq 0}}$ и ${displaystyle (xi _ {i}) _ {iin mathbb {N}}}$ независимы. Модель также известна как модель риска возобновления.

Ожидаемая функция дисконтированного штрафа

Майкл Р. Пауэрс^[10] и Гербер и Шиу^[11] проанализировали поведение излишка страховщика через ожидаемая дисконтированная штрафная функция, который в литературе о руинах обычно называют функцией Гербера-Шиу. Спорный вопрос, должна ли эта функция называться функцией Пауэрса-Гербера-Шиу из-за вклада Пауэрса.^[10]

В Полномочия 'обозначение, это определяется как

${displaystyle m (x) = mathbb {E} ^ {x} [e ^ {- delta au} K_ {au}]}$,

куда ${displaystyle delta}$ сила дисконтирования интереса, ${displaystyle K_ {au}}$ - общая штрафная функция, отражающая экономические издержки страховщика на момент разорения, и ожидаемые ${displaystyle mathbb {E} ^ {x}}$ соответствует вероятностной мере ${displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$. Эта функция называется ожидаемой дисконтированной стоимостью неплатежеспособности Пауэрса.^[10]

В обозначениях Гербера и Шиу это дается как

${displaystyle m (x) = mathbb {E} ^ {x} [e ^ {- delta au} w (X_ {au -}, X_ {au}) mathbb {I} (au$,

куда ${displaystyle delta}$ - сила дисконтирования интереса и ${displaystyle w (X_ {au -}, X_ {au})}$ - штрафная функция, фиксирующая экономические затраты страховщика в момент разорения (предполагается, что она зависит от излишка до разорения ${displaystyle X_ {au -}}$ и дефицит при разорении ${displaystyle X_ {au}}$), а ожидание ${displaystyle mathbb {E} ^ {x}}$ соответствует вероятностной мере ${displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$. Здесь индикаторная функция ${displaystyle mathbb {I} (au$ подчеркивает, что наказание применяется только тогда, когда происходит разорение.

Интерпретация ожидаемой дисконтированной штрафной функции интуитивно понятна. Поскольку функция измеряет актуарную приведенную стоимость штрафа, возникающего при ${displaystyle au}$, штрафная функция умножается на коэффициент дисконтирования ${displaystyle e ^ {- delta au}}$, а затем усредненное по распределению вероятностей времени ожидания до ${displaystyle au}$. Пока Гербер и Шиу^[11] применил эту функцию к классической модели составного Пуассона, Пауэрса^[10] утверждал, что профицит страховщика лучше моделируется семейством диффузионных процессов.

Существует множество величин, связанных с разорением, которые попадают в категорию ожидаемой дисконтированной штрафной функции.

Особый случай	Математическое представление	Выбор штрафной функции
Вероятность окончательного разорения	${displaystyle mathbb {P} ^ {x} {au$	${displaystyle delta = 0, w (x_ {1}, x_ {2}) = 1}$
Совместное (дефектное) распределение излишка и дефицита	${displaystyle mathbb {P} ^ {x} {X_ {au -}$	${displaystyle delta = 0, w (x_ {1}, x_ {2}) = mathbb {I} (x_ {1}$
Неправильное распределение иска, приводящее к разорению	${displaystyle mathbb {P} ^ {x} {X_ {au -} - X_ {au}$	${displaystyle delta = 0, w (x_ {1}, x_ {2}) = mathbb {I} (x_ {1} + x_ {2}$
Трехмерное преобразование времени Лапласа, излишка и дефицита	${displaystyle mathbb {E} ^ {x} [e ^ {- delta au -sX_ {au -} - zX_ {au}}]}$	${displaystyle w (x_ {1}, x_ {2}) = e ^ {- sx_ {1} -zx_ {2}}}$
Совместные моменты излишка и дефицита	${displaystyle mathbb {E} ^ {x} [X_ {au -} ^ {j} X_ {au} ^ {k}]}$	${displaystyle delta = 0, w (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {j} x_ {2} ^ {k}}$

Другие связанные с финансами суммы, относящиеся к классу ожидаемой функции дисконтированных штрафов, включают бессрочный американский пут-опцион,^[12] условное требование в оптимальное время выполнения и многое другое.

Последние достижения

• Модель комбинированного риска-Пуассона с постоянным интересом
• Модель сложного риска Пуассона со стохастическим интересом
• Модель риска броуновского движения
• Общая модель диффузионного процесса
• Марково-модулированная модель риска
• Калькулятор коэффициента вероятности аварии (APF) - модель анализа рисков (@SBH)

Смотрите также

• Финансовый риск
• Интегральное уравнение Вольтерра # Теория руин

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Гербер, Х.У. (1979). Введение в математическую теорию риска. Филадельфия: Серия монографий Фонда С.С. Хойбнера 8.
• Асмуссен С. (2000). Вероятность разорения. Сингапур: World Scientific Publishing Co.