Показательная величина Далеана-Даде - Doléans-Dade exponential

В стохастическое исчисление, то Показательная величина Далеана-Даде, Долеанская экспонента, или стохастическая экспонента, из семимартингал Икс определяется как решение стохастическое дифференциальное уравнение dY_т = Y_т dX_т с начальным условием Y₀ = 1. Концепция названа в честь Катрин Долеанс-Даде. Иногда его обозначают как Ɛ(ИксВ случае, если Икс дифференцируема, то Y задается дифференциальным уравнением dY/dt = Y dX/dt к которому решение Y = ехр (Икс − Икс₀)В качестве альтернативы, если Икс_т = σB_т + μt для Броуновское движение B, то экспонента Долеана-Дейда является геометрическое броуновское движение. Для любого непрерывного семимартингала Икс, применяя Лемма Ито с ƒ(Y) = журнал (Y) дает

${ displaystyle { begin {align} d log (Y) & = { frac {1} {Y}} , dY - { frac {1} {2Y ^ {2}}} , d [Y ] & = dX - { frac {1} {2}} , d [X]. end {align}}}$

Возведение в степень дает решение

${ displaystyle Y_ {t} = exp { Bigl (} X_ {t} -X_ {0} - { frac {1} {2}} [X] _ {t} { Bigr)}, qquad t geq 0.}$

Это отличается от того, что можно было бы ожидать, по сравнению со случаем, когда Икс дифференцируема из-за существования квадратичная вариация срок [Икс] в растворе. Обратите внимание, что приведенный выше аргумент является эвристическим, поскольку мы не знаем априори, что существует семимартингальное решение стохастического дифференциального уравнения. Кроме того, логарифм не является дважды дифференцируемой и непрерывной функцией действительных чисел.

Экспонента Долеана-Даде полезна в том случае, когда Икс это местный мартингейл. Потом, Ɛ(Икс) также будет локальным мартингалом, тогда как нормальная экспонента exp (Икс) не является. Это используется в Теорема Гирсанова. Критерии непрерывного местного мартингейла Икс чтобы гарантировать, что его стохастическая экспоненциальная Ɛ(Икс) на самом деле мартингейл даны Состояние Казамаки, Состояние Новикова, и Состояние Бенеша.

Аналогичным образом можно применить лемму Ито для прерывистых семимартингалов, чтобы показать, что экспонента Долеана-Даде любого семимартингала Икс является

${ displaystyle Y_ {t} = exp { Bigl (} X_ {t} -X_ {0} - { frac {1} {2}} [X] _ {t} { Bigr)} prod _ {s leq t} (1+ Delta X_ {s}) exp { Bigl (} - Delta X_ {s} + { frac {1} {2}} Delta X_ {s} ^ {2 } { Bigr)}, qquad t geq 0,}$

где произведение простирается на (счетное множество) скачков Икс до времени т.

Смотрите также

• Стохастический логарифм

Рекомендации

• Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN  3-540-00313-4