Операция точечного процесса - Википедия - Point process operation

В вероятность и статистика, а точечный процесс или же точечное преобразование процесса это тип математическая операция выполняется на случайный объект, известный как точечный процесс, которые часто используются как математические модели явлений, которые можно представить как точки случайно расположенный в космосе. Эти операции могут быть чисто случайными, детерминированный или и то, и другое, и используются для построения новых точечных процессов, которые затем можно использовать в качестве математических моделей. Операции могут включать удаление или прореживание точки от точечного процесса, объединяя или наложение несколько точечных процессов в один точечный процесс или преобразование основное пространство точки переходит в другое пространство. Операции точечного процесса и результирующие точечные процессы используются в теории точечные процессы и связанные поля, такие как стохастическая геометрия и пространственная статистика.^[1]

Один точечный процесс, который дает особенно удобные результаты при операциях случайного точечного процесса, - это Точечный процесс Пуассона,^[2] Точечный процесс Пуассона часто демонстрирует тип математического замыкания, так что, когда операция точечного процесса применяется к некоторому точечному процессу Пуассона, а затем предоставляются некоторые условия для операции точечного процесса, результирующий процесс часто будет другой операцией точечного процесса Пуассона, следовательно, он часто используется как математическая модель.^[2][1]

Операции точечного процесса изучались в математический предел поскольку количество примененных случайных точечных операций процесса приближается к бесконечности. Это привело к теоремы сходимости операций точечного процесса, которые берут начало в новаторской работе Конни Палм в 1940-х и позже Александр Хинчин в 1950-х и 1960-х годах, которые изучали точечные процессы на реальной линии в контексте изучения поступления телефонных звонков и теория массового обслуживания в целом.^[3] При условии, что исходный точечный процесс и операция точечного процесса удовлетворяют определенным математическим условиям, тогда, когда операции точечного процесса применяются к процессу, часто результирующий точечный процесс будет вести себя стохастически, больше как точечный процесс Пуассона, если он имеет неслучайный средняя мера, что дает среднее количество точек точечного процесса, находящихся в некотором регионе. Другими словами, в пределе, когда количество применяемых операций приближается к бесконечности, точечный процесс сходится по распределению (или слабо) к точечному процессу Пуассона или, если его мера является случайной мерой, к Процесс точки Кокса. ^[4] Результаты сходимости, такие как Теорема Палм-Хинчина для процессов восстановления, затем также используются для обоснования использования точечного процесса Пуассона в качестве математики различных явлений.

Обозначение точечного процесса

Точечные процессы - это математические объекты, которые можно использовать для представления наборов точек, случайным образом разбросанных по некоторым базовым объектам. математическое пространство. У них есть ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначение точечного процесса.^[1][5] Например, если точка ${ displaystyle textstyle x}$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного ${ displaystyle textstyle {N}}$, то это можно записать как:^[1]

${ displaystyle textstyle x in {N},}$

и представляет точечный процесс как случайный набор. В качестве альтернативы, количество точек ${ displaystyle textstyle {N}}$ расположен в некоторых Набор Бореля ${ displaystyle textstyle B}$ часто записывается как:^[1][6][7]

${ displaystyle textstyle {N} (B),}$

что отражает случайная мера интерпретация точечных процессов.

Точечный процесс должен быть определен в базовом математическом пространстве. Часто это пространство d-мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, хотя точечные процессы можно определить на более Абстрактные математические пространства.^[4]

Примеры операций

Для разработки подходящих моделей с точечными процессами в стохастической геометрии, пространственной статистике и связанных областях существует ряд полезных преобразований, которые могут быть выполнены в точечных процессах, включая: прореживание, суперпозицию, отображение (или преобразование пространства), кластеризацию и случайное смещение.^[2][1][7][8]

Истончение

В прореживание операция влечет за собой использование некоторого предопределенного правила для удаления точек из точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N}}$ сформировать новый точечный процесс ${ displaystyle textstyle {N} _ {p}}$. Эти правила прореживания могут быть детерминированными, то есть не случайными, как в случае одного из простейших правил, известных как ${ displaystyle textstyle p}$-тонение:^[1] каждая точка ${ displaystyle textstyle {N}}$ самостоятельно удаляется (или сохраняется) с некоторой вероятностью ${ displaystyle textstyle p}$ (или же ${ displaystyle textstyle 1-p}$). Это правило можно обобщить, введя неотрицательную функцию ${ Displaystyle textstyle р (х) Leq 1}$ для определения локально-зависимых ${ displaystyle textstyle p (x)}$-удаление, где теперь вероятность удаления точки ${ displaystyle textstyle p (x)}$ и зависит от того, где находится точка ${ displaystyle textstyle {N}}$ находится на подстилающем пространстве. Дальнейшее обобщение - вероятность утончения ${ displaystyle textstyle p}$ сам случайный.

Все эти три операции являются типами независимого прореживания, что означает, что взаимодействие между точками не влияет на то, где точка удаляется (или сохраняется). Другое обобщение включает зависимое прореживание, когда точки точечного процесса удаляются (или сохраняются) в зависимости от их расположения по отношению к другим точкам точечного процесса. Прореживание можно использовать для создания новых точечных процессов, таких как процессы жесткого ядра, в которых точки не существуют (из-за утонения) в пределах определенного радиуса каждой точки в процессе прореживания точек.^[1]

Суперпозиция

В операция наложения используется для объединения двух или более точечных процессов в одно базовое математическое пространство или пространство состояний. Если есть счетный набор или набор точечных процессов ${ displaystyle textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} dots}$ со средними показателями ${ displaystyle textstyle Lambda _ {1}, Lambda _ {2}, dots}$, то их суперпозиция

${ Displaystyle {N} = bigcup _ {я = 1} ^ { infty} {N} _ {я},}$

также образует точечный процесс. В этом выражении операция суперпозиции обозначается установить союз ), что подразумевает интерпретацию точечных процессов случайным множеством; видеть Обозначение точечного процесса для дополнительной информации.

Случай точечного процесса Пуассона

В случае, когда каждый ${ displaystyle textstyle {N} _ {я}}$ точечный процесс Пуассона, то результирующий процесс ${ displaystyle textstyle {N}}$ также точечный процесс Пуассона со средней интенсивностью

${ displaystyle Lambda = sum limits _ {i = 1} ^ { infty} Lambda _ {i}.}$

Кластеризация

Точечная операция, известная как кластеризация влечет за собой замену каждой точки ${ displaystyle textstyle x}$ в заданном точечном процессе ${ displaystyle textstyle {N}}$ с кластер очков ${ displaystyle textstyle N ^ {x}}$. Каждый кластер - это тоже точечный процесс, но с конечным числом точек. Объединение всех кластеров образует процесс точки кластера

${ displaystyle {N} _ {c} = bigcup _ {x in {N}} N ^ {x}.}$

Часто предполагается, что кластеры ${ displaystyle textstyle N ^ {x}}$ все наборы конечных точек, каждое из которых независимые и одинаково распределенные. Кроме того, если исходный точечный процесс ${ displaystyle textstyle {N}}$ имеет постоянную интенсивность ${ displaystyle textstyle lambda}$, то интенсивность кластерного точечного процесса ${ displaystyle textstyle {N} _ {c}}$ будет

${ displaystyle lambda _ {c} = c lambda,}$

где постоянная ${ displaystyle textstyle c}$ среднее количество точек в каждом ${ displaystyle textstyle N ^ {x}}$.

Случайное смещение и перевод

Математическая модель может потребовать случайного перемещения точек точечного процесса из одних мест в другие места на нижележащем уровне. математическое пространство.^[2] Эта операция точечного процесса называется случайной. смещение^[2] или же перевод.^[4] Если каждая точка в процессе смещается или транслируется независимо от других точек в процессе, то операция формирует независимый смещение или перевод.^[4] Обычно предполагается, что все случайные переводы имеют общий распределение вероятностей; следовательно, смещения образуют набор независимые и одинаково распределенные случайные векторы в основном математическом пространстве.

Применение случайных смещений или переносов к точечным процессам может использоваться в качестве математических моделей подвижности объектов, например, в экологии.^[2] или беспроводные сети.^[5]

Теорема смещения

Результат, известный как Теорема смещения^[2] эффективно говорит, что случайный независимый смещение точек точечного процесса Пуассона (на том же нижележащем пространстве) образует другой точечный процесс Пуассона.

Преобразование пространства

Еще одно свойство, которое считается полезным, - это возможность отображать точечный процесс из одного базового пространства в другое пространство. Например, точечный процесс, определенный на плоскости р² может быть преобразован из Декартовы координаты к полярные координаты.^[2]

Теорема отображения

При условии, что отображение (или преобразование) соответствует некоторым условиям, тогда результат, иногда известный как Теорема отображения^[2] говорит, что если исходный процесс является точечным процессом Пуассона с некоторой мерой интенсивности, то полученный отображаемый (или преобразованный) набор точек также образует точечный процесс Пуассона с другой мерой интенсивности.

Конвергенция точечных технологических операций

Точечная операция, выполненная один раз для некоторого точечного процесса, может, как правило, выполняться снова и снова. В теории точечных процессов были получены результаты для изучения поведения результирующего точечного процесса с помощью конвергенция приводит к тому, что количество выполняемых операций приближается к бесконечности.^[4] Например, если каждая точка в общем точечном процессе многократно смещается определенным случайным и независимым образом, то новый точечный процесс, неформально говоря, будет все больше и больше напоминать точечный процесс Пуассона. Подобные результаты сходимости были получены для операций прореживания и суперпозиции (с соответствующим изменением масштаба нижележащего пространства).^[4]

Рекомендации