Мера Гиббса - Gibbs measure

В математика, то Мера Гиббса, названный в честь Джозайя Уиллард Гиббс, это вероятностная мера часто встречается во многих проблемах теория вероятности и статистическая механика. Это обобщение канонический ансамбль к бесконечным системам. Канонический ансамбль дает вероятность системы Икс находясь в состоянии Икс (эквивалентно случайная переменная Икс имеющий ценность Икс) в качестве

${ Displaystyle P (X = x) = { frac {1} {Z ( beta)}} exp (- beta E (x)).}$

Здесь, E(Икс) - функция из пространства состояний в действительные числа; в физических приложениях, E(Икс) интерпретируется как энергия конфигурации Икс. Параметр β - свободный параметр; в физике это обратная температура. В нормализующая константа Z(β) это функция распределения. Однако в бесконечных системах полная энергия больше не является конечным числом и не может использоваться в традиционном построении распределения вероятностей канонического ансамбля. Традиционные подходы в статистической физике изучали предел интенсивные свойства когда размер конечной системы приближается к бесконечности ( термодинамический предел ). Когда функцию энергии можно записать как сумму членов, каждый из которых включает только переменные из конечной подсистемы, понятие меры Гиббса обеспечивает альтернативный подход. Меры Гиббса были предложены теоретиками вероятности, такими как Добрушин, Lanford, и Ruelle и предоставил основу для непосредственного изучения бесконечных систем вместо того, чтобы брать предел конечных систем.

Мера является мерой Гиббса, если условные вероятности, которые она индуцирует для каждой конечной подсистемы, удовлетворяют условию согласованности: если все степени свободы вне конечной подсистемы заморожены, канонический ансамбль для подсистемы, подверженной этим граничные условия совпадает с вероятностями в мере Гиббса условный на замороженных степенях свободы.

В Теорема Хаммерсли – Клиффорда означает, что любая вероятностная мера, удовлетворяющая Марковская собственность является мерой Гиббса при соответствующем выборе (локально определенной) энергетической функции. Следовательно, мера Гиббса применима к широко распространенным проблемам за пределами физика, Такие как Сети Хопфилда, Марковские сети, Марковские логические сети, и ограниченно рациональные потенциальные игры по теории игр и экономике. Мера Гиббса в системе с локальными (конечными) взаимодействиями максимизирует энтропия плотность для данного ожидаемого плотность энергии; или, что то же самое, минимизирует свободная энергия плотность.

Мера Гиббса бесконечной системы не обязательно единственна, в отличие от канонического ансамбля конечной системы, который единственен. Существование более чем одной меры Гиббса связано со статистическими явлениями, такими как нарушение симметрии и сосуществование фаз.

Статистическая физика

Множество мер Гиббса на системе всегда выпукло,^[1] поэтому существует либо единственная мера Гиббса (в этом случае система называется "эргодический "), либо их бесконечно много (и система называется" неэргодической "). В неэргодическом случае меры Гиббса могут быть выражены как множество выпуклые комбинации гораздо меньшего числа специальных мер Гиббса, известных как "чистые состояния" (не путать с родственным, но отдельным понятием чистые состояния в квантовой механике ). В физических приложениях гамильтониан (функция энергии) обычно имеет некоторый смысл местонахождение, а чистые состояния имеют кластерная декомпозиция свойство, что «далекие подсистемы» независимы. На практике физически реалистичные системы находятся в одном из этих чистых состояний.

Если гамильтониан обладает симметрией, то единственная (т.е. эргодическая) мера Гиббса обязательно будет инвариантной относительно симметрии. Но в случае множественных (т. Е. Неэргодических) мер Гиббса чистые состояния обычно нет инвариантен относительно симметрии гамильтониана. Например, в бесконечном ферромагнитном Модель Изинга ниже критической температуры есть два чистых состояния, «в основном вверх» и «в основном вниз», которые меняются местами в рамках модели. ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ симметрия.

Марковская собственность

Пример Марковская собственность можно увидеть в мере Гиббса Модель Изинга. Вероятность данного спина σ_k быть в состоянии s в принципе может зависеть от состояний всех остальных спинов в системе. Таким образом, мы можем записать вероятность в виде

${ Displaystyle P ( sigma _ {k} = s mid sigma _ {j}, , j neq k)}$.

Однако в модели Изинга только с взаимодействиями конечного радиуса действия (например, взаимодействиями ближайших соседей) мы фактически имеем

${ Displaystyle P ( sigma _ {k} = s mid sigma _ {j}, , j neq k) = P ( sigma _ {k} = s mid sigma _ {j}, , j in N_ {k})}$,

куда N_k это соседство с сайтом k. То есть вероятность на сайте k зависит от Только на спинах в конечной окрестности. Это последнее уравнение имеет вид локального Марковская собственность. Меры с этим свойством иногда называют Марковские случайные поля. Более того, верно и обратное: любой положительное распределение вероятностей (везде отличная от нуля плотность), обладающее марковским свойством, может быть представлено в виде меры Гиббса для соответствующей энергетической функции.^[2] Это Теорема Хаммерсли – Клиффорда.

Формальное определение на решетках

Ниже приводится формальное определение частного случая случайного поля на решетке. Однако идея меры Гиббса гораздо шире.

Определение Случайное поле Гиббса на решетка требует некоторой терминологии:

• В решетка: Счетный набор ${ Displaystyle mathbb {L}}$.
• В односпиновое пространство: А вероятностное пространство ${ displaystyle (S, { mathcal {S}}, lambda)}$.
• В конфигурационное пространство: ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$, куда ${ Displaystyle Omega = S ^ { mathbb {L}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {F}} = { mathcal {S}} ^ { mathbb {L}}}$.
• Учитывая конфигурацию ω ∈ Ω и подмножество ${ displaystyle Lambda subset mathbb {L}}$, ограничение ω к Λ является ${ displaystyle omega _ { Lambda} = ( omega (t)) _ {t in Lambda}}$. Если ${ Displaystyle Lambda _ {1} cap Lambda _ {2} = emptyset}$ и ${ Displaystyle Lambda _ {1} чашка Lambda _ {2} = mathbb {L}}$, то конфигурация ${ displaystyle omega _ { Lambda _ {1}} omega _ { Lambda _ {2}}}$ конфигурация, ограничения на Λ₁ и Λ₂ находятся ${ displaystyle omega _ { Lambda _ {1}}}$ и ${ displaystyle omega _ { Lambda _ {2}}}$, соответственно.
• Набор ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ всех конечных подмножеств ${ Displaystyle mathbb {L}}$.
• Для каждого подмножества ${ displaystyle Lambda subset mathbb {L}}$, ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Lambda}}$ это σ-алгебра порожденный семейством функций ${ displaystyle ( sigma (t)) _ {t in Lambda}}$, куда ${ Displaystyle сигма (т) ( омега) = омега (т)}$. Объединение этих σ-алгебры как ${ displaystyle Lambda}$ варьируется в зависимости от ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ это алгебра комплекты цилиндров на решетке.
• В потенциал: Семья ${ Displaystyle Phi = ( Phi _ {A}) _ {A in { mathcal {L}}}}$ функций Φ_А : Ω → р такой, что
  1. Для каждого ${ displaystyle A in { mathcal {L}}, Phi _ {A}}$ является ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {A}}$-измеримый, то есть это зависит только от ограничения ${ displaystyle omega _ {A}}$ (и делает это ощутимо).
  2. Для всех ${ displaystyle Lambda in { mathcal {L}}}$ и ω ∈ Ωсуществует следующая серия:^{[когда определяется как? ]}

${ displaystyle H _ { Lambda} ^ { Phi} ( omega) = sum _ {A in { mathcal {L}}, A cap Lambda neq emptyset} Phi _ {A} ( omega).}$

Мы интерпретируем Φ_А как вклад в полную энергию (гамильтониан), связанный с взаимодействием между всеми точками конечного множества А. потом ${ Displaystyle H _ { Lambda} ^ { Phi} ( omega)}$ как вклад в полную энергию всех конечных множеств А это встреча ${ displaystyle Lambda}$. Обратите внимание, что общая энергия обычно бесконечна, но когда мы "локализуемся" на каждом ${ displaystyle Lambda}$ мы надеемся, что оно может быть конечным.

• В Гамильтониан в ${ displaystyle Lambda in { mathcal {L}}}$ с граничные условия ${ displaystyle { bar { omega}}}$, для потенциального Φ, определяется

${ displaystyle H _ { Lambda} ^ { Phi} ( omega mid { bar { omega}}) = H _ { Lambda} ^ { Phi} left ( omega _ { Lambda} { бар { omega}} _ { Lambda ^ {c}} right)}$

куда ${ Displaystyle Lambda ^ {c} = mathbb {L} setminus Lambda}$.

• В функция распределения в ${ displaystyle Lambda in { mathcal {L}}}$ с граничные условия ${ displaystyle { bar { omega}}}$ и обратная температура β > 0 (для потенциальных Φ и λ) определяется

${ Displaystyle Z _ { Lambda} ^ { Phi} ({ bar { omega}}) = int lambda ^ { Lambda} ( mathrm {d} omega) exp (- beta H_ { Lambda} ^ { Phi} ( omega mid { bar { omega}})),}$

куда

${ displaystyle lambda ^ { Lambda} ( mathrm {d} omega) = prod _ {t in Lambda} lambda ( mathrm {d} omega (t)),}$

это мера продукта

Потенциал Φ является λ-допустимый, если ${ displaystyle Z _ { Lambda} ^ { Phi} ({ bar { omega}})}$ конечно для всех ${ displaystyle Lambda in { mathcal {L}}, { bar { omega}} in Omega}$ и β > 0.

А вероятностная мера μ на ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ это Мера Гиббса для λ-допустимый потенциал Φ если он удовлетворяет Уравнение Добрушина – Ланфорда – Рюэля (ДЛР)

${ displaystyle int mu ( mathrm {d} { bar { omega}}) Z _ { Lambda} ^ { Phi} ({ bar { omega}}) ^ {- 1} int лямбда ^ { Lambda} ( mathrm {d} omega) exp (- beta H _ { Lambda} ^ { Phi} ( omega mid { bar { omega}})) 1_ {A} ( omega _ { Lambda} { bar { omega}} _ { Lambda ^ {c}}) = mu (A),}$

для всех ${ displaystyle A in { mathcal {F}}}$ и ${ displaystyle Lambda in { mathcal {L}}}$.

Пример

Чтобы помочь понять приведенные выше определения, вот соответствующие величины в важном примере Модель Изинга с взаимодействиями ближайших соседей (константа связи J) и магнитное поле (час), на Z^d:

• Решетка просто ${ Displaystyle mathbb {L} = mathbf {Z} ^ {d}}$.
• Пространство с одним спином S = {−1, 1}.
• Потенциал определяется

${ Displaystyle Phi _ {A} ( omega) = { begin {case} -J , omega (t_ {1}) omega (t_ {2}) & { text {if}} A = {t_ {1}, t_ {2} } { text {with}} | t_ {2} -t_ {1} | _ {1} = 1 - h , omega (t) & { text {if}} A = {t } 0 & { text {else}} end {case}}}$

Смотрите также

• Распределение Больцмана
• Экспоненциальная семья
• Алгоритм Гиббса
• Выборка Гиббса
• Система взаимодействующих частиц
• Возможная игра
• Софтмакс
• Стохастические клеточные автоматы

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Георгий, Х.-О. (2011) [1988]. Меры Гиббса и фазовые переходы (2-е изд.). Берлин: де Грюйтер. ISBN  978-3-11-025029-9.
• Фридли, С .; Веленик Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107184824.