Эмпирический процесс - Empirical process

В теория вероятности, эмпирический процесс это случайный процесс который описывает пропорцию объектов в системе в данном состоянии. Для процесса в дискретном пространстве состояний a население непрерывное время марковская цепь^[1][2] или же Марковская популяционная модель^[3] - это процесс, который подсчитывает количество объектов в данном состоянии (без изменения масштаба). теория среднего поля, предельные теоремы (при увеличении числа объектов) рассматриваются и обобщают Центральная предельная теорема за эмпирические меры. Приложения теории эмпирических процессов возникают в непараметрическая статистика.^[4]

Определение

За Икс₁, Икс₂, ... Икс_п независимые и одинаково распределенные случайные величины в р с общим кумулятивная функция распределения F(Икс) эмпирическая функция распределения определяется выражением

${displaystyle F_ {n} (x) = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} I _ {(- infty, x]} (X_ {i}),}$

где я_C это индикаторная функция из набора C.

Для каждого (фиксированного) Икс, F_п(Икс) - последовательность случайных величин, сходящихся к F(Икс) почти наверняка сильным закон больших чисел. То есть, F_п сходится к F точечно. Гливенко и Кантелли усилили этот результат, доказав равномерное схождение из F_п к F посредством Теорема Гливенко – Кантелли..^[5]

Центрированная и масштабированная версия эмпирической меры - это подписанная мера

${displaystyle G_ {n} (A) = {sqrt {n}} (P_ {n} (A) -P (A))}$

Он индуцирует отображение измеримых функций ж данный

${displaystyle fmapsto G_ {n} f = {sqrt {n}} (P_ {n} -P) f = {sqrt {n}} left ({frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} f (X_ {i}) - mathbb {E} бой)}$

Посредством Центральная предельная теорема, ${displaystyle G_ {n} (A)}$ сходится в распределении к нормальный случайная переменная N(0, п(А)(1 − п(А))) для фиксированного измеримого множества А. Аналогично для фиксированной функции ж, ${displaystyle G_ {n} f}$ сходится по распределению к нормальной случайной величине ${displaystyle N (0, mathbb {E} (f-mathbb {E} f) ^ {2})}$, при условии, что ${displaystyle mathbb {E} f}$ и ${displaystyle mathbb {E} f ^ {2}}$ существовать.

Определение

${displaystyle {igl (} G_ {n} (c) {igr)} _ {cin {mathcal {C}}}}$ называется эмпирический процесс проиндексировано ${displaystyle {mathcal {C}}}$, набор измеримых подмножеств S.

${displaystyle {igl (} G_ {n} f {igr)} _ {fin {mathcal {F}}}}$ называется эмпирический процесс проиндексировано ${displaystyle {mathcal {F}}}$, набор измеримых функций из S к ${displaystyle mathbb {R}}$.

Значимым результатом в области эмпирических процессов является Теорема Донскера. Это привело к изучению Донскер классы: наборы функций с полезным свойством, которое эмпирические процессы индексируются этими классами. сходятся слабо к определенному Гауссовский процесс. Хотя можно показать, что классы Донскера Классы Гливенко – Кантелли. обратное в общем случае неверно.

Пример

В качестве примера рассмотрим эмпирические функции распределения. Для реальных iid случайные переменные Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п они даны

${displaystyle F_ {n} (x) = P_ {n} ((- infty, x]) = P_ {n} I _ {(- infty, x]}.}$

В этом случае эмпирические процессы индексируются классом ${displaystyle {mathcal {C}} = {(- infty, x]: xin mathbb {R}}.}$ Было показано, что ${displaystyle {mathcal {C}}}$ является классом Донскера, в частности,

${displaystyle {sqrt {n}} (F_ {n} (x) -F (x))}$ сходится слабо в ${displaystyle ell ^ {infty} (mathbb {R})}$ к Броуновский мост B(F(Икс)) .

Смотрите также

• Преобразование Хмаладзе
• Слабая сходимость мер
• Теорема Гливенко – Кантелли.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Биллингсли, П. (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0471007102.
• Донскер, М. Д. (1952). «Обоснование и расширение эвристического подхода Дуба к теоремам Колмогорова-Смирнова». Анналы математической статистики. 23 (2): 277–281. Дои:10.1214 / aoms / 1177729445.
• Дадли, Р. М. (1978). «Центральные предельные теоремы для эмпирических мер». Анналы вероятности. 6 (6): 899–929. Дои:10.1214 / aop / 1176995384.
• Дадли, Р. М. (1999). Равномерные центральные предельные теоремы. Кембриджские исследования в области высшей математики. 63. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Косорок, М. Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод. Серии Спрингера в статистике. Дои:10.1007/978-0-387-74978-5. ISBN  978-0-387-74977-8.
• Shorack, G.R .; Веллнер, Дж. А. (2009). Эмпирические процессы с приложениями к статистике. Дои:10.1137/1.9780898719017. ISBN  978-0-89871-684-9.
• ван дер Ваарт, Аад В.; Веллнер, Джон А. (2000). Слабая конвергенция и эмпирические процессы: в приложениях к статистике (2-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-94640-5.
• Джапаридзе, К. О .; Никулин, М. С. (1982). «Вероятностные распределения статистики Колмогорова и омега-квадратов для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба». Журнал советской математики. 20 (3): 2147. Дои:10.1007 / BF01239992.

внешняя ссылка

• Эмпирические процессы: теория и приложения, Дэвид Поллард, учебник, доступный в Интернете.
• Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод Майкл Косорок, еще один учебник, доступный в Интернете.